信号与线性系统分析第1章

2024/6/23第一章信号与系统1.1绪言1.2信号1.3信号的基本运算1.4阶跃函数和冲激函数1.5系统的描述1.6系统的特性和分析方法一、基本内容第一章信号与系统2024/6/23第一章信号与系统信号的基本运算与波形变换；阶跃函数和冲激函数。

二、重点信号的波形变换，冲激函数及其导数的性质。三、难点2024/6/23

什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？一、信号的概念1.消息(message):人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。2.信息(information):

通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。1.1绪论1.1绪论它是信息论中的一个术语。2024/6/231.1绪论3.信号(signal):信号是信息的载体。通过信号传递信息。

信号我们并不陌生，如上课铃声—声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字信号、图象信号等等。

为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。2024/6/23二、系统的概念

一般而言，系统(system)是指由若干相互关联、互相作用的事物按照一定的规律组合而成的具有特定功能的整体。

信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。

系统的基本作用是对输入信号（激励）进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号（响应）。系统输入信号激励输出信号响应1.1绪论2024/6/231.2信号1.2信号

信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号。若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，这类信号称为随机信号或不确定信号。研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法（1）表示为时间函数（或序列）（2）信号的波形—函数的图像“信号”与“函数（或序列）”两词常相互通用。2024/6/231.2信号一、连续信号和离散信号

根据信号定义域的特点可分为连续时间信号和离散时间信号。

在连续时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。这里的“连续”指函数的定义域—时间（或其他量）是连续的，至于信号的值域可以是连续的，也可以不是。幅值连续幅值不连续1.连续时间信号2024/6/231.2信号

仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里的“离散”指信号的定义域—时间（或其他量）是离散的，它只取某些规定的值。

如右图的f(t)仅在一些离散时刻tk(k=0,±1,±2,…)才有定义，其余时间无定义。相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。2.离散时间信号2024/6/231.2信号上述离散信号可简画为用表达式可写为或写为f(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。连续时间信号：其时间是连续的，幅值可以是连续的也可以是离散的。模拟信号：指时间连续、幅度连续的信号。离散时间信号：时间是离散，幅值是连续的。数字信号：时间和幅度上都是离散的信号，幅值表示被限制在有限个数值之内。故数字信号可用一序列的数表示，而每个数又可表示为二制码的形式。&离散信号是经过采样的时域信号，而数字信号是经过采样保持器编码后的信号，这样的数字信号才有意义，才能被计算机及其他数字设备识别和处理。比较：连续时间信号、模拟信号、离散时间信号、数字信号τ0模拟信号转化为数字信号

信号的数字化需要三个步骤：抽样、量化和编码。

对模拟信号进行采样可以看作将模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，合上的时间为τ（<<T），在电子开关输出端得到采样信号。模拟信号与数字信号传统的电话机送话器输出的语音信号，电视摄像机产生的图像信号以及广播电视信号等都是模拟信号。在模拟通信中，为了提高信噪比，需要在信号传输过程中及时对衰减的传输信号（含噪声）进行放大，传输质量严重恶化。1、数字通信系统传输的是二进制信号，接收端可正确接收数据而不受噪声的影响。因此，其抗干扰能力更强。可实现高质量的远距离通信，这也即数字电视比模拟电视的图像、声音更清晰的原因。2、便于加密处理且便于存储处理和交换。3、一路模拟电话的频带为4kHz带宽，一路数字电话约占64kHz，这是模拟通信目前仍有生命力的主要原因。随着宽频带信道(光缆、数字微波)的大量利用(一对光缆可开通几千路电话)以及数字信号处理技术的发展(可将一路数字电话的数码率由64kb/s压缩到32kb/s甚至更低的数码率)，数字电话的带宽问题已不是主要问题。2024/6/231.2信号二、周期信号和非周期信号

周期信号(periodsignal)是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…离散周期信号f(k)满足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。2024/6/231.2信号例1

