概率论与数理统计期末复习指南

概率论与数理统计期末复习指南第一章随机事件与概率一、内容提要1.事件的关系与运算（1）包含:;（2）、至少发生一个:或（称为事件的和）推广:至少发生一个:;（3）、同时发生:或（称为事件的积）推广:同时发生:;（4）发生,不发生:或或（称为事件的差）（5）不发生:（称为的逆事件或对立事件）;（6）、互不相容（或互斥）:.2.一些重要概率公式（1）;（2）加法公式:;推广:;（3）减法公式:;（4）条件概率:（表示发生的条件下,发生的概率）;（5）乘法公式:;（6）全概率公式:设是一互斥完备事件组,,是任一事件,则有,该式称为全概率公式．（7）贝叶斯公式:设是一互斥完备事件组,,是任一事件,,则.3.事件的独立性若、相互独立,则.推广:相互独立,则.4.二项概率公式事件在每次试验中发生的概率为,不发生的概率为,则在重贝努里试验中事件恰好发生次的概率为．特别地,．二、典型例题设表示三事件,用的运算关系表示下列各事件:(1)发生,与不发生.(2)与都发生,而不发生.(3)中至少有一个发生.(4)都发生.(5)都不发生.(6)中不多于一个发生.或(7)中不多于两个发生.或(8)中至少有两个发生.或设为随机事件,且,当与相互独立时,求,当与互斥时,求.【解】与相互独立时,,当与互斥时,.设为随机事件,,,,则求,,.【解】;;.某球员进行投篮训练,设各次投篮是否进篮筐相互独立,且各次进篮筐概率相同.已知该运动员3次投篮时至少投中一次的概率为0.875,则其投篮命中率为多少?5次投篮至少投中2次的概率为多少?【解】设投篮命中率为,则,,5次投篮至少投中2次的概率为:.设三个事件相互独立,且,,则求.【解】,(舍去),所以.从有5件次品,95件正品的100件产品中不放回地抽取3件,求下列事件的概率:(1)三件中恰好有2件次品;(2)第三件才抽到次品.【解】设,则(1).(2).两个盒子装有同型号的球,第一个盒子装有5个红球,4个白球;第二个盒子装有4个红球,5个白球.先从第一个盒子中任取两个球放入第二个盒子,然后再从第二个盒子中任取一球.求从第二个盒子中取到白球的概率.【解】设由全概率公式,得.将两信息分别编码为和传递出去,接收站收到时,被误作的概率为0.02,而被误作的概率为0.01.信息与传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息为,问原发信息是的概率是多少?【解】则由题意,由贝叶斯公式可知,有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,设各花籽是否发芽相互独立,求（1）这两颗花籽都能发芽的概率.（2）至少有一颗能发芽的概率.（3）恰好有一颗能发芽的概率.【解】用分别表示2颗花籽能发芽,其中,(1)(2)(3)设为个相互独立的事件,且求下列事件的概率:(1)个事件全不发生;(2)个事件中至少有一个发生;(3)个事件不全发生.【解】(1)(2)(3)

