广东省揭阳市普宁二中实验学校2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

广东省揭阳市普宁二中实验学校2022-2023学年高一（下）期末数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈Z}，B＝{x|5x2﹣4x﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，3，5}2．（5分）在△ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知复数z1＝（m2﹣1）+（m2+2m﹣3）i，z2＝m+i，其中i为虚数单位，m∈R，若z1为纯虚数，则下列说法正确的是（）A．m＝±1 B．复数z2在复平面内对应的点在第一象限 C．|z2|＝2 D．|z1|2＝|z2|24．（5分）在空间中，下列说法正确的是（）A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直 C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行5．（5分）有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（）A． B． C． D．6．（5分）如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则＝（）A． B． C． D．7．（5分）已知实数a，b∈（1，+∞），且log2a+logb3＝log2b+loga2，则（）A． B． C． D．8．（5分）如图（1）所示，已知球的体积为36π，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）A．CD与BE是异面直线 B．异面直线AB与CD所成角的大小为45° C．由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为3π D．球面上的点到底座底面DEF的最大距离为二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）设复数，则下列命题中正确的是（）A．的虚部是 B． C．复平面内z与分别对应的两点之间的距离为1 D．（多选）10．（5分）广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（）A．A组打分的众数为47 B．B组打分的中位数为75 C．A组的意见相对一致 D．B组打分的均值小于A组打分的均值（多选）11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（）A．当N为棱AA1中点时，MN∥B1D B．当N为棱AA1中点时，MN与平面ABC1D1所成角为30° C．有且仅有三个点N，使得B1N∥平面AMD1 D．有且仅有四个点N，使得MN与B1C所成角为60°（多选）12．（5分）设函数，已知f（x）在[0，π]上有且仅有4个零点，则（）A．ω的取值范围是 B．y＝f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上的交点恰有2个 C．y＝f（x）的图象与直线y＝﹣1在（0，π）上的交点恰有2个 D．f（x）在上单调递减三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）某机构组织填写关于环境保护的知识答卷，从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第80百分位数为．14．（5分）若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，O'A＝O'B＝2，则原图的面积为．15．（5分）已知1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝．16．（5分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则（+）•（+）的最小值为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是实数．（1）求p和q的值；（2）若（p+qi）•（m2+2mi）是纯虚数，求实数m的值．18．（12分）某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩．现从中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩[80，100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表，记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”．比赛成绩[80，100）[100，120）[120，140）[140，160）[160，180）[180，200]人数410216315（1）估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数；（2）从样本比赛成绩在[120，140）和[160，180）的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率．19．（12分）如图，在四边形OBCD中，，，，且．（1）用，表示；（2）点P在线段AC上，且，求与的夹角θ的余弦值．20．（12分）已知函数的部分图像如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图像，若关于x的方程g（x）﹣m＝0在区间上有两个不同的实数解，求实数m的范围．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c＝2b，a＝3，D是边BC上一点．（1）求bcosC+2bcosB的值；（2）若．①求证：AD平分∠BAC；②求△ABC面积的最大值及此时AD的长．22．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝2，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC的交点为G．（1）求异面直线AE与PF所成角的大小；（2）求平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小；（3）求点G的位置．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈Z}，B＝{x|5x2﹣4x﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，3，5}【解答】解：集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈Z}，B＝{x|5x2﹣4x﹣1≤0}＝[﹣，1]，则A∩B＝{1}．故选：A．2．