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聋校数学电子教案

【篇1:聋校数学七年级第十三册教案】

聋校数学七年级第十三册教案

句容市特殊教育学校王露2015年9月——2016年1月

教材分析：这一册教材包括下面一些内容：分数加法和减法，分

数乘法，分数除法。

在计算方面，教学分数加・减.乘.除法，分数加减.乘加.乘减.乘

除混合运算，分数与小数的互化，分数与小数加减混合运算。在应

用题方面，着重教学简单的分数四则应用题。

教学要求：

1.学生理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法的计算法

则，比较熟练的计算分数加、减法（简单的能够口算）。

2.使学生理解分数乘除法的意义，掌握分数乘除法的计算法则,

比较熟练的计算分数乘除法（简单的能够口算）。

3.使学生会进行分数、小数的互化，会进行分数、小数加减混

合运算以及分数四则两步混合运算。4.使学生理解比的意义和性质,

会求比值和化简比。

5.使学生能够按要求用算术方法或方程解法解答分数一.二步分

数加、减法应用题，会解答分数乘除法一步应用题以及按比例分配

的应用题。

教学重点：

掌握分数加、减、乘、除法的计算法则，比较熟练的计算分数加、

减、

乘、除法以及四则两步混合运算。

教学难点：

用算术方法或方程解法解答分数一二分数加减应用题，会解答分

数乘法.除法一步应用题以及按比例分配的应用题。

课时安排：

一、分数加减法（31课时）1.同分母分数加减法10课时

2.异分母分数加减法8课时3.分数加减混合运算4课时

4.分数.小数加减混合运算7课时5.整理复习2课时

二、分数乘法（23课时）

1.乘法的意义和计算法则15课时2.分数乘法一步应用题4课

时3.倒数的认识2课时4.整理复习2课时

1.分数除法的意义和计算法则12课时2.分数除法一步应用题

4课时3.比7课时

4.整理和复习3课时

一、分数的加法和减法

教学要求：

1.使学生理解分数加、减的意义，理解并掌握分数加减法的法

则，并能够比较熟练的计算分数加减法，会口算简单的分数加、减

法。2.使学生理解整数加法运算定律对于分数加法同样适用，并会

用这些定律进行一些分数加法的简便计算。

3.使学生掌握分数和小数的互化方法，正确的进行分数、小数

加减混合运算。

教学课时：31课时

教学过程：

第一课时

内容：例L2

目的：了解分数加减法的意义

教具：小黑板

过程：

一、复习（小黑板）

7/8的分数单位是。5/9是（）个l/9o4/7是4个。3个1/5是。

一、新型

1.设计情景，导入新课。2.学习指导

例1一张长方形纸，做纸花用去2/5,做小旗用去1/5。一共用

去这张纸的几分之几？（小黑板）

做纸花用去2/5做小旗用去1/5一共用去？

想：2个1/5加1个1/5是3个1/5,就是3/5。2/5+1/5=3/

5答：一共用去这张纸的3/5。

意义：与整数加法的意义相同，是把两个数合并成一个数的运算。

练习：2/5+2/5=3/7+1/7=

例2一块布长9/10米，用去6/10米。还剩多少米？（小黑板）

想：9个1/10米减去6个1/10米剩3个1/10米，就是3/10米。

9/10-6/10=3/10（米）

答：还剩3/10米。

意义：与整数减法的意义相同，是已知两个加数的和与其中的一

个加数，求另一个加数的运算。

三、练习：4/53/7=0/7=

想：和可以直接想减吗？为什么？做课后练习

比较上面两个例题，说一说同分母分数加法和减法的计算有什么

共同点。

同分母分数加法和减法的法则：（小黑板）

同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。

小结：分数加减法的法则。作业：1.课堂作业：P7782.课外作业:

