2024安徽中考数学二轮专题训练 特别关注 选填压轴题的三种特殊考查形式 (含答案)

2024安徽中考数学二轮专题训练特别关注选填压轴题的三种特殊考查形式形式一多结论判断题考向1代数类典例精讲例1已知a、b、c满足a＋b＋c＝0，下列结论①若abc≠0，则eq\f(a＋c,2b)＝－eq\f(1,2)；②若a≠0，则x＝1一定是方程ax＋b＋c＝0的解；③若abc≠0，则abc>0；④若c＝0，且ab≠0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝0.其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都选上)【思维教练】先观察每个选项所给的已知条件，根据已知条件结合题干所给的等式，将选项中已知的条件进行变形代入到给定的等式中，经过变形即可得到相应的结果．针对训练1.已知实数a，b，c，满足ab＋bc＝ac，有下列结论：①若abc≠0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,b)；②若b＝eq\f(1,2)a，则b＝eq\f(1,2)c；③若a＋b＝0，则a＝c；④若abc中任两个相等，则这两个数都为0；其中正确的是________(把所有正确结论的序号都选上)．考向2几何类典例精讲例2如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，CE⊥BD于点F，连接AF，则下列四个结论错误的是()例2题图A.△DEF∽△BDCB.BF＝2DFC.DF＝eq\f(\r(2),2)EFD.S四边形BAEF＝eq\f(5,2)S△DCF【思维教练】根据矩形的性质，可证得△DEF∽△BCF∽△CDF，设未知数，用含未知数的式子表示出各边长，从而得到各边关系式求解即可．安徽近年真题精选2.如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)第2题图①∠DCF＝eq\f(1,2)∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.针对训练3.如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，AC与PB相交于点E.下列结论错误的是()第3题图A.∠ACP＝15°B.△APE是等腰三角形C.AE2＝PE·ABD.若△APC的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则S1∶S2＝1∶44.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，点P是AB上一点，连接CP，将∠B沿CP折叠，使点B落在B′处．以下结论错误的是()A.当AB′⊥AC时，AB′的长为eq\r(2)B.当点P位于AB中点时，四边形ACPB′为菱形C.当∠B′PA＝30°时，eq\f(AP,PB)＝eq\f(1,2)D.当CP⊥AB时，AP∶AB′∶BP＝1∶2∶3形式二双空题考向1代数类典例精讲例1已知抛物线y＝－ax2＋2ax＋4的开口向下．请完成以下探究：(1)经研究发现：无论a取何值，此抛物线都会经过两个定点．则横坐标较大的定点的坐标为________；(2)若此抛物线与一次函数y＝x＋3(x≥1)的图象交于点M(m，n)，点M的纵坐标n的取值范围为________．安徽近年真题精选1.设抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a，其中a为实数．(1)若抛物线经过点(－1，m)，则m＝________；(2)将抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是________．针对训练2.抛物线y＝ax2－4x＋2的顶点坐标为(2，n)．(1)a＝______；(2)若抛物线y＝ax2－4x＋2向下平移m(m>0)个单位后，在－1<x<4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是________．3.已知：点A(m，n)在二次函数y＝(x－k)2＋k(k≠0)的图象上，也在二次函数y＝(x＋k)2－k的图象上．(1)若二次函数y＝(x－k)2＋k(k≠0)经过点(0，－eq\f(1,4))时，k有唯一值，则k＝________；(2)m＋n的最小整数值是________．考向2几何类典例精讲例2如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是BC上一点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在AB上一点F处．例2题图(1)BE的长度为________；(2)点P、H、G分别在线段DE、BC、BA上，当BP＝CP且四边形BGPH为矩形时，PE的长为________．安徽近年真题精选4.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：(1)∠PAQ的大小为________°；(2)当四边形APCD是平行四边形时，eq\f(AB,QR)的值为______．第4题图针对训练5.如图，线段AB＝12，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，点P为AB的中点，Q为射线AC上一动点，将△APQ沿PQ翻折得到△A1PQ，PA1、QA1的延长线分别交射线AC、BD于点E、F，连接EF.请探究下列问题：第5题图(1)AQ·BF的值为________；(2)当△A1PQ∽△A1FE时，AQ＝________．形式三多解题考向1含参解析式中参数的分情况讨论典例精讲例1如果二次函数y＝2x2＋b(b为常数)与正比例函数y＝3x的图象在－1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的取值范围为________．【思维教练】由一次函数与二次函数有一个公共交点，可联立关系式，根据根的判别式分别讨论b＞0、b＜0和b＝0时b的取值范围．针对训练1.在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3a＋2(a≠0)和抛物线y＝x2－ax的图象相交于P，Q两点．若P，Q都在x轴的上方，则实数a的取值范围是________．满分技法二次函数的交点问题：1.解决一次函数与二次函数的交点问题的一般步骤如下：(1)找/确定一次函数、二次函数解析式；(2)联立一次函数与二次函数解析式得到一元二次方程；(3)根据一次函数与二次函数图象的交点个数，利用一元二次方程的根的判别式b2－4ac，求未知系数的取值范围．反之，亦可利用一元二次方程的根的判别式b2－4ac判断一次函数与二次函数图象的交点个数；①一次函数与二次函数图象只有2个交点⇔b2－4ac＞0；②一次函数与二次函数图象只有1个交点⇔b2－4ac＝0；③一次函数与二次函数图象没有交点⇔b2－4ac＜0.2.