2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题09 二次函数中最值、变换、新定义型问题（教师版）

PAGE1PAGE专题09二次函数中最值、变换、新定义型问题通用的解题思路：第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看，二次函数看对称轴与区间的位置关系；第二步：当时，；当时，；所以.二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。若自变量的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时，取到最值.若，如图②，当时，；当时，.若，如图③，当，；当，.若，且，，如图④，当，；当，.1．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，∵四边形是正方形，∴，，∴点，∴，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小【答案】C【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．3．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．【答案】(1)(2)2；P（-1，0）【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，∴点B的坐标为（-3，0），将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：，解得：b=2，c=-3，∴抛物线的解析式为；（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，顶点式为：，则C点坐标为：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，∵PQ∥BC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，由解得：，∵P在线段AB上，∴，∴n的取值范围为-6＜n＜2，则∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．4．（2022·广东广州·中考真题）已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）．(1)求直线的解析式；(2)若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下①求的取值范围；②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q'也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．【答案】(1)直线解析式为：；(2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；（2）①设G的顶点式，根据点P在直线上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在轴上得出答案；②先根据点Q，点的对称，得QQ'=1，可表示点Q和的坐标，再将点的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．【详解】（1）解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6），∴，解得，∴直线解析式为：；（2）解：①设G：（），∵点P（，）在直线上，∴；∴G：（）∵（0，-3）不在直线上，∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），∴点P必须位于直线的上方，则，，另一方面，点P不能在轴上，∴，∴所求取值范围为：，且；②如图，QQ'关于直线对称，且QQ'=1，∴点Q横坐标为，而点Q在上，∴Q（，），Q'（，）；∵Q'（，）在G：上，∴，，∴G：，或．∵抛物线G过点（0，-3），∴，即，，；当时，抛物线G为，对称轴为直线，对应区间为-2≤≤-1，整个区间在对称轴的右侧，此时，函数值随着的增大而减小，如图，∴当取区间左端点时，达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；当时，对应区间为≤≤，最高点为顶点P（2，5），如图，∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等．解题的关键是掌握当时，顶点在直线与轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-3），因此，可能会被忽视．题型一二次函数图象与系数a,b,c的关系1．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：；②；③多项式可因式分解为；④无论m为何值时，．其中正确个数有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等：先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为可知时y有最大值，由此可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴为直线，∴，结论①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线，∴抛物线与x轴的另一个交点为，即当时，，∴，∴，结论②错误；∵抛物线与x轴的两个交点为，，∴多项式可因式分解为，结论③错误；∵对称轴为直线，且函数开口向下，∴当时，y有最大值，由得，当时，，当时，，∴无论m为何值时，，∴，结论④正确；综上：正确的有①④．故选：B．2．如图是二次函数的图象，对称轴是直线．关于下列结论：①；②，③；④；⑤方程两个根为，，其中正确的结论有（

）A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤【答案】B【分析】本题考查了二次函数图像与性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．根据二次函数图像判定代数式的正负和数形结合思想是解题的关键．【详解】解：由图象可得：抛物线开口向下，∴，对称轴在y轴左侧，根据左同右异，∴，∴，故①错；由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，∴，故②正确；由图象可得：时，，∴，故③错；由图象可得：，∴，∴，故④正确；由图象可得：的两根分别为，，∴方程两个根为，，故⑤正确；故选：B．3．抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，下列说法正确的有（

）．x…01…y…33…①当时，y随x的增大而减小；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；

④方程的一个正数解满足．A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质和二次函数图像上点的特征，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据表格信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质逐项判断即可．【详解】解：①由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线且当时，y随x的增大而增大，根据二次函数图像的对称性可得当时，y随x的增大而减小，故①的说法正确；②由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线，故②的说法正确；③当时的函数值与时的函数值相同为，即，故③的说法错误；④当时，，当时，，根据二次函数的对称性可得当时，，当时，，故方程的正数解满足，故④的说法正确．故选：D．题型二二次函数中线段最小值1．如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，．(1)求抛物线的解析式．(2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标．(3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解；（3）分两种情况：，，根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】（1）解：把点，分别代入，得解得∴抛物线的解析式为．（2）∵，∴对称轴为直线点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，当时，，∴点．设直线的解析式为，代入得∴∴直线的解析式为当时，，∴点．（3）存在．∵，是的中点，．又，∴直线的解析式为，．联立得．解得，（舍）．当时，．∴．设，则．∴．分以下两种情况：①如图2，若，则，．∴轴．∴．∴．解得或（舍）．∴．②如图3，若，则，．过点作于点，则，即．解得或（舍）．∴．综上，点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题以及相似三角形的性质，解题的关键是求出二次函数解析式．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．

