湖北省各地市2023中考数学真题分类汇编03解答题(提升题)知识点分类③-

湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类③一．二元一次方程组的应用（共1小题）1．（2023•宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230（1）求豆沙粽和肉粽的单价；（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．二．分式方程的应用（共1小题）2．（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）3．（2023•十堰）函数y＝的图象可以由函数y＝的图象左右平移得到．（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝；（2）下列关于函数y＝的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是（填写序号）；（3）根据（1）中a的值，写出不等式＞的解集．四．二次函数的应用（共2小题）4．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．（1）当x＝60时，p＝；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．5．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．（1）当x＝m2时，y＝35元/m2；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？五．矩形的性质（共1小题）6．（2023•随州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积．六．切线的性质（共1小题）7．（2023•湖北）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．七．切线的判定与性质（共2小题）8．（2023•随州）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，①求⊙O的半径；②求线段DE的长．9．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若CE＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．八．作图-旋转变换（共1小题）10．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；（3）填空：∠OCB的度数为．九．几何变换综合题（共1小题）11．（2023•荆州）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；（2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP：PB＝1：2，BF＝k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．一十．解直角三角形的应用（共1小题）12．（2023•宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．（参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14）（1）求cosα的值（精确到0.01）；（2）在⊙O中，求的长（结果取整数）．一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2023•随州）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）（1）求点D到地面BC的距离；（2）求该建筑物的高度AB．一十二．条形统计图（共1小题）14．（2023•十堰）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：甲队成绩统计表成绩7分8分9分10分人数101m7请根据图表信息解答下列问题：（1）填空：α＝°，m＝；（2）补齐乙队成绩条形统计图；（3）①甲队成绩的中位数为，乙队成绩的中位数为；②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．一十三．列表法与树状图法（共2小题）15．（2023•湖北）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题；（1）条形图中的m＝，n＝，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．16．（2023•宜昌）“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：书籍类别学生人数A文学类24B科幻类mC漫画类16D数理类8（1）本次抽查的学生人数是，统计表中的m＝；（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是；（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．

湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类③参考答案与试题解析一．二元一次方程组的应用（共1小题）1．（2023•宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230（1）求豆沙粽和肉粽的单价；（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．【答案】（1）豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；（2）①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②m＝10．【解答】解：（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元；由题意可得：10x+12×2x＝136，解得：x＝4，∴2x＝8（元），答：豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，由题意可得：，解得：，答：豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②由题意可得：[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3×（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，解得：m＝19或m＝10，∵m≤（40﹣m），∴m≤，∴m＝10．二．分式方程的应用（共1小题）2．（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．【答案】（1）A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；（2）①120≤x≤210，且x为整数；②当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．【解答】解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，由题意得：＝×2，解得：a＝10，经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，a﹣1＝9，答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；（2）①由题意得：，解得：120≤x≤210，∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，∵﹣1＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，当150＜x≤210时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，∵3＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+3000＝3630，∵3630＞3480，∴w的最大值是3630，此时600﹣x＝600﹣210＝390，即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）3．（2023•十堰）函数y＝的图象可以由函数y＝的图象左右平移得到．（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝﹣4；（2）下列关于函数y＝的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是①④（填写序号）；（3）根据（1）中a的值，写出不等式＞的解集．【答案】（1）﹣4；（2）①④；（3）x＞4或x＜0．【解答】解：（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝﹣4；故答案为：﹣4；（2）函数y＝向左平移a个单位得到函数y＝的图象，①图象关于点（﹣a，0）对称，正确；②y随x的增大而减小，错误；③图象关于直线y＝﹣x+a对称，错误；④y的取值范围为y≠0，正确．其中说法正确的是①④；故答案为：①④；（3）观察图象，不等式＞的解集为x＞4或x＜0．四．二次函数的应用（共2小题）4．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．（1）当x＝60时，p＝400；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可得，p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000，当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），故答案为：400．（2）由题意可得，W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，∴，即，解得50≤x≤65．∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750，答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；（3）小强：∵50≤x≤65，设日销售额为y元，y＝x•p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1000x＝﹣10（x﹣50）2+25000，当x＝50时，y值最大，此时y＝25000，当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，∴小强正确．小红：当日销售利润不低于8000元时，即W≥8000，﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，∵50≤x≤65，∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．5．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．（1）当x＝500m2时，y＝35元/m2；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？