p79

第三课时

教学目的：运用加减法法则计算。

教学内容：例

5教具准备：小黑板

教学过程：

一、复习（小黑板）

二、新授设计情景，导入新课。指导学习：

例5计算：

出示例5题同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。能

化成整数的要化成整数把整数化成分数

三、做课后练习，教师巡查。

四、小结：熟练的运用分数加减法法则进行计算。

五、作业：1.课堂作业：p710n2.课外作业：p71

2教学后记：

教学例5时，可以先复习分数的意义和怎样把1化成与其他分数

的分母相同的分数。再按同分母分数加减法的法则计算。

【篇2：聋校二年级下学期数学教案】

特殊教育学校教师

电子备课簿

2011--2012学年度第二学期学科数学

年级

教师周咏梅

学校新沂市特教中心

第四册聋部数学学期教学进度计划

数学第一单元教学进度计划1、乘法的初步认识

第（1）课时，总第（1）课时

教学内容：乘法的初步认识，例1,练习一1-4题。教学目标：

1、使学生理解乘法含义，知道“求几个相同加数的和”用乘法计算

比较简便。2、会口述乘法算式所表示的意思.3、培养学生观察比

较的能力。

教学重难点：“求几个相同加数的和”用乘法计算比较简便，乘

法算式所表示的意义。教学准备：小红花、正方形、小圆片等实物

图，课件教学过程：一、复习铺垫：

7+2+6,3+3；4+5+2,5+5+5,6+4+3,4+4+4+4

像上面这样求几个相同加数的和，除了用加法计算外，还可以用

一种简便方单的方法，这种简便方法是是什么呢？这正是我们今天

要研究的问题.三、探究新知：

（一）、出示例1摆一摆，算一算

1、师生共同先摆2朵，再摆2朵，最后又摆2朵，想：摆了几

个2,

想：摆了几个2?要求一共摆了多少朵？用加法算式怎样表示？

想：你写出的加法算式有什么特点？相同加数是几，几个2连

加.数一数，算一算?板书：2+2+2=6

2、教师小结：像这样求几个相同加数的和，除了用加法计算外,

还有一种比较简便的方法叫做乘法.板书课题：乘法的初步认识

【篇3：聋校数学第十四册教案】

聋校数学第十四册教案

第一课时

教学目的：分数四则混合运算。教学内容：例1、

2教具准备：小黑板

教学过程：

新授

1.设计情景，导入新课。2.指导学习：

=应该先算什么，再算什么？==

分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相

同。练习：做一做

作业：练习一1、2、3题。

教学后记：

在学生练习时教师应注意巡视，随时发现问题，随时给予个别的

辅导和纠正。还应提醒学生做分数四则混合运算时，不仅要注意运

算顺序，还要注意分数加减法和分数乘除法的计算方法差异较大，

必须要分清什么时候需要通分什么时候需要把带分数化成假分数。

第二课时

教学目的：巩固练习。

教学内容：练习一5一8题

教具准备：小黑板

教学过程：

练习：

5.(1)学生练习：

先让学生说说计算顺序，然后再计算。

(2)老师讲评。6.(1)学生练习：

先让学生说说计算顺序，然后再计算。

(2)老师讲评。7.(1)学生练习：

本题都是三四步的分数混合运算，计算比较复杂。学生做题时,

可先学生说说计算的顺序。

(2)老师讲评。

8.说出下面的图形的名称，并计算出它们的面积。

(1)学生练习：(2)老师讲评。作业：练习一6、7、8

第三课时

教学目的：分数四则混合运算。

教学内容：例

3教学过程：

复习：

新授：

1.设计情景，导入新课。2.指导学习：

=2(1/7)+C5/8+3/8)(应用了什么定律？)==

在分数四则混合运算中有时可以应用运算定律使计算简便。

练习：做一做

作业：练习一10T2题。

教学后记：

教学例3时，可以先出示例题，让学生想一想这道题应该先算什

么，然后指名让学生说出计算的方法，教师在黑板上演算。

第四课时

教学目的：混合练习。

教学内容：练习一13—18题

教具准备：小黑板。

教学过程：

复习：

练习：

13.(1)学生练习：

(2)老师讲评。

14.(1)学生练习：

要充分运用各种运算定律使计算简便。

(2)老师讲评。

15.(1)学生练习：

要充分运用各种运算定律使计算简便。

(2)老师讲评。

16.(1)学生练习：

复习长方体和正方体的表面积公式。

(2)老师讲评。17.(1)学生练习。

读题，歹U式、计算、答题。

(2)老师讲评。

18.(1)学生练习。

读题，列式、计算、答题。

(2)老师讲评。

作业：练习一14一18题。

第五课时

教学目的：学习分数、小数四则混合运算

教学内容：例

4教具准备：小黑板

教学过程：

复习

新授：

1.设计情景，导入新课。2.指导学习：=1(2/3)