（5分）在△ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：①在△ABC中，当时，则A＝或，∴充分性不成立，②当时，则，∴必要性成立，∴是的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）已知复数z1＝（m2﹣1）+（m2+2m﹣3）i，z2＝m+i，其中i为虚数单位，m∈R，若z1为纯虚数，则下列说法正确的是（）A．m＝±1 B．复数z2在复平面内对应的点在第一象限 C．|z2|＝2 D．|z1|2＝|z2|2【解答】解：∵z1＝（m2﹣1）+（m2+2m﹣3）i为纯虚数，∴，解得m＝﹣1，故A错误，∴z1＝﹣4i，z2＝﹣1+，复数z2在复平面内对应的点（﹣1，）在第二象限，故B错误，|z2|＝，故C正确，，故D错误．故选：C．4．（5分）在空间中，下列说法正确的是（）A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直 C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行【解答】解：垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；根据线面垂直的性质可知：D正确；故选：D．5．（5分）有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，基本事件总数n＝＝10，至少有1名女生包含的基本事件个数m＝＝9．∴至少有1名女生的概率为P＝＝．故选：D．6．（5分）如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得：＝+，＝，＝+，＝，∴＝+，故选：A．7．（5分）已知实数a，b∈（1，+∞），且log2a+logb3＝log2b+loga2，则（）A． B． C． D．【解答】解：∵logb2＜logb3，∴log2a+logb2＜log2b+loga2，即log2a﹣loga2＜log2b﹣logb2，∵函数在（0，+∞）上单调递增，∴log2a＜log2b，即a＜b，故排除选项C、D；∵log2b＞log3b，∴log2a+logb3＞log3b+loga2，即log2a﹣loga2＞log3b﹣logb3，∵函数在（0，+∞）上单调递增，∴log2a＞log3b，又∵，∴，即，故，故选：B．8．（5分）如图（1）所示，已知球的体积为36π，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）A．CD与BE是异面直线 B．异面直线AB与CD所成角的大小为45° C．由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为3π D．球面上的点到底座底面DEF的最大距离为【解答】解：取DF，EF中点N，M，连接AB，BC，AC，BM，MN，CN，如图，因△BEF为正三角形，则BM⊥EF，而平面BEF⊥平面DFE，平面BEF∩平面DFE＝EF，BM⊂平面BEF，于是得BM⊥平面DFE，同理CN⊥平面DFE，即BM∥CN，，因此，四边形BCNM是平行四边形，有BC∥NM∥DE，则直线CD与BE在同一平面内，故A不正确；由选项A，同理可得AB∥DF，则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角60°，故B不正确；由选项A知，，同理可得AB＝AC＝3，正△ABC外接圆半径，由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是△ABC的外接圆，此截面面积为3π，故C正确；体积为36π的球半径R，由得R＝3，由选项C知，球心到平面ABC的距离，由选项A，同理可得点A到平面DFE的距离为，即平面ABC与平面DFE的距离为，所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为，故D不正确．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）设复数，则下列命题中正确的是（）A．的虚部是 B． C．复平面内z与分别对应的两点之间的距离为1 D．【解答】解：∵，∴＝﹣i，故的虚部是﹣，故选项A错误；∵z+＝1，|z|＝＝1，∴z+＝|z|，即选项B正确；复平面内z与分别对应的两点之间的距离为＝，故选项C错误；z2+＝（+i）2+﹣i＝+i﹣+﹣i＝0，故选项D正确；故选：BD．（多选）10．（5分）广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（）A．A组打分的众数为47 B．B组打分的中位数为75 C．A组的意见相对一致 D．B组打分的均值小于A组打分的均值【解答】解：由折线图可知，小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，50，47，则小组A打分的分值的众数为47，故选项A正确；小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；小组A的打分分值的均值（42+47+45+46+50+47+50+47）×＝46.7，而小组B的打分分值的均值（55+36+70+66+75+68+68+62+58）×＝62，所以小组B打分的分值的均值大于小组A打分的分值的均值，故选项D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（）A．当N为棱AA1中点时，MN∥B1D B．当N为棱AA1中点时，MN与平面ABC1D1所成角为30° C．有且仅有三个点N，使得B1N∥平面AMD1 D．有且仅有四个点N，使得MN与B1C所成角为60°【解答】解：对于A，∵B1D∩平面A1B1BA＝B1，MN⊂平面A1B1BA，且B1∉MN，∴当N为棱AA1中点时，MN与B1D异面，故A错误；对于B，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），N（2，0，1），M（2，1，2），∴＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），＝（0，1，1），设＝（x，y，z）为平面ABC1D1的法向量，则，取x＝1，得＝（1，0，1），记MN与平面ABC1D1所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∵θ∈[0，]，∴θ＝，故B正确；对于C，记C1D1中点为N，AB中点为P，连接B1N，B1P，ND，DP，由正方体性质得DN∥PB1∥AD1，MD1∥DP∥NB1，又B1N∩DN＝N，MD1∩AD1＝D1，B1N⊂平面B1NDP，DN⊂平面B1NDP，∴平面B1NDP∥平面AMD1，∴当点N为C1D1中点或AB中点或与D重合时满足题意，故C正确；对于D，如图，CD1，B1D1，AC，AB1与B1C的夹角都是60°，∴当MN与CD1，B1D1，AC，AB1之一平行时，满足题意，即N为BB1，AA1，A1D1，B1C1中点时，满足题意，故D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）设函数，已知f（x）在[0，π]上有且仅有4个零点，则（）A．