判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为

ω1=2rad/s

，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信号，其角频率和周期分别为

ω2=3rad/s

，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。2024/6/231.2信号例2

判断正弦序列f(k)=sin(βk)是否为周期信号，若是，确定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…式中β称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上式可见：仅当2π/β为整数时，正弦序列才具有周期N=2π/β。当2π/β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=M(2π/β)，M取使N为整数的最小整数。当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列。2024/6/231.2信号*思考题*判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。：（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)解（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的数字角频率分别为β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4为有理数，故它们的周期分别为N1=8，N1=4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k)的数字角频率为β1=2rad；由于2π/β1=π为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列。由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。2024/6/23

欧拉(Euler)公式

2024/6/231.2信号三、实信号和复信号

物理可实现的信号常常是时间t（或k）的实函数（或序列），其在各时刻的函数（或序列）值为实数，称它们为实信号。

函数（或序列）值为复数的信号称为复信号，最常用的是复指数信号。连续时间的复指数信号可表示为离散时间的复指数序列可表示为2024/6/231.3信号的基本运算1.3信号的基本运算一、加法和乘法

两信号f1(·)与f2

(·)之和或之积是指同一瞬时两信号之值对应相加或相乘。如

信号的基本运算主要有加法和乘法、反转和平移、尺度变换（横坐标展缩）。2024/6/231.3信号的基本运算二、反转和平移

1.反转

将f

(t)→f

(–t)，f

(k)→f

(–k)称为对信号f(·)的反转或反折。从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。如2024/6/231.3信号的基本运算

2.平移

将f

(t)→f

(t–t0)，f

(k)→f

(t–k0)称为对信号f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，则将f(·)右移；否则左移。如右移t→t–1左移t→t+12024/6/232024/6/231.3信号的基本运算平移与反转相结合法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再反转f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反转f

(t)→f

(–t)画出f

(2–t)。②再平移f

(–t)→f

(–t+2)左移右移=f

[–(t–2)]，自变量是-t!注意：是对t的变换！最好是先平移后反转2024/6/231.3信号的基本运算

三、尺度变换（横坐标展缩）

将f

(t)→f

(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a>1，则波形沿横坐标压缩；若0<a<1，则展开。如t→2t

压缩t→0.5t

展开对于离散信号，由于f

(ak)仅在为ak

为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失，因此一般不作波形的尺度变换。2024/6/231.3信号的基本运算平移、反转、尺度变换相结合已知f

(t)，画出f

(–4–2t)。三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t

进行。压缩，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)2024/6/231.3信号的基本运算压缩，得f

(2t)右移2，得f

[2(t–2)]反转，得f

(–2t–4)也可以先压缩、再平移、最后反转。2024/6/231.3信号的基本运算*思考题*若已知f

(–4–2t)，画出f

(t)。反转，得f

(2t–4)展开，得f

(t–4)左移4，得f

(t)若f(t)是已录制声音的磁带．则下列表述错误的是（）

(A)f(-t)表示将此磁带倒转播放产生的信号(B)f(2t)表示将此磁借以二倍速度加快播放(C)f(2t)表示原磁带放音速度降低一半播放(D)2f(t)将磁带的音量放大一倍播放答案为：C2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数

阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。1.4阶跃函数和冲激函数1.阶跃函数

下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。一、阶跃函数和冲激函数2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数选定一个函数序列γn(t)如图所示。n→∞当n→∞时，γn(t)→，如图所示。2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数2.冲激函数

单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由狄拉克Dirac最早提出）2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数直观定义：对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)。高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。

n→∞当n→∞时，pn(t)→，如图所示。2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数3.冲激函数与阶跃函数的关系n→∞n→∞求导求导2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如：f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导2024/6/23门函数下图所示矩形脉冲g

(t)常称为门函数。g

(t)1-/2-/20t特点:宽度为，幅度为1。利用移位阶跃函数，门函数可表示为：2024/6/23二、广义函数和δ函数的性质

常规函数，在间断点处的导数是不存在的；除间断点外，自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。单位阶跃信号ε(t)在间断点处的导数为单位冲激信号、冲激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数奇异函数（或广义函数）：非常规函数。2024/6/231.广义函数的基本概念