因为计算分数乘除法时，有时可以先约分，再计算比较简便。所

以，分数、小数乘除混合运算一般先把小数化成分数后再计算。

练习：做一做

作业：练习二1、3题

教学后记：

教学例4以前，可以先复习分数与小数互化的方法和分数、小数

加减混合运算。出示例4,让学生想一想，这道题怎样计算比较方

便。由于本题中的8/39不能化成有限小数，所以都化成分数计算比

较简单。第六课时

教学目的：巩固练习

高等数学教案第十二章无穷级数

第十二章

无穷级数

教学目的：

1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。

2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。

4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。

5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。

6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条

件收敛的关系。。

7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函

数项级数的一致收敛性概念，了解函数项级数和函数的性质。

8、掌握嘉级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解塞

级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9、会利用嘉级数的性质求和

10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数

间接展开成塞级数。

12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。

13、掌握将定义在区间（一冗，n）上的函数展开为傅里叶级数

的方法。

14、会将定义在区间［0,门上的函数展开为正弦或余弦级数。

15、会将定义在区间（一1,1）上的函数展开为傅里叶级数。

教学重点：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、塞级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

4、泰勒级数

5、函数展开成傅立叶级数。教学难点：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、塞级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二

章无穷级数

4、泰勒级数；

5、函数展开成傅立叶级数

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二

章无穷级数

§121常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项无穷级数一般地，给定一个数列

ulu2u3un

则由这数列构成的表达式

ulu2u3un

叫做（常数项）无穷级数简称（常数项）级数记为un即

n1

unulu2u3un

n1其中第n项un叫做级数的一般项

级数的部分和作级数un的前n项和

nIn

snuiulu2u3un

i1称为级数un的部分和

n1级数敛散性定义如果级数un的部分和数列｛sn｝有极

限s

n1即

1imsns

n则称无穷级数un收敛这时极限s叫做这级数的和

n1并写成

sunulu2u3un

n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案

第十二章无穷级数

如果｛sn｝没有极限则称无穷级数un发散

n1n1n

1余项当级数un收敛时其部分和sn是级数un的和s的

近似值它们之间的差值

rnssnun1un2

叫做级数un的余项

n1

例1讨论等比级数（几何级数）

aqnaaqaq2aqn

n0的敛散性其中a0q叫做级数的公比

解：如果q1则部分和

snaaqaqaq2nlaaqnaqna

1qlqlqaa

当|q|1时因为limsn所以此时级数aqn收敛其和为

1qlqnn0

当|q|>l时因为limsn所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1则当q1时snna因此级数aqn发散

n0

当q1时级数aqn成为

n0

aaaa

时|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二

章无穷级数

所以sn的极限不存在从而这时级数aqn也发散

n0a

综上所述如果|q|1则级数aq收敛其和为如果

Iq1则级数aqn发散

1qnOnOn

仅当|q|1时几何级数aqna0）收敛其和为n0a

1q

例2证明级数

135(2n-l)是发散的

证此级数的前n项部分和为

n(2In)n

sn135

显然limsn因此所给级数是发散的

n

例3判别无穷级数

1111

122334n(n1）的收敛性

解由于

un因此

sn1111122334n(n1)111

n(n1)nn1

(1)()(从而

limsnlim(lnn1212131nll

)1nIn11)1

n1所以这级数收敛它的和是1

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章无穷级数

提示un111

n(n1)nn1

二、收敛级数的基本性质

n1n

1性质1如果级数un收敛于和s则它的各项同乘以一个常数

k所得的级数kun也收敛

且其和为ks

证明：设un与kun的部分和分别为sn与n则

nIn1

limnlim(kulku2kun)klim(ulu2un)

klimsnks

nnnn这表明级数kun收敛且和为ks

n1表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛

性不会改变。

性质2如果级数un、vn分别收敛于和s、则级数

(unvn)也收敛且其和为s

nInIn1

证明：如果un、vn、(unvn)的部分和分别为sn、n、

n则

nInIn1

1imnlim[(ulvl)(u2v2)(unvn)]

nn

lim[(ulu2un)(vlv2vn)]

n

lim(snn)s

n表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。

性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛

性

比如级数1111是收敛的

122334n(n1)青岛科技大学数理学院高等数学课程建设

组高等数学教案第十二章无穷级数

加一项后级数

9895112123134ln(n1)也是收敛

的

减一项后级数m也是收敛的

3445n(n1)