(1)求该抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标；(3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，求的最大值；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直线与两坐标的交点坐标为，，将A、B代入抛物线，利用待定系数法即可求解；（2）根据抛物线解析式确定与x轴的交点坐标，再由对称的性质及两点之间线段最短即可确定点M的位置，然后代入一次函数解析式求解即可；（3）过点P作交直线于点E，则，所以，当取最大值时，有最大值．【详解】（1）解：直线与坐标轴交于A、B两点，当时，，当时，，，，将A、B代入抛物线，得，解得，抛物线的解析式为：．（2）∵抛物线的解析式为：．∴当时，解得，∴，∴抛物线的对称轴为，

∵点关于对称，连接交对称轴于点M，∴，此时取得最小值，∴当时，，∴；（3）过点P作交直线于点E，则，

设点，，，，代数式，当时有最大值，的最大值为．【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，解题的关键是构造辅助线证．3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，，．(1)求抛物线的解析式；(2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值．(3)如图2，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．【答案】(1)抛物线的解析式为：(2)，C的最小值为(3)最大值为【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论；（2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点，与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论；（3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论．【详解】（1）解：∵

∴∵

∴，将、的坐标代入得：

∴∴抛物线的解析式为：；（2）解：由，令，即，解得：，∴，∴，∴作点关于轴的对称点，过点作于点，与轴的交点即为所求点，连接，，，，，，，，综上所述，当时，的最小值为；（3）如图，过作轴于点，交于，过作轴交延长线于，设直线解析式为：，由(1)得：，将，分别代入得：，解得：，直线的表达式为：，，故的横坐标，代入，得：，，，设，则，，轴于点，轴，，，，将、分别看作、为底边，则它们的高相同，，，时，有最大值，最大值为【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点的横坐标，并正确表达面积的比值．题型三二次函数中面积最值问题1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值；(3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)4(3)点的坐标为：或．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由面积，即可求解；（3）当点在轴上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在轴下方时，由，求出点，即可求解．【详解】（1）解：抛物线的表达式为：，则，解得：，则抛物线的表达式为：①；（2）解：过点作轴交于点，由点、的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，则面积，，故面积有最大值，当时，面积的最大值为4；（3）解：当点在轴上方时，所以平行于x轴则点和点关于抛物线对称轴对称，则点；当点在轴下方时，设交轴于点，设点，，则，则，解得：，即点，由点、的坐标得，直线的表达式为：②，联立①②得：，解得：（舍去）或，即点的坐标为：；综上，点的坐标为：或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键．2．如图，在直角坐标系中有一直角三角形，为坐标原点，，，将此三角形绕原点逆时针旋转，得到，抛物线经过点、、．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于，直接写出当与相似时，点P的坐标．【答案】(1)(2)①存在，最大值为，理由见解析；②或【分析】（1）根据正切函数，可得，根据旋转的性质可得，据此求出A、B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）①可求得直线的解析式，过作轴于点，交于点，可用表示出的长，当取最大值时，则的面积最大，可求得其最大值；②当时，，过点作轴于点，证明，得到，进而推出，则，解方程即可；当时，，此时，轴，则．【详解】（1）解：在中，，，，是由绕点逆时针旋转而得到的，．，，的坐标分别为，，，代入解析式得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：存在点使的面积最大，的面积有最大值为理由如下：设直线解析式为，把、两点坐标代入可得：，解得：，直线解析式为，如图，过作轴，交轴于点，交直线于点，点横坐标为，，，点在第二象限，点在点上方，，当时，有最大值，最大值为，，当有最大值时，的面积有最大值，，综上可知，存在点使的面积最大，的面积有最大值为；当时，，过点作轴于点，∴，又∵，∴，，，点的横坐标为，，在第二象限，，，，解得，，与在二象限，横坐标小于矛盾，舍去，当时，，，当时，，此时，轴，当与相似时，点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数综合题，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，解直角三角形，旋转的性质等等，解（1）的关键是利用旋转的性质得出，的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，其中．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接，求面积的最大值；(3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)N的坐标为或或【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数解析式为；（2）过P作轴交于Q，求出直线解析式为，设，则可得，故，根据二次函数性质可得面积的最大值为；（3）求出抛物线的对称轴为直线，设，分三种情况：①当为对角线时，的中点重合，，②当为对角线时，，③当为对角线时，，分别解方程组可得答案．【详解】（1）解：把代入得：，解得，∴抛物线的函数解析式为；（2）解：过P作轴交于Q，如图：由得直线解析式为，设，其中，则，，∵，∴当时，取最大值，面积的最大值为；（3）解：抛物线上存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：，∴抛物线的对称轴为直线，设，又，①当为对角线时，的中点重合，∴，解得，；②当为对角线时，，解得，；③当为对角线时，，解得，；综上所述，N的坐标为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．题型四二次函数平移、翻折、旋转问题1．如图1，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．直线经过、两点．(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如图2，将位于轴下方的抛物线沿轴向上翻折形成“”图象，将直线向上平移个单位得到直线．当直线与“”图象有两个交点时，求的取值范围．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）先后求出坐标即可求出解析式；（2）画出平移后的图像，分析当在与之间移动时，和在上方移动时，直线与“”图象有两个交点，分情况讨论，然后直接求解直线解析式即可．【详解】（1）抛物线中，令，∴，∵在直线上，∴，∴，令，∴，将代入，∴，解得，∴，故直线解析式为，抛物线的解析式为．（2）将直线移动到如图位置时，直线与“”图象有三个交点，平移后的，①当与翻折后的抛物线只有一个交点时，翻折后的函数解析式为：，∴，化简得，∴，解得，②当过点时，由（1）可知，，∴，将代入，∴，解得，∵直线与“”图象有两个交点，∴或，【点睛】此题考查函数的综合应用，解题关键是取已知点代入解析式进行求解，难点是判断函数的交点个数，直接画出函数图像，找到函数有两个交点的范围，分情况讨论求解．2．已知抛物线过点和两点，交x轴于另一点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分时，求P点坐标；(3)将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是______；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是______．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）过点B作轴交DP延长线与点E，过D作轴交x轴于点F．证明，求得点的坐标，进而求得直线DE的解析式为，联立抛物线解析式即可求解；（3）①根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为；②连接，交于点，则，过点作轴的垂线，交于点，当GM最大时，△GFE面积最大，设，则，根据以及二次函数的性质求得当时，△GFE面积最大，，根据①的方法求得的坐标，根据中点公式求得的坐标，根据勾股定理求得，由即可求解．【详解】（1）∵过，∴