第二章一维随机变量及其分布一、内容提要1.一维离散型随机变量的概率分布列（律）设是一个离散型随机变量,它的取值为且.则称上式为随机变量的概率分布列.概率分布我们可以简单列表如下,称为概率分布表或…………性质:（1）非负性:;（2）正规性:.2.常见的离散型随机变量的概率分布及数字特征（期望、方差）（1）0-1分布（）:,数学期望方差.（2）二项分布:,数学期望方差.（3）泊松分布（Poisson分布）: 数学期望方差.3.一维连续型随机变量的概率密度函数若是随机变量,其分布函数为,如果存在非负函数,使得对于任意实数,有,则称是连续型随机变量,而称为的概率密度函数（简称密度函数）.性质:;(3).4.常见的连续型随机变量的概率密度函数及数字特征（期望、方差）（1）均匀分布:密度函数分布函数:数学期望方差.（2）正态分布:密度函数数学期望方差.分布函数:为标准正态分布的分布函数.（3）指数分布:数学期望方差.分布函数:5.随机变量的分布函数（用大写）设是一随机变量(可以是离散型的,也可以是非离散型),是任意实数,令,称为随机变量的分布函数．性质:(1),对所有的;(2)是个单调不减函数（单调递增的函数）,即若,则;(3);(4)最多有可列个间断点,且在其间断点上是右连续的;(5)对任意实数．6.离散型随机变量的分布函数求法设的分布列为:……则7.连续型随机变量分布函数的求法.(一般也要分段讨论)8.一维离散型随机变量落在某个区间的概率如何求:只需要看有几个在这个区间里,把对应的概率相加即可.9.一维连续型随机变量落在某个区间的概率如何求方法（一）:求在某个区间的概率,只需要用密度函数在对应区间积分即可.,,（注意:与端点的等号无关,因为连续型随机变量取一个值的概率为0）方法（二）:如果已知的分布函数,则,,.(注意:如果题目中的条件是已知密度函数,则用方法一;如果题目中的条件是已知分布函数,则用方法二.)10.正态分布下如何求概率对于一般的随机变量,则;;.其中为标准正态分布的分布函数.11．如何求离散型随机变量函数的分布列………………即……如果有相同的项,则把这些相同的项合并(看作是一项),并把相应的概率相加,即可．12．如何求连续型随机变量函数的概率密度函数方法（一）:先求的分布函数,然后再通过求导得出的密度函数.方法（二）如果是单调的函数设是一个连续型随机变量,其密度函数为,取值于,又函数在上是严格单调且其反函数为具有连续导数,则也是一个连续型随机变量,且其密度函数为二、典型例题设随机变量的分布律为：-123求的分布函数.(画数轴)【解】，图像为注：分布函数在有跳跃，其跳跃值为设随机变量X具有概率密度求(1)确定常数k；(2)求的分布函数；(3)求．【解】(1)由，得解得．(2),所以当时，，当时，，当时，，当时，，故(3).或.已知随机变量的密度函数为求的密度函数．【解】设随机变量的分布密度为.求（1）的值;（2）;（3）的分布函数;（4）的分布密度.【解】（1）,，；（2）；（3）；（4）求导得.设某城市男子的身高(单位:cm).（1）应如何设计公共汽车的车门高度,才能使该地男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182cm,求男子会与车门碰头的概率.【解】（1）设公共汽车的车门高度应为cm.则要使,只须,从而只要,于是即可.（2）若车门高度为182cm,则1个男子会与车门碰头的概率为.（1）设,,且,求.（2）设,且,求.（3）设，试分析当时，概率的值将如何变化.【解】（（1），，故，.从而,.（2）,且,即,亦即,又,.从而,,于是.（3），故.故当时，概率的值保持不变,始终是常数0.6826.