性质4如果级数un收敛则对这级数的项任意加括号后所成

的级数仍收敛且其和不变

n1注意如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号

后原来的级数也收敛

例如级数

(11)+(1D+收敛于零但级数

1111却是发散的

推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散

级数收敛的必要条件

性质5如果un收敛则它的一般项un趋于零即limun0

nIn0

证：设级数un的部分和为sn且limsns则

nIn

limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0

nOnnn

注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例如

调和级数

11111

23nnInin尽管它的一般项limn0,但它是发散的

因为

假若级数1收敛且其和为ssn是它的部分和

nn1显然有limsns及lims2ns于是lim(s2nsn)0

nnn

但另一方面

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二

章无穷级数

s2nsn1n1111111

n22n2n2n2n2故lim(s2nsn)0矛盾这矛盾说明级数

1必定发散

nnIn§122常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。

正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论：

定理1正项级数un收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}

有界

n1证

设级数

ulu2un

是一个正项级数。其部分和为sn

显然sn是一个单调增加数列，若部分和数列sn有界则根据单

调有界数列必有极限的准则，可知级数un收敛；反之若级数

un收敛，则部分和数列sn有极限，根据有极限的数列是有界数

列的性质可知｛sn｝有界

n1n1n1定理2(比较审敛法)设un和vn都是正

项级数且unvn(n12)若级数vn收

n1n1n1敛则级数un收敛反之若级数un发

散则级数vn发散

证

设级数vn收敛于和则级数un的部分和

nIn1

snulu2unvlv2vn(n1,2,

)

即部分和数列｛sn｝有界由定理1知级数un收敛

n1n1n

1反之设级数un发散则级数vn必发散

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章无穷级数

n1n1因为若级数vn收敛由上已证明的结论将有

级数un也收敛与假设矛盾

n1n1n1

推论

设un和vn都是正项级数如果级数vn收敛且存在自然

数N使当nN时有n1nlunkvn(k0)成立则级数

un收敛如果级数vn发散且当nN时有unkvn(k0)成

则级数un发散

n1

例1讨论p级数

n1111111

np2P3P4pnp的收敛性其中常数p0

111解设p1这时P而调和级数发散由比较审敛法知

nnnIn当p1时级数n11发散

pn

设p1此时有

nnlllllldxdx[p1](n2,3,)

ppppInInnIxp1(nDnn对于级数

[n211p1]其部分和

p1(n1)nl][p112p1][plllnp111]1

pIp1(n1)(n1)

sn[123因为limsnlim[lnn1]1

(nl)p1111所以级数［收敛从而根据比较审敛法的推

论1可知级数当］ppIpInn2(nl)nIn青岛科技大学

数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二章无穷级数

p1时收敛

综上所述p级数lp当p1时收敛当p1时发散

n1n提示级数[n211]的部分和为

(n1)pInp112p1

sn[112p1][13p1][Inp111

]1pl(nl)(nl)p1因为

1imsn1im[lnn1]1

(nl)p1所以级数[n211]收敛

(n1)pInp1

p级数的收敛性

p级数n11当p1时收敛当p1时发散

pn

例2证明级数nlln(n1)是发散的

证因为In(n1)1(n1)21

n1而级数n11111是发散的

n123n1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的

定理3(比较审敛法的极限形式)n1n1

设un和vn都是正项级数

(1)如果limnunvnn1n11(01)且级数

vn收敛则级数un收敛

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章无穷级数

⑵如果limnunvn1。或

1imnunvnn1n1且级数vn发散则级数un

发散

证明由极限的定义可知对11存在自然数N当nN时

有不等式

21U11131n11

即IvnunIvn

222vn2再根据比较审敛法的推论1即得所要证的结论

例3判别级数tann1In的收敛性

tanl

解因为limnn1而级数1发散

InInn根据比较审敛法的极限形式级数tann1In

发散

例4判别级数n11(2n1)(2n1)的收敛性

1l(2n1)(2n1)1而级数2收敛

解因为limn14nln2n根据比较审敛法的极限形式级数

n11(2n1)(2n1)收敛

定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)