普通函数y=f(t)：对定义域中的每个自变量t，按一定的运算规则f得出一个数值y的过程;

广义函数g(t)：对试验函数集{φ(t)}中的每个函数φ(t)，按一定运算规则Ng分配(或指定)一个数值Ng[φ(t)]的过程。广义函数g(t)的定义为:

广义函数与普通函数的对应关系2024/6/23广义函数的基本运算：

(1)相等若则定义(2)相加若2024/6/232.δ函数的广义函数定义按广义函数理论，δ函数定义为上式说明：δ函数与试验函数φ(t)作用后，能指定φ(t)在t＝0处的值φ(0)。或者说，广义函数δ(t)的作用效果是从φ(t)中筛选出数值φ(0)。通常称此性质为δ函数的筛选性质。（1.4--11）

2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数冲激函数的性质

若f(t)在t=0、t=a处存在，则：f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

f(t)δ(t

–a)=f(a)δ(t

–a)

与普通函数的乘积——

的筛选性质例1.4–1

试化简下列各信号的表达式。2024/6/23思考：2024/6/23δ函数的性质

性质1δ函数的微分和积分，可定义为式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在t=0时的值。通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。（1.4--16）2024/6/23δ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：当t

，由上面两式可得单位冲激偶的性质之一2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数1.冲激函数的n阶导数可定义为即有2.按广义函数理论，单位阶跃函数的导数可定义为（1.4-17）3.单位阶跃函数是可积函数，其积分为斜升（斜坡）函数r(t)2024/6/23

性质2

δ函数与普通函数f(t)相乘筛选特性

普通函数f(t)与广义函数δ(t)的乘积，有:

根据广义函数相等的定义，得:δ函数的筛选性质2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数例题：2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数ε(t)0*思考题*计算下列各式的值。2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数

性质3.

移位(1)δ(t)表示在t=0处的冲激，在t=t1处的冲激函数可表示为δ(t–

t1)，式中t1为常数。则

同样地有即冲激函数δ(t–

t1)给检验函数的赋值为。2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数（2）对于普通函数f(t)（在t=t1处连续且是缓升的）有和2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)证明：[f(t)δ(t)]’=f(t)δ’(t)+f’(t)δ(t)f(t)δ’(t)=[f(t)δ(t)]’–f’(t)δ(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)δ’(t)的定义：δ(n)(t)的定义：性质4

δ’(t)函数与普通函数f(t)相乘

2024/6/23根据广义函数相等的定义，有对上式两边在(-∞,∞)区间取积分同理，将δ’(t)换成δ’(t-t0)，重复上述推导过程

单位冲激偶的性质之二2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数性质5

尺度变换证明:(1)先证:若a>0，令x=at，则有若a<0，令x=at，则有（1.4--36）2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数(2)类似地，对于δ(t)的一阶导数有(3)类推，可得δ(t)的n阶导数*思考题*δ(at–t0)=?2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数例题：已知f(t)，画出g(t)=f’(t)和g(2t)。求导，得g(t)压缩，得g(2t)2024/6/231.4阶跃函数和冲激函数*思考题*

写出f(t)，g(t)=f’(t)和g(2t)的表达式。

f(t)=(-t+2)[ε(t+2)-ε(t-2)]g(t)=f’(t)=4δ(t+2)-[ε(t+2)-ε(t-2)]g(2t)=2δ(t+1)-[ε(t+1)-ε(t-1)]2024/6/23性质6

奇偶性在尺度变换式中，若取a=-1，则:显然，当n为偶数时，有当n为奇数时，有表明：单位冲激函数δ(t)的偶阶导数是t的偶函数，而其奇阶导数是t的奇函数。2024/6/23例1.4–2