解之得∴抛物线解析式为（2）过点B作轴交DP延长线与点E，过D作轴交x轴于点F．由，令，得，则，即，∴，∴又∵，BD平分，∴，∴，

∴设直线的解析式为，解得∴直线DE的解析式为联立解得则（3）①直线EF解析式为．抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点关于原点旋转90°后对应点为在旋转后图形上，关于x轴对称的点在旋转后图形上，∵与关于对称，∴图形2关于对称，∴直线EF解析式为故答案为：②GH最大值为如图，连接，交于点，则，过点作轴的垂线，交于点，∴当GM最大时，△GFE面积最大，又∵设，则∴∴当时，△GFE面积最大，由①可知关于的对称点∴GH的最大值为：故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键．题型五二次函数中的新定义型问题1．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图像的“等值点”．(1)请判断函数的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；(3)已知函数（为常数）有两个“等值点”．存在函数（异于），若对于任意的自变量，都有点与点到点的距离相等；当时，都有成立，请结合图像求的取值范围．【答案】(1)存在；或(2)或(3)或【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数的图像上有两个“等值点”，可得，同理求出，根据的面积为可得，求解即可；（3）先根据函数有两个“等值点”，利用根的判别式可初步确定的取值范围，依据抛物线性质和图像可得开口向上，对称轴为直线，顶点，且图像恒过点，当，图像的随着的增大而增大，最大值比最小值大，根据对称性确定抛物线的解析式，再分析抛物线的图像和性质；然后根据，两点的位置进行分类讨论即可．【详解】（1）解：在中，令，解得：，，∴函数的图像上有两个“等值点”，坐标为或．（2）在函数中，令，解得：或（不符合题意，舍去）∴，在函数中，令，解得：，∴，∵轴，∴，∵的面积为，∴，整理，得：，当时，解得：，，当时，即，∵，∴方程没有实数根，综上所述，的值为或．（3）设，，设函数的顶点为，∵函数（为常数）有两个“等值点”，∴令，即，∴，解得：或，由函数知：图像开口向上，对称轴为直线