2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题03 三角形中的全等、相似和计算（教师版）

PAGE1PAGE专题03三角形中的全等、相似和计算通用的解题思路：1.三角形与全等之六大全等模型：（1）一线三等角模型（2）手拉手模型（3）半角模型（4）倍长中线模型模型（5）平行线中等模型（6）雨伞等模型2.三角形与相似之四大相似模型：（1）A字模型（2）8字模型（3）手拉手模型（4）一线三等角模型1．（2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．【答案】见解析【分析】根据题意，用AAS证明．【详解】证明：∵，∴为的角平分线，又∵点P在上，，，∴又∵（公共边），∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．2．（2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE【答案】证明见解析【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论．【详解】证明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）【点睛】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．题型一三角形与全等计算问题1．（2024·广东广州·一模）如图，已知，平分，求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出，根据即可证出答案．【详解】证明：平分，，在和中，．2．（2024·广东广州·一模）如图，在四边形中，平分和．求证：，．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，进而利用证明，据此可证明，．【详解】证明：∵平分和，∴，又∵，∴，∴，．3．（2024·广东珠海·一模）如图，点B、C、E、F在同一直线上，，，．求证：．【答案】见详解【分析】根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可．此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据等式的性质得出解答．【详解】证明：，，即，在与中，，∴．4．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线．(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）(2)在（1）的条件下，求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的判断．正确的作垂线是解题的关键．（1）以D为圆心，适当长为半径画弧交于M、N，以M、N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于E，则是线段的垂直平分线，即为所求；（2）根据角平分线和垂直平分线的性质得，，证，即可得出结论．【详解】（1）如图，即为所求．（2）证明：为的平分线，为的垂线，，，，在和中，，，．5．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，，则的长为_______．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；（1）由直接证明即可；（2）证明，得，即可求解；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】（1）证明：在和中，，∴；（2）解：∵，，，∴，∵，∴，，∴，∴，即，解得：，∴的长为．故答案为：．6．（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．

(1)求证：；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得；由和可以得到，于是可求得，即可求得答案.【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，，．．又是的中点，．．．（2）解：，见答图，

．，．，，．．在中，是的中点，．题型二三角形与相似计算问题1．（2024·广东江门·模拟预测）综合运用如图，在中，，过点作的垂线段，垂足为，连接，且．

(1)求线段的长．(2)以点为中心，按逆时针方向旋转一周，使旋转后得到的的边恰好经过点（点不与点重合），求此时旋转角的度数．(3)在（2）的条件下，将沿向右平移个单位长度，设平移后的图形与重叠部分的面积为，当时，求与的函数关系式．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）直接利用勾股定理进行求解即可；（2）根据旋转的性质，推出是等边三角形，进而求出即可；（3）设与分别交于点与相交于点，作，垂足为，设，则，根据平移的性质，结合，求出，证明，推出，再根据，进行求解即可．【详解】（1）解：在中，，．（2）如图1，，．

由旋转过程知，是等边三角形，，，即旋转角的度数为．（3）如图2，设与分别交于点与相交于点．

作，垂足为．设，则．由平移知，．∵，∴，∴．，，，．【点睛】本题考查勾股定理，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，旋转和平移，相似三角形的判定和性质，求函数解析式，掌握相关知识点，正确的作图，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．2．（2024·广东广州·一模）课本再现我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于．我们是通过度量或剪拼得出这一结论的，图（1）、（2）分别是两位同学拼合的图形．定理证明（1）请你证明“三角形的内角和是”．已知：（如图（3））．求证：．深入探究（2）三角形的内角和是，那么四边形（如图（4））的内角和是多少度呢？请你证明你的结论．结论应用（3）如图（5），在中，为的中点，点在上，且，求的长．【答案】（1）见解析；（2）四边形的内角和是，证明见解析；（3）【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）过点作，由平行线的性质可得，，由平角的定义得出，从而得出，即可得证；（2）连接，由（1）可得：，，结合，，计算即可得出答案；（3）由勾股定理得出，证明，得出，代入计算即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，过点作，则，，，，即；（2）四边形的内角和是，证明：如图，连接，由（1）可得：，，，，，四边形的内角和是；（3）在中，，，为的中点，，，，，，，，即，解得：．3．（2024·广东·一模）在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段绕点P逆时针旋转a得到线段，连接．(1)观察证明如图1，当时①猜想与的数量关系为___________，并说明理由．②直线与直线相交所成的较小角的度数是___________．(2)类比猜想如图2，当时，请直接写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数(3)解决问题当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【答案】(1)①，理由见解析；②；(2)；；(3)或．【分析】（）观察猜想：由“”可证，可得，，即可求解；（）类比探究：通过证明，可得，，即可求解；（）分两种情形：当点在线段上时，延长交的延长线于，证明即可解决问题；当点在线段上时，同法可证：解决问题．【详解】（1）解：，，是等边三角形，，，由旋转的性质得，，，是等边三角形，，，，，，，，，故答案为：；如图中，延长交的延长线于，设交于点，在和中，，，，直线与直线相交所成的较小角的度数是；故答案为：；（2）解：类比探究：如图中，设交于点，，，，，，，，，∴直线与直线相交所成的小角的度数为；（3）解：如图，当点在线段上时，延长交的延长线于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四点共圆，，，，，设，则，，；如图中，当点在线段上时，同法可证：，设，则，，，；综上所述：的值为或．【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．4．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题背景】（1）如图1，在中，D为上一点，，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在中，，，面积为6，求证：．【拓展创新】（3）在中，，面积为，D为外一点，，，直接写出的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）证明即可；（2）过B作于E，证明，进而得到，即可得出结论；（3）过C作交延长线于E，过D作于F，于G，设，根据等腰三角形的性质结合勾股定理得到：；证明四边形为矩形，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理得到，联立两个等式，求出的值即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∴；（2）证明：过B作于E，如图：∵，∴，∵的面积为6，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：过C