计算下列各式：2024/6/23解：2024/6/23注意：2.对于

(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为1/|a|

(t+b/a)形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是(-

，+

)，但只要积分区间不包括冲激信号

(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。2024/6/23对于一个给定系统，如果在任一时刻的输出信号仅决定于该时刻的输入信号，而与其它时刻的输入信号无关，就称之为即时系统或无记忆系统；否则，就称为动态系统或记忆系统。例如，只有电阻元件组成的系统是即时系统，包含有动态元件(如电容、电感、寄存器等)的系统是动态系统。即时系统(无记忆系统)1.5系统的描述2024/6/23系统的输入输出描述连续系统--------如果系统的输入、输出信号都是连续时间信号，则称之为连续时间系统，简称为连续系统。离散系统--------如果系统的输入、输出信号都是离散时间信号，就称为离散时间系统，简称离散系统。混合系统--------由两者混合组成的系统称为混合系统。2024/6/231.5系统的描述

描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。

所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。形式(以电系统为例)：电路图模拟框图信号流图数学方程按照一定规则建立的用于描述系统特性－－－－－数学模型2024/6/23RLC串联电路1.电路图表示2.模拟框图表示2024/6/233.信号流图4.数学模型2024/6/231.5系统的描述

图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，可得一、连续系统1.解析描述——建立数学模型Kirchhoff'svoltagelaw

Volt-AmpereRelation

2024/6/231.5系统的描述抽去具有的物理含义，微分方程写成整理后得二阶常系数线性微分方程。2024/6/231.5系统的描述2.系统的框图描述上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。基本部件单元有：积分器加法器数乘器（标量乘法器）延迟器（延时T）2024/6/23常用的系统基本运算单元2024/6/231.5系统的描述系统模拟：实际系统→方程→模拟框图→实验室实现（模拟系统）→指导实际系统设计例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，画框图。解：将方程写为y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)2024/6/231.5系统的描述例2：已知y”(t)+3y’(t)+2y(t)=4f’(t)+f(t)，画框图。解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推导出y(t)=4x’(t)+x(t)，它满足原方程。2024/6/23例某连续系统的输入输出方程为

y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)试画出该系统的框图表示。方程←→框图变换方法解：图中有两个积分器，因而系统为二阶系统。设右端积分器的输出为x(t)，那么各积分器的输入分别是x’(t),x’’(t)。左方加法器的输出为2024/6/23为了得到系统的微分方程，要消去x(t)及其导数。右方加法器的输出为以上三式相加并整理得：系数一样！2024/6/23

如果已知系统的框图表示，同样可以写出系统的输入输出方程(采用辅助函数方法)。上述结论可推广应用于n阶连续系统。设n阶系统输入输出方程为n阶系统框图表示2024/6/23例3：已知框图，写出系统的微分方程。1.5系统的描述设辅助变量x(t)如图x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根据前面，逆过程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)2024/6/231.5系统的描述二、离散系统1.解析描述——建立差分方程例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/元，求第k个月初存折上的款数。设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则

y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。2024/6/231.5系统的描述由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。描述LTI系统的是线性常系数差分方程。2.差分方程的模拟框图基本部件单元有：数乘器，加法器，迟延单元（移位器）加法器数乘器（标量乘法器）移位器2024/6/231.5系统的描述例：已知框图，写出系统的差分方程。解：设辅助变量x(k)如图x(k)x(k-1)x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)

y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)2024/6/23由系统框图列写微分（或差分）方程的步骤选中间变量x(·)。对于连续系统，设其最右端积分器的输出为x(t)；对于离散系统，设其最左端迟延单元的输入为x(k)；写出各加法器输出信号的方程；消去中间变量x(·)。2024/6/231.6系统的特性和分析方法1.6系统的特性和分析方法一、线性

主要讨论线性时不变（LinearTimeInvariant,LTI）系统。系统的激励f(·)所引起的响应y(·)可简记为

y(·)=T[f(·)]2024/6/231.6系统的特性和分析方法

若系统的激励f(·)增大a倍时，其响应y(·)也增大a倍，即

T

[af

(·)]=aT

[f(·)]则称该系统是齐次的。

若系统对于激励f1(·)与f2(·)之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即

T

[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]则称该系统是可加的。

若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即

T[a

f1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]1.线性性质包括两方面：齐次性和可加性。2024/6/231.6系统的特性和分析方法2.动态系统是线性系统的条件