第三章二维随机向量及其分布一、内容提要1.二维离散型随机向量的联合分布列若随机变量的所有取值分别为:和则称为二维离散型随机变量．并称为的联合分布列（或分布列）．二维离散型随机变量的联合分布列有时也用如下的概率分布表来表示:.2.边缘分布列由二维离散型随机变量的联合分布列,我们可以求出的边缘分布．的概率分布为的概率分布为我们将二维离散型随机变量的联合分布列和边缘分布列写在同一表上,如下所示:13.二维连续型随机向量的联合密度函数称为的密度函数（或联合密度函数）.性质:（1）（2）;（3）.4.边缘密度函数,称为关于的边缘概率密度函数,为关于的边缘概率密度函数．5.条件分布二维离散型随机向量的条件概率分布列在已知的条件下，X取值的条件分布为在已知的条件下，Y取值的条件分布为其中，分别为X，Y的边缘分布．条件概率密度函数,.6.二维离散型随机向量落在某个区域的概率如何求只需要看有几个在这个区域里,把对应的概率相加即可,即.7.二维连续型随机向量落在某个区域的概率如何求求在某个区域的概率,只需要用联合密度函数在对应区域积分即可,即.注:要会简单区域上的二重积分,如长方形区域,三角形区域,简单型区域.8.独立性如何判断二维离散型随机向量的独立性如果,对于任意成立,则称离散型随机变量是独立的．如何判断二维连续型随机向量的独立性如果,则称连续型随机变量是独立的．9.二维均匀分布（类似一维均匀分布）设为平面上的有界区域,面积为.若的联合密度函数为则称服从区域G上的均匀分布.10.如何求二维离散型随机向量函数的分布列 即……如果有相同的项,则把这些相同的项合并(看作是一项),并把相应的概率相加,即可．11.二维随机向量函数的分布已知联合密度函数，求的概率密度函数（1）分布函数法:先求的分布函数,然后再通过求导得出的密度函数.（2）公式法，则的密度函数;特别地，若X,Y相互独立，分别为它们的密度函数.则上述公式可表示为：.12.正态分布的可加性,．更一般地，，且相互独立，又为实数，则.13.最大值,最小值的分布函数设相互独立,其分布函数分别为记,,则,和的分布函数分别为:,特别,当独立同分布(分布函数相同)时,则有,.二、典型例题设随机变量1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一个随机变量在～中等可能地取一整数值,试求的分布列及的边缘分布律.【解】123410002003041设(X，Y)的联合分布密度为试求：(1)常数C.(2)P{0＜X＜1，0＜Y＜2}．(3)X与Y的边缘分布密度p1(x)，p2(y)，并判断独立性．（4）求分布函数.【解】(1)由，得．(2).(3),相互独立.(4)当或时，F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=0，当时，因此设平面区域由曲线,直线所围成.在上服从均匀分布,求.【解】区域的面积故的联合概率密度为.,设的联合概率密度为求：(1)；（2）；（3）；（4）.题(2)图题(2)图题(3)图题(4)题(1)图【解】（1）；（2）；（3）；（4）.设的联合概率密度为求：(1)常数；(2)；(3)；(4).【解】(1)(2).(3)时，，有定义，且(4)，，从而.题题6图题5图设相互独立且都服从上的均匀分布,求的概率密度.【解】,其中,..(区域见图示)(1)时,；(2)时,；(3)时,.综上知.设的联合概率密度，求(1),；(2)的概率密度；(3).题题7（1）②图题7（1）①图【解】(1)①；②，，于是，从而.(2),其中.(区域见图示)(1)时,；(2)时,.综上知.题7题7（2）图（3）1111题7（3）图【解】，则因此已知随机变量的联合分布列为3试求的分布列【解】的所有可能取值为2,3,4,5,且所以，的分布列为2345的所有可能取值为1,2,3且所以，的分布列为123