若正项级数un的后项与前项之比值的极限等于

n1

1imnunlun

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章无穷级数

则

当1时级数收敛

当1(或limnunlun)时级数发散

当1时级数可能收敛也可能发散

例5证明级数1是收敛的

解因为

limn1111112123123(n

1)unlunlimn123(n1)123nlim

n101

n根据比值审敛法可知所给级数收敛

例6判别级数112123n!2的收敛

3nl0101010

解因为limnunlun(n1)!lOnn1limlim

nln!nlOn10根据比值审敛法可知所给级数发散

例7判别级数n112n(2n1)的收敛性

解

1imnunlunlimn2n(2n1)(2n1)(2n2)1

这时1比值审敛法失效必须用其它方法来判别级数的收

敛性

因为

定理5(根值审敛法柯西判别法)l(2n1)2nln2而

级数n11收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛

2设un是正项级数如果它的一般项un的n次根的极限等于

n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案

第十二章无穷级数

1imnnun

n则当1时级数收敛当1(或limnun)时级

数发散

当1时级数可能收敛也可能发散

例8证明级数11213In是收敛的

23n并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差

解因为limnnunlimnn11lim0

nnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛

以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为

|rn|

111

(nl)nl(n2)n2(n3)n3111

nIn2n3(n1)(n1)(n1)1

nn(n1)

例9判定级数n12(l)n2n的收敛性

解因为limnnunlimlnl2(1)n

2n2所以根据根值审敛法知所给级数收敛

定理6(极限审敛法)

设un为正项级数

n1

(1)如果limnun10(或1imnun)则级数un发散

nnn1

(2)如果p1而limnpun1(01)则级数un收敛

nn1

例7判定级数ln(ln11)的收敛性

n2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第

十二章无穷级数

解因为In(112)~12(n)故

nn

1imn2unlimn21n(112)limn2121

nnnnn根据极限审敛法知所给级数收敛

例8判定级数n1(1cos)的收敛性

n1n

解因为

1imn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11

212()

n2n2根据极限审敛法知所给级数收敛

二、交错级数及其审敛法

交错级数交错级数是这样的级数它的各项是正负交错的

交错级数的一般形式为(l)nInInun或(l)un其中

un0

n1

例如(1)nIn111cosn不是交错级数

是交错级数但(l)nInnn1

定理7(莱布尼茨定理)

如果交错级数(l)nlun满足条件

n1

(1)unun1(n123)

(2)limun0

n则级数收敛且其和sul其余项rn的绝对值

Irn|un1

证明设前2n项部分和为s2n

由s2n(ulu2)(u3u4)(u2nlu2n)

及

s2nul(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u

2n

看出数列｛s2n｝单调增加且有界(s2nul)所以收敛

设s2ns(n)则也有s2n1s2nu2n1s(n)

所以sns(n)从而级数是收敛的且snul

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二

章无穷级数

因为|rn|un1un2也是收敛的交错级数所以

|rn)un1

例9证明级数(l)n11收敛并估计和及余项

n1n

证

这是一个交错级数因为此级数满足

(1)un11un1(n1,2,)

(2)limunliml0

nnInnn由莱布尼茨定理级数是收敛的且其和

sul1余项|rn|un1

1三、绝对收敛与条件收敛

n1nIn1

绝对收敛与条件收敛若级数|un|收敛则称级数un绝对

收敛

n1n1n1若级数un收敛而级数|un|发散则

称级un条件收敛

例如级数(l)n1nlln11是绝对收敛的而级数是条

件收敛的

(1)nn2n1n1n1定理8如果级数un绝对收敛

则级数un必定收敛

证明略

n1n

1注意如果级数|un|发散我们不能断定级数un也发散

但是如果我们用比值法或根值法判定级数Iun|发散

n1则我们可以断定级数un必定发散

n1这是因为此时|un不趋向于零从而un也不趋向于零

因此级数un也是发散的

n1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案

第十二章无穷级数

例11判别级数nlsinnanln44的收敛性

解因为|sinnan4|而级数nlln4是收敛的

所以级数|nIsinnan4卜也收敛从而级数

nlsinnan4绝对收敛

2例12判别级数(1)nln(1l)n的收敛性

n12n

解由|un|lln2n|u|l)nle1

有(1)limnn2nn2n2n可知limun0因此级数

(l)nnnllln2(1)发散

n2n

§123事级数

一、函数项级数的概念

函数项级数给定一个定义在区间I上的函数列：

ul(x),u2(x),u3(x),un(x)由这函数

列构成的表达式

ul(x)u2(x)u3(x)un(x)