ω的取值范围是 B．y＝f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上的交点恰有2个 C．y＝f（x）的图象与直线y＝﹣1在（0，π）上的交点恰有2个 D．f（x）在上单调递减【解答】解：当x∈[0，π]时，ωx﹣∈[﹣，πω﹣]，因为f（x）在[0，π]上有且仅有4个零点，所以，解得，故A正确；又由以上分析可知，函数y＝cosx在上有且仅有4个零点，且，则在上，y＝cosx出现两次最大值，此时函数y＝cosx的大致图象如图示：即y＝f（x）在（0，π）上两次出现最大值1，即ωx﹣取0，2π时，y＝f（x）取最大值，故y＝f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上的交点恰有2个，故B正确；由于当x∈（0，π）时，ωx﹣∈[﹣，πω﹣]，，当ωx﹣＝﹣π时，y＝f（x）取最小值﹣1，由于ωx﹣是否取到3π不确定，故y＝f（x）的图象与直线y＝﹣1在（0，π）上的交点可能是1个或2个，故C错误；当时，，因为，所以，，故的值不一定小于π，所以f（x）在上不一定单调递减．故选：AB．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）某机构组织填写关于环境保护的知识答卷，从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第80百分位数为88．【解答】解：这组数据为68，81，81，83，86，88，90，因为7×80%＝5.6，所以这7份试卷成绩的第80百分位数为88．故答案为：88．14．（5分）若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，O'A＝O'B＝2，则原图的面积为．【解答】解：根据题意，直观图△O'A'B′是一个等腰直角三角形，O'A＝O'B＝2，则其面积S′＝×2×2＝2，故原图的面积S＝2S′＝4，故答案为：4．15．（5分）已知1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝．【解答】解：将x＝1+2i代入方程x2﹣mx+2n＝0，有（1+2i）2﹣m（1+2i）+2n＝0，即1+4i﹣4﹣m﹣2mi+2n＝0，即（﹣3﹣m+2n）+（4﹣2m）i＝0，由复数相等的充要条件，得，解得m＝2，n＝，故．故答案为：．16．（5分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则（+）•（+）的最小值为．【解答】解：如图所示，以该正八边形的中心O为原点，过O与AB平行的直线为x轴，如图建立平面直角坐标系，再设M，N分别为AB，EF的中点，易知N（），M（0，﹣1），再设P（x，y），而（+）•（+）＝＝4＝4（）＝4[]，（当且仅当x＝y＝0取等号），故所求的最小值为：．故答案为：．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是实数．（1）求p和q的值；（2）若（p+qi）•（m2+2mi）是纯虚数，求实数m的值．【解答】解：（1）∵z＝1+i（i是虚数单位）是方程x2﹣px+q＝0的根，∴也是方程x2﹣px+q＝0的根，∴，解得p＝q＝2．（2）由（1）可得，（p+qi）•（m2+2mi）＝（2+2i）•（m2+2mi）＝2m2﹣4m+（4m+2m2）i，∵（p+qi）•（m2+2mi）是纯虚数，∴，解得m＝2．18．（12分）某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩．现从中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩[80，100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表，记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”．比赛成绩[80，100）[100，120）[120，140）[140，160）[160，180）[180，200]人数410216315（1）估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数；（2）从样本比赛成绩在[120，140）和[160，180）的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率．【解答】解：（1）由频数分布表可知，样本比赛成绩大于或等于160的学生有3+15＝18人，所以估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为1000×＝360人；（2）设“两人比赛成绩都为‘优秀’”为事件M，记比赛成绩在[120，140）的学生为A1，A2，比赛成绩在[160，180）的学生为B1，B2，B3，则从这5个学生中随机抽取2人的样本空间Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，M＝{（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，所以，由古典概型得P（M）＝；综上，估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为360，两人比赛成绩都为优秀的概率为．19．（12分）如图，在四边形OBCD中，，，，且．（1）用，表示；（2）点P在线段AC上，且，求与的夹角θ的余弦值．【解答】解：（1）＝++＝﹣+2+＝﹣+2；（2）＝+，＝＝+＝+，＝﹣，＝+＝﹣++＝﹣，•＝（﹣+2）•（﹣）＝+×4＝，||＝＝，||＝＝．cos＜，＞＝＝．20．（12分）已知函数的部分图像如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图像，若关于x的方程g（x）﹣m＝0在区间上有两个不同的实数解，求实数m的范围．【解答】解：（1）由已知函数f（x）＝（ω＞0，|φ|＜）的部分图象得，解得，∴；（2）由题意可知，g（x）＝，g（x）﹣m＝0在区间上有两个不同的实数解，则直线y＝m与函数g（x）＝有两个不同的交点，令，则g（x）对称轴为x＝，∵，∴当k＝0，x＝符合题意，即两个交点关于x＝对称，∴，g（0）＝1，∴m的取值范围为[1，）．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c＝2b，a＝3，D是边BC上一点．（1）求bcosC+2bcosB的值；（2）若．①求证：AD平分∠BAC；②求△ABC面积的最大值及此时AD的长．【解答】解：（1）因为c＝2b，a＝3，所以bcosC+2bcosB＝bcosC+ccosB＝b•+c•＝＝a＝3，所以bcosC+2bcosB的值为3；（2）①证明：因为，所以，由a＝3知，BD＝2，DC＝1，设∠BAD＝α，∠DAC＝β，∠ADB＝θ，在△ABD中，由正弦定理得，＝，即＝，所以sinα＝，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝，所以sinβ