第四章随机变量的数字特征一、内容提要1.数学期望设为离散型随机变量,其分布列为若,记,称为的数学期望,简称期望或均值．设为具有密度函数的连续型随机变量,若,记,则称为随机变量的数学期望.2.数学期望的性质（1）;（2）; （3）;（4）若、相互独立,则.推广:（a）; （b）若相互独立,则.3.随机变量函数的期望（1）一维离散型:;（2）一维连续型:;（3）二维离散型:;（4）二维连续型:.4.方差设是随机变量,若存在,则称它为随机变量的方差,记为或．即=.方差的算术根称为标准差或均方差.5.方差的计算公式.（平方的期望减去期望的平方）6.方差的性质（1）;（2）;（3）若、相互独立,则.推广:若相互独立,则.（4）若则即以概率1取常数.注意:即使、相互独立,则.7.常见分布的期望和方差分布名称符号均值方差0-1分布二项分布泊松分布几何分布均匀分布指数分布正态分布8.协方差,协方差的计算公式:.（乘积的期望减去期望的乘积）9.协方差的性质（1）;（2）;（3）;（4）若、相互独立时,则.10.相关系数11.相关系数性质（1）;（2）存在常数,使得.特别地,当=1时,称和完全正相关;当=--1时,称和完全负相关．（3）,称和不相关.注:和独立和不相关,即;和不相关和独立.二、典型例题已知二维离散型随机变量的联合分布律为XY－1012－10.150.10.050.0200.10.150.050.0610.150.050.10.02(1)分别求的边缘分布律及的边缘分布函数;(2)求时,的条件分布律;(3)求;(4)求,,的分布律;(5)求相关系数;(6)判断判别是否相关?是否独立?说明理由.【解】（1）在联合分布律表格中横向、纵向对求和，得的边缘分布律X－101pk0.320.360.32Y－1012pk0.40.30.20.1又由的边缘分布律得;(2)条件分布律为即－1010.20.60.2(3)；；(4)的分布律分别为Z－2－10123pk0.150.020.350.120.160.02U－1012pk0.150.350.40.1V－101pk0.570.310.12(5)由的边缘分布律得，，.，，.由的联合分布律得,于是,.(6),故相关,从而不独立.已知二维随机变量，在区域内服从均匀分布，求(1)的联合分布密度;(2)条件概率;(3)边缘分布密度,;(4)条件密度;(5)条件概率;(6)方差及协方差;(7)判别是否相关?是否独立?(8)的分布密度.题2(1)图题2(1)图题2(2)图题2(8)图题2(2)图题2(8)图题2(2)图【解】如图,(1),故;(2);(3)由题2(1)图知,;(4)时,有;(5)由(4)知,故;(6)（奇函数在对称区间上的积分为0），，；，，;(7)，故不相关；但，故也不独立.(8),.(区域见图示)当时,;当时,;当时,.从而.设的概率密度为,且.求(1)常数的值;(2)期望.【解】(1)由得,解得.故.(2)设的概率密度为,现对独立重复观察4次,以表示观察值大于的次数,求.【解】,,.射击比赛中每人可发4弹,并规定全都不中得0分,中1弹得15分,中2弹得30分,中3弹得55分,中4弹得100分.某人每次射击命中率为3/4,求他的平均得分.【解】射中的弹数为随机变量X,其最后得分为Y.则,且,,,,.即有分布律0153055100从而完成下列问题:(1)设相互独立，，求的概率密度函数.(2)已知二维随机变量，分析所服从的分布(包括分布类型及参数).(3)设，且，求参数.(4)设相互独立，且，求的期望和方差.【解】(1)相互独立，，故服从正态分布,且,,于是;(2),故相互独立，，于是经类似(1)中的分析可知;(3),故,解得;(4)因为,且,.，于是,.已知是二维正态分布,且,且,求(1);(2);(3)问是否独立?为什么?【解】(1),.(2);(3)是二维正态分布,是的线性函数,故也是二维正态分布.由(2)知,,即不相关,从而独立(二维正态变量的独立与不相关等价).设,且相互独立,试求之间的相关系数(是非零常数),并分析相互独立的充要条件.【解】(1),,,,于是.(2)因为,所以是二维正态分布.而都是的线性函数,故也是二维正态分布.于是相互独立的充要条件是它们不相关,即,亦即.