【答案】（1）500；（2）当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；（3）当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系式为y＝kx+b，把（200，20），（600，40）代入得：，解得：，∴，当600＜x≤700时，y＝40，∴当y＝35时，35＝x+10，解得：x＝500，故答案为：500；（2）当200≤x≤600时，W＝x（x+10）+50（1000﹣x）＝（x﹣400）2+42000，∵，∴抛物线开口向上，∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，此时，1000﹣x＝1000﹣400＝600，当600≤x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，∵﹣10＜0，∴当x＝700时，W有最小值为：﹣10×700+50000＝43000，∵42000＜43000，∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；（3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000（元），则甲种蔬菜的种植成本为42000﹣30000＝12000（元），由题意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920，设a%＝m，整理得：（1﹣m）2＝0.64，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去），∴a%＝20%，∴a＝20，答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．五．矩形的性质（共1小题）6．（2023•随州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积．【答案】（1）证明见解答；（2）3．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝3，DC＝2，∴OA＝OB＝OC＝OD，S矩形ABCD＝3×2＝6，∴S△OCD＝S矩形ABCD＝×6＝1.5，∵四边形OCED是菱形，∴菱形OCED的面积＝2S△OCD＝2×1.5＝3．六．切线的性质（共1小题）7．（2023•湖北）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴半径OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：连接DF，DA，∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C，∴DF＝DC，∵DE⊥CF，∴FE＝EC，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∵DE⊥AC，∴∠C+∠CDE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∵∠AED＝∠CED＝90°，∴△DAE∽△CDE，∴DE：CE＝AE：DE，∵AE＝3，DE＝6，∴6：CE＝3：6，∴CE＝12，∴EF＝EC＝12，∴AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．七．切线的判定与性质（共2小题）8．（2023•随州）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，①求⊙O的半径；②求线段DE的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）①⊙O的半径为3；②线段DE的长为2．【解答】（1）证明：连接OC，∵AD⊥DF，∴∠D＝90°，∵点C是的中点，∴＝，∴∠DAC＝∠CAB，∴OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠OCF＝∠D＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，∴AG＝EG＝AE＝1，∵OG⊥AD，∴∠AGO＝∠DGO＝90°，∵∠D＝∠AGO＝90°，∴OG∥DF，∴∠AFD＝∠AOG，∵sin∠AFD＝，∴sin∠AOG＝sin∠AFD＝，在Rt△AGO中，AO＝＝＝3，∴⊙O的半径为3；②∵∠OCF＝90°，∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，∵∠OGE＝∠D＝90°，∴四边形OGDC是矩形，∴OC＝DG＝3，∵GE＝1，∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，∴线段DE的长为2．9．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若CE＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）见解答．（2）2﹣．【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠OAD＝∠B＝45°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO＝45°，∴∠AOD＝90°，∵点E是弧DF的中点．∴∠DOE＝∠EDF＝∠DOF＝45°，∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°∴OE⊥BC，∵OE是半径，∴BC是⊙O的切线，（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，∴△OEB是等腰三角形，设BE＝OE＝x，则OB＝x，∴AB＝xx，∵AB＝BC，∴xx＝（+x），解得x＝2，∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF＝×2×2﹣＝2﹣．八．作图-旋转变换（共1小题）10．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；（3）填空：∠OCB的度数为45°．【答案】（1）（2）见解答；（3）45°．【解答】解：（1）如图，OB为所作；（2）如图，△COB为所作；（3）∵线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，∴OB＝OA，∠AOB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，∵△COB与△AOB关于直线OB对称，∴∠OCB＝∠OAB＝45°．故答案为：45°．九．几何变换综合题（共1小题）11．（2023•荆州）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；（2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP：PB＝1：2，BF＝k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．【答案】（1）作图见解答．（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由见解答．②等联线AB＝3k，线段PE＝．【解答】解：（1）作图如下：（方法不唯一）（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，∴四边形ABNC为正方形，∴CN＝AC＝CM，又∵CE＝CE，∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL），∴∠3＝∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∠CPF＝90°，∴∠PCF＝∠2+∠3＝∠CFP＝45°，∴△PCF是等腰直角三角形．②如图，过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R＝∠A＝90°，∵∠1+∠5＝∠5+∠6＝90°，∴∠1＝∠6，由△PCF是等腰直角三角形知：PC＝PF，∴△APC≌△RFP（AAS），∴AP＝FR，AC＝PR，而AC＝AB，∴AP＝BR＝FR，在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，，∴AP＝BR＝FR＝k，∴PB＝2AP＝2k，∴AB＝AP+PB＝BN＝3k，∵BR＝FR，∠QBR＝∠R＝∠FQB＝90°，∴四边形BRFQ为正方形，BQ＝OF＝k，∵FQ⊥BN，CN⊥BN，∴FQ∥CN，∴，而QE＝BN﹣NE﹣BQ＝3k﹣NE﹣k＝2k﹣NE，∴，解得：k，由①知：PM＝AP＝k，，∴，答：等联线AB＝3k，线段PE＝．一十．解直角三角形的应用（共1小题）12．（2023•宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．（参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14）（1）求cosα的值（精确到0.01）；（2）在⊙O中，求的长（结果取整数）．【答案】（1）0.95；（2）2010km．【解答】解：（1）由题意知FQ是⊙O的切线，∴∠OQF＝90°，∵OP＝OQ＝6400km，FP＝330km，∴OF＝OP+FP＝6730km，∴cosα＝；（2）∵cosα≈0.95，∴α＝18°，∴的长为：≈2010km．一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2023•随州）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）（1）求点D到地面BC的距离；（2）求该建筑物的高度AB．【答案】（1）点D到地面BC的距离为5m．（2）该建筑物的高度AB为15m．【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵cosα＝，解得CE＝5，∴DE＝＝5（m）．∴点D到地面BC的距离为5m．（2）过点D作DF⊥AB于点F，则BF＝DE＝5m，设BC＝xm，则BE＝DF＝（5+x）m，在Rt△ABC中，tan60°＝，解得AB＝x，∴AF＝（x﹣5）m，在Rt△ADF中，tan30°＝＝＝，解得x＝5，经检验，x＝5是原方程的解且符合题意，∴AB＝＝15（m）．∴该建筑物的高度AB为15m．一十二．条形统计图（共1小题）14．（2023•十堰）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：甲队成绩统计表成绩7分8分9分10分人数101m7请根据图表信息解答下列问题：（1）填空：α＝126°，m＝2；（2）补齐乙队成绩条形统计图；（3）①甲队成绩的中位数为7.5，乙队成绩的中位数为8；②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．【答案】（1）126；2；（2）见解答；（3）甲、乙两队成绩的平均数均为8.3，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．【解答】解：（1）由题意得，a＝360﹣72﹣72﹣90＝126；乙队人数为：5÷＝20（人），故m＝20﹣10﹣1﹣7＝2．故答案为：126；2；（2）乙队7分人数为：20﹣4﹣5﹣4＝7（人），补齐乙队成绩条形统计图如下：（3