称为定义在区间I上的(函数项)级数

记为un(x)

n1

对于区间I内的一定点xO若常数项级数un(xO)收敛则称

n1点xO是级数un(x)的收敛点

若常数项级数un(xO)发散则称

nIn1青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数

学教案第十二章无穷级数

点xO是级数un(x)的发散点。

n1函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域

n1

所有发散点的全体称为它的发散域

在收敛域上函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)

n1s(x)称为函数项级数un(x)的和函数并写成

s(x)un(x)

nIn1

Xun(x)是un(x)的简便记法以下不再重述

n1

在收敛域上函数项级数Xun(x)的和是x的函数s(x)

s(x)称为函数项级数Eun(x)的和函数并写成

s(x)Xun(x)

这函数的定义就是级数的收敛域。

函数项级数Eun(x)的前n项的部分和记作sn(x)即

sn(x)ul(x)u2(x)u3(x)un(x)

在收敛域上有limsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)

n

函数项级数un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差

rn(x)s(x)sn(x)n1叫做函数项级数un(x)的余项

n1

函数项级数Xun(x)的余项记为rn(x)它是和函数s(x)与部分

和sn(x)的差rn(x)s(x)sn(x)

在收敛域上有limrn(x)0

n

二、幕级数及其收敛性

幕级数

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都塞函数的函数项

级数

这种形式的级数称为塞级数它的形式是

aOalxa2xanx

其中常数aOala2an叫做幕级数的系数

例如一下级数

1xx2x3xn

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组

2n高等数学教案第十二章无穷级数

1x121xxn

2!n!2

n

注幕级数的一般形式是

aOal(xxO)a2(xxO)an(xxO)

经变换txxO就得

aOalta2t2antn

幕级数

1xx2x3xn

可以看成是公比为X的几何级数当|x|1时它是收敛的当

|x|1时它是发散的

因此它的收敛域为(11)在收敛域内有

11xx2x3xn

1x由此例可得：

定理1(阿贝尔定理)如果级数anxn当xxO(xO0)时收敛

则适合不等式

n0|x||xO|的一切x使这事级数绝对收敛反之如果级

数anxn当xxO时发散

n0则适合不等式|x||xO|的一切x使这幕级数发散

证

先设xO是幕级数anx的收敛点即级数anxn收敛根据级

数收敛的必要条件

nOnOn有limanxO0于是存在一个常数M使

nn|anxOnM(n0,1,2,)

这样级数n0anxn的的一般项的绝对值

xnxxnn||anxO|||nM|n

xOxOxO|anxnn||anxOxn因为当|x||x0|时等比级数

M||收敛所以级数|anxn|收敛

xOnOn0也就是级数n0anxn绝对收敛

定理的第二部分可用反证法证明倘若幕级数当xxO时发散而

有一点xl适合|xl|>|xO|使级青岛科技大学数理学院高等数学课程

建设组高等数学教案第十二章无穷级数

数收敛则根据本定理的第一部分级数当XX。时应收敛这

与所设矛盾定理得证

推论

如果级数anxn不是仅在点x0一点收敛也不是在整个数轴

上都收敛则必有一个n0完全确定的正数R存在使得

当|x|R时基级数绝对收敛

当|x|R时基级数发散

当xR与xR时幕级数可能收敛也可能发散

收敛半径与收敛区间正数R通常叫做幕级数数n0anxn

的收敛半径开区间（RR）叫做幕级

n0anxn的收敛区间再由基级数在xR处的收敛性就

可以决定它的收敛域基级数n0anxn的收敛域是（R,R）（或

［R,R）、（R,R］、［R,R］之一

规定若塞级数anx只在x。收敛则规定收敛半径R0

若幕级数anxn对一切x都nOn0收敛则规定收敛半径

R这时收敛域为（，）

关于幕级数的收敛半径求法，有下列定理：

定理2如果lim|nanlan|其中an、an1是嘉级数

anxn的相邻两项的系数

n0则这塞级数的收敛半径

010

R0

简要证明

limlnanIxnlanxnlim|nanlan|xx

(1)如果0则只当|x|1时基级数收敛故R

(2)如果0则幕级数总是收敛的故R

1

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章无穷级数

(3)如果则只当x0时幕级数收敛故R0

例1求惠级数(l)n1nIxn的收敛半径与收敛域

nla

解

因为lim|n11limn11

nanInn所以收敛半径为R11

当x1时塞级数成为(l)nIn11是收敛的

n

1当x1时幕级数成为()是发散的因此收敛域

为(1,1]

nn1

例2求幕级数1xlnxn!n012131的收敛域

xxxn2!3!n!

la(n1)!n!lim0

解

因为lim|n11limnann(n1)!Inn!所以收

敛半径为R从而收敛域为(，)