第五章大数定理和中心极限定理一、内容提要1.切比雪夫不等式2.大数定律（平均值趋向于期望的定理）(1)切比雪夫大数定律设相互独立,且存在,存在,且有公共的上界,则.特别地,设相互独立,且，则.(2)辛欣大数定律设是独立同分布的随机变量序列,且，则.(3)伯努利大数定律设相互独立，且均服从分布，则.4.在概率论中,习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.(1)(独立同分布的中心极限定理)设是独立同分布的随机变量序列,且则服从中心极限定理,即:．即:．(2)(德莫佛-拉普拉斯中心极限定理)设随机变量服从参数的二项分布,即,则,即随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式P(|X＋Y|≥6)≤______．【解】设Z＝X＋Y，则E(Z)＝E(X)＋E(Y)＝0，＝1＋4＋2×1×2×(－0.5)＝3．由切比雪夫不等式令＝6，由D(Z)＝3，有即设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，依概率收敛于______．【解】由题设，可知Xi～e(2)，因此根据切比雪夫大数定律“若X1，X2，…具有相同的数学期望E(Xi)＝，则对于任意的正数，有因此，本题有即当n→∞时，依概率收敛于某电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且设开关时间彼此独立，试用中心极限定理求夜晚同时开灯盏数在6800和7200之间的概率的近似值.【解】设夜晚同时开灯盏数为X，则由题意知.这里,充分大,由棣美弗-拉普拉斯中心极限定理知于是,.设甲乙距离较远,因此要分成100段测量两地的距离.若每段测量值的误差服从(－1,1)的均匀分布(单位:厘米),求测量值总和的误差绝对值超过10厘米的概率近似值.【解】设各段测量值的误差为则由题意知相互独立,,于是.这里,充分大.由独立同分布的中心极限定理知于是，.

第六章样本及抽样分布一、内容提要1.若相互独立,且每个都与同分布,则称为来自总体的简单随机样本,简称样本.称为样本观测值.2.总体为离散型时,如何求样本的联合分布列其中为总体的分布列.3.总体为连续型时,如何求样本的联合密度函数,其中为总体的密度函数.4.什么是统计量样本的函数中若不含任何未知参数,则称为一个统计量.5.常用统计量（1）样本均值;（2）样本方差,样本标准差;（3）样本阶原点矩;（4）样本阶中心矩;（5）次序统计量.5.统计量的数字特征(1);(2);由1,2，可得到：(3)，(4)如果总体服从正态分布，则.因为：从而:6.三大分布(1)分布设相互独立，且均服从分布，则服从自由度为的卡方分布，记作.卡方分布的密度函数大致图像=1\*GB3①.=2\*GB3②．(2)分布设相互独立，则称服从自由度为的分布，记为．分布密度图像大致为：(3)分布设相互独立，则称服从第一自由度为，第二自由度为的分布，记为.密度图像大致为：性质：（1）若，则；（2）若，则.7.正态总体抽样分布定理单个正态总体设,是的一个样本,,，则（1）（2）（3）（4）（5）与相互独立.双正态总体，,是的一个样本,是样本均值，是样本方差，是来自总体的样本，是样本均值，是样本方差,且合样本,相互独立，则（1）.（2）当时，，其中.（3）.（4）.8.上侧分位数（大于此点的概率为的临界值）(1)正态分布上分位数图示：对称分布，.(2)分布上分位数图示：(3)分布的上分位数对称分布,.(4)分布的上分位数性质:.二、典型例题设X1，X2，…，Xm来自二项分布总体B(n，p)的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差．记统计量T＝－S2，则ET＝______．【解】由于考虑到总体为B(n，p)，因此 ET＝np－np(1－p)＝np2． 设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体的简单随机样本，为样本均值，记Yi＝Xi－，i＝1，2，…，n．求：(Ⅰ)Yi的方差D(Yi)，i＝1，2，…，n．(Ⅱ)Y1与Yn的协方差．【解】(Ⅰ)(Ⅱ)cov(Y1，Yn)＝E(Y1－E(Y1))(Yn－E(Yn))也可以用协方差的性质：设为来自总体为的简单随机样本，则统计量的分布为,的分布为.设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，为样本均值，S2为样本方差，则有__D__(A)n～N(0，1)． (B)nS2～．(C) (D)设是来自总体的简单随机样本证明：统计量服从自由度为2的t分布【证明】,与独立,所以与独立,所以,即.从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于0.95，则样本容量至少应取多大？【解】,,

第七章参数估计1.矩估计思想为待估计的参数,令,解方程组即得,主要考察的情形,即一个参数或两个参数.2.如何求参数的矩估计一个参数的情形:求出总体的期望,得,解得参数的矩估计.二个参数的情形:求出总体的期望和方差,得方程组