动态系统不仅与激励{f

(·)}有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。初始状态也称“内部激励”。完全响应可写为

y

(·)=T[{x(0)},{f

(·)}]零状态响应为

yzs(·)=T[{0},{f

(·)}]零输入响应为

yzi(·)=T[{x(0)},{0}]则线性系统的完全响应

y

(·)=yzs(·)+yzi(·)2024/6/231.6系统的特性和分析方法当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：②零状态线性：

T[{0},{af(·)

}]=aT[{0},{f(·)

}]

T[{0},{f1(t)+f2(t)}]=T[{0},{f1(t)}]+T[{0},{f2

(·)}]或

T[{0},{af1(t)+bf2(t)}]=aT[{{0},f1

(·)}]+bT[{{0},f2

(·)}]③零输入线性：

T[{ax(0)},{0}]=aT[{x(0)},{0}]T[{x1(0)+x2(0)},{0}]=T[{x1(0)},{0}]+T[{x2(0)},{0}]或T[{ax1(0)+bx2(0)},{0}]=aT[{x1(0)},{0}]+bT[{x2(0)},{0}]①可分解性：

y

(·)=yzs(·)+yzi(·)=T[{0},{f

(·)}]+T[{x(0)}，{0}]2024/6/231.6系统的特性和分析方法例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yzs(t)=2f

(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1显然，y

(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不满足可分解性，故为非线性（2）

yzs(t)=|f

(t)|，yzi(t)=2x(0)

y

(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；由于T[{0},{af

(t)}]=|af

(t)|≠ayzs(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）

yzs(t)=2f

(t),yzi(t)=x2(0)，显然满足可分解性；由于T[{a

x(0)},{0}]=[ax(0)]2≠ayzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。2024/6/231.6系统的特性和分析方法例2：判断下列系统是否为线性系统？解：y

(t)=yzs(t)+yzi(t)，满足可分解性；T[{0},{af1(t)+bf2(t)}]=aT[{0},{f1(t)}]+bT[{0},{f2(t)}]，满足零状态线性；T[{ax1(0)+bx2(0)},{0}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{x1(0)},{0}]+bT[{x2(0)},{0}],满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。2024/6/231.6系统的特性和分析方法满足时不变性质的系统称为时不变系统。1.时不变性

若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间，即若

T[{0}，{f(t)}]=yzs(t)则有

T[{0}，{f(t

-

td)}]=yzs(t

-

td)系统的这种性质称为时不变性（或移位不变性）。二、时不变性2024/6/231.6系统的特性和分析方法例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yzs

(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yzs

(t)=tf

(t)

（3）y

zs(t)=f

(–t)解(1)令g

(k)=f(k

–kd)T[{0}，{g

(k)}]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd

–1)而yzs

(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd

–1)显然T[{0}，{f(k

–kd)}]=yzs

(k–kd)故该系统是时不变的。(2)令g

(t)=f(t

–td)T[{0}，{g

(t)}]=tg

(t)=tf

(t–td)而yzs

(t–td)=(t–td)f

(t–td)显然T[{0}，{f(t

–td)}]≠yzs

(t–td)故该系统为时变系统。2024/6/23(3)令g

(t)=f(t

–td),T[{0}，{g

(t)}]=g

(–t)=f(–t–td)而yzs

(t–td)=f

[–(t–td)]，显然

T[{0}，{f(t

–td)}]≠yzs

(t–td)故该系统为时变系统。直观判断方法：

若f

(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

1.6系统的特性和分析方法2024/6/23判断系统是否线性注意1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。2．在判断系统的零输入响应yx(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（x

(0))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。3．在判断系统的零状态响应yf(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（f(t)），而不能以其它