例3求幕级数n!xn的收敛半径

n0

解因为

lim|nanlanlim(n1)!n!n

所以收敛半径为R0即级数仅在x0处收敛

例4求幕级数(2n)!2n0(n!)x2n的收敛半径

解级数缺少奇次幕的项定理2不能应用可根据比值审敛法来

求收敛半径

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章无穷级数

幕级数的一般项记为un(x)(2n)!(n!)2x2n

因为lim|nun1(x)un(x)|41x12

当4|x|1即|x|21112时级数收敛当4|x|1即|x|时级

数发散所以收敛半径为

R222[2(nl)]!(n!)22提示

un1(x)un(x)x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2x2

x2n

例5求嘉级数(xl)n2nn的收敛域

nItn

解令tx1上述级数变为n

n12n

因为lim|nanlan2nnln1

2(n1)2所以收敛半径R2

(1)1

当t2时级数成为此级数发散当t2时级数成为

此级数收敛

nnnIn1因此级数tn的收敛域为2t2因为

2x12BP1x3

nn12n所以原级数的收敛域为［1,3)

三、幕级数的运算

设累级数Eanxn及Xbnxn分别在区间(R,区)及(R,R)内

收敛则在(&区)与(R,R)中较小的区间内有

力口法XanxZbnxE(anbn)x

减法XanxnXbnxn£(anbn)xn

乘法

(anx)(bnxn)aObO(aOblalbO)x(a0b2albla2b0

)x2

nnOn0nn

n(aObnalbn1anbO)x

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组n高等数学教案第十

二章无穷级数

除法：n0nOanxxnnnbcnOnxnnnx与

cnx相乘，然后比较

nOn

这里假定bOOo为了决定系数cn,可以将

bn0与anxn的同次幕项系数得出。

n0关于幕级数，有以下的重要性质

性质1幕级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续

n0

如果幕级数在XR(或XR)也收敛则和函数s(x)在

(艮可(或[R,R))连续

性质2幕级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积并且

有逐项积分公式

n0

Oxs(x)dx(anx)dxOnOxnn00xanxdxnn

On1anxn1(xI)

逐项积分后所得到的基级数和原级数有相同的收敛半径

性质3幕级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(RR)内可

导并且有逐项求导公式

n0

s(x)(anx)n0nn0(anx)nanxn1(|x

R)

n1n逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半

径

例6求幕级数Ixn的和函数

nOn1

解求得幕级数的收敛域为[11)

设和函数为s(x)即s(x)

在xs(x)Ixnx[11)显然s(0)1

nOn1Inlx的两边求导得nIn0

[xs(x)]n0(llxn1)xn

n11xn0对上式从0到x积分得

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章无穷级数

xs(x)IdxIni(x)

01xx1In(1x)0|x|11于是当x0时有

s(x)ln(lx)从而s(x)x

xlx0x1In

1因为xs(x)x[xn1]dx

OnOnInOn1

xOn0xndxldxIni(x)

01xx所以当x0时有s(x)lln(1x)

xlIn(1x)0|x|1从而s(x)x

lx0提示应用公式F(x)dxF(x)F(0)即

F(x)F(0)F(x)dx

0011xx2x3xn1XXX

例7求级数l)nn1的和

n0

解

考虑塞级数lxn此级数在［1,1)上收敛设其和

nOn1函数为s(x)则5(1)(1)nn1

n0(1)11In

在例6中已得到xs(x)ln(lx)于是

s(1)ln2s(1)In即22nOnIn

§124函数展开成幕级数

一、泰勒级数

问题给定函数f(x)要考虑它是否能在某个区间内“展开成

塞级数”就是说是否能找到这样一个塞级数它在某区间内收

敛且其和恰好就是给定的函数f(x)

如果能找到这样青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等

数学教案第十二章无穷级数

的累级数我们就说函数f(x)在该区间内能展开成幕级数

或简单地说函数f(X)能展开成基级数而该级数在收敛区间内就表

达了函数f(x)

以前学过泰勒多项式如果f(X)在点xO的某邻域内具有各阶导

数则在该邻域内f(x)近似等于

f(x)f(xO)f(xO)(xxO)

f(nl)f(x0)2!(xx0)2

f(n)(xO)n!(xxO)nRn(x)

其中Rn(x)()(n1)!(xxO)n1(介于x与xO之间)

泰勒级数如果f(x)在点xO的某邻域内具有各阶导数

f(x)f(x)

f(n)(x)则当n时f(x)在点xO的泰勒多项式

pn(x)f(xO)f(xO)(xxO)成为基级数

f(xO)f(xO)(xxO)f(x0)2!(xxO)2f(x0)2!(

xxO)2f(n)(xO)n!(xxO)n

f(x0)3!(xxO)3f(n)(xO)n!(xxO)n

这一幕级数称为函数f(x)的泰勒级数

显然当xxO时f(x)的泰勒级数收敛于f(xO)

但是除了xxO外f(x)的泰勒级数是否收敛?如果收敛它是

否一定收敛于f(x)?对此，有以下定理：

定理

设函数f(x)在点xO的某一邻域U(xO)内具有各阶导数则f(x)

在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中

的余项Rn(x)当n0时的极限为零即

nlimRn(x)0(xU(xO))

证明

先证必要性设f(x)在U(xO)内能展开为泰勒级数即

f(x)f(xO)f(xO)(xxO)f(xO)2!(xxO)

2f(n)(xO)n!(xxO)n

又设snl(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和则在U(xO)

内sn1(x)f(x)(n)

而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)snl(x)Rn(x)于是

Rn(x)f(x)sn1(x)0(n)

再证充分性设Rn(x)0(n)对一切xU(xO)成立

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)snl(x)Rn(x)于是

sn1(x)f(x)Rn(x)f(x)

即f(x)的泰勒级数在U(xO)内收敛并且收敛于f(x)

青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组高等数学教案第十二

章无穷级数

在泰勒级数中取xO0得

f(0)f(0)xf(0)2!x2f(n)(0)n!xn

此级数称为f(x)的麦克劳林级数

展开式的唯一性如果f(x)能展开成x的幕级数那么这种展

式是唯一的它一定与f(x)的麦克劳林级数一致

这是因为如果f(x)在点xO0的某邻域(RR)内能展开成x

的嘉级数即

f(x)aOalxa2xanx

那么根据塞级数在收敛区间内可以逐项求导有

f(x)al2a2x3a3xnanx

f(x)2!a232a3xn(nl)anxn2

f(x)3!a3n(n1)(n2)anxn3

f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2anlx

于是得

aOf(0)alf(0)a2f(0)2!2n12n

anf(n)(0)n!

注意如果f(x)能展开成X的幕级数那么这个累级数就是f(x)

的麦克劳林级数但是反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点

xO。的某邻域内收敛它却不一定收敛于f(x)因此如果f(x)

在点xO。处具有各阶导数则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来

但这个级数是否在某个区间内收敛以及是否收敛于f(x)却需要

进一步考察

二、函数展开成塞级数

展开步骤

第一步

求出f(x)的各阶导数

f(X)f(x)f(n)(x)

第二步

求函数及其各阶导数在x0处的值

f(0)f(0)f(0)f(0)

第三步

写出嘉级数

f(0)f(0)x并求出收敛半径R

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(n)f(0)2!x2f(n)(0)n!xn高等数学教案

第十二章无穷级数

第四步

考察在区间(RR)内时是否Rn(x)0(n)

1imRn(x)limnf(n1)()n(n1)!xn

1是否为零如果Rn(x)0(n)则£&)在(RR)内有展

开式

f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x2f(n)(0)n!xn

(RxR)

例1将函数f(x)ex展开成x的基级数

解所给函数的各阶导数为f(x)e(n12)因此f

1x1x2Ixn

2!n!(n)

X

(0)l(n12）于是得级数

它的收敛半径R

对于任何有限的数X、（介于。与x之间）有

nlen1|x|Ix|x|e

IRn(x)|

(n1)!(n1)!|x|n10所以lim|Rn(x)|0从而有展开

式而limn(n1)!n

ex1x121xxn)

2!n!

例2将函数f(x)sinx展开成x的基级数

解因为f(n)(n)(x)sin(xn)(n12

)

2所以f(0)顺序循环地取

0101((n0123)于是得级数

2nIx3x5nlx(1)

x3!5!(2n1)!它的收敛半径为R

对于任何有限的数x、（介于0与x之间）有

sin[(n1)2(n1)!!xn11Rn(x)|||x|n10(n

)

（n1）!因此得展开式

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章无穷级数

sinxxx3x5x2n1(1)n1(x

)

3!5!(2n1)!2!n!

ex1x1x2Ixn(x)

例3将函数f(x)(1x)展开成x的塞级数其中m为任意常

数