若题干中给定自变量的取值范围时，一般要对取值范围的端点进行讨论；3.若函数的交点有特定的特点时，需要根据题意解出函数关系式，采用数形结合的思想，画出函数图象的草图，根据函数图象及函数性质来解题．考向2裁剪方式不确定典例精讲例2沿三角形的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的平行四边形，经测量这个四边形的相邻两边长为10、6，一条对角线的长为8，则原三角形纸片的周长是________．例2题图【思维教练】根据题意画图，补全三角形，注意有两种情况，再根据平行四边形各边平行且相等的性质求得三角形的周长．针对训练2.如图，有一张面积为3的锐角三角形纸片，其中一边BC为2，把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，且矩形的一边与BC平行，则矩形的周长为________．第2题图考向3图形形状不确定作图微技能等腰三角形腰和底边不确定3.如图，已知▱ABCD点E为边BC上一点．(1)连接AE，DE，找出当△ADE是以AD为底边的等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)；(2)连接AE，DE，找出当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)；(3)连接AE，找出当△ABE为等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)．满分技法问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形．分情况：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需分①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP三种情况进行讨论．作图找点：①情况一：以AB为腰．分别以A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求；②情况二：以AB为底．作线段AB的垂直平分线与已知直线的交点P3即为所求．代数法求解：设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分AB＝AP，AB＝BP，AP＝BP三种情况，列方程求解．作图微技能直角三角形直角顶点不确定4.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边BC、AD上的点，且BE＝DF，连接EF，点P是矩形ABCD的边上一点．(1)找出当△PEF是以EF为直角边的直角三角形时的图形；(用尺规作图，并保留作图痕迹)(2)找出当△PEF是以EF为斜边的直角三角形时的图形；(用尺规作图，并保留作图痕迹)满分技法问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．分情况：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°；②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°；③以P为直角顶点，即∠APB＝90°.作图找点：①情况一：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；②情况二：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；③情况三：取AB的中点Q为圆心，以QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3、P4即为所求．代数法求解：①设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分BP2＝AB2＋AP2，AP2＝AB2＋BP2，AB2＝AP2＋BP2三种情况，列方程求解，若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在；②找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过作辅助线构造相似三角形；③特殊地，若有30°、45°或60°角，可考虑用锐角三角函数求解．典例精讲例3在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，若P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形，且MA＝MD时，AP的长为________．针对训练5.如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝a，点D为BC边上的任一点，且CD＝eq\f(1,2)a，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，若△BDE是直角三角形，则a的值为________．第5题图拓展考向4对应关系不确定典例精讲例4如图，△ABC是边长为6例4题图的等边三角形，点D、E分别在AB、AC上，AD＝2，连接BE交CD于点F，且∠BFD＝60°，点M是射线CA上一点，当以C、D、M为顶点的三角形与△BCF相似时，CM的长为________．满分技法1.三角形全等或相似时，未指明对应边(或对应角)则需要分类讨论；2.图形旋转方向不确定分两类讨论：①图形绕旋转中心顺时针旋转；②图形绕旋转中心逆时针旋转；3.图形平移时，平移方向未确定时则需要分类讨论不同的平移方向．针对训练6.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上一点，将△ABC沿经过点P的直线折叠，使得点A落在边BC上的A′处，若△PBA′恰好和△ABC相似，则此时AP的长为________．第6题图拓展考向5点的位置不确定典例精讲例5在△ABC中，AB＝AC＝5eq\r(2)，∠BAC＝90°，点D在BC边上，DE⊥BC，分别交射线BA、射线CA于点E、F，若DE＝2EF，则线段BD的长为________．【思维教练】满足题中条件时有E点在F点上方，E点在F点下方两种情况，分别画图，根据等腰直角三角形的各边关系即可求解．针对训练7.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且EF∥BC，点A关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，则AD长为________．第7题图参考答案形式一多结论判断题考向1代数类典例精讲例1①②④【解析】①a＋c＝－b，∴eq\f(a＋c,2b)＝eq\f(－b,2b)＝－eq\f(1,2)，故①正确；②将x＝1代入ax＋b＋c＝0，得a＋b＋c＝0，故②正确；③abc≠0，可得a≠0，b≠0，c≠0，a＋b＋c＝0，则a、b、c中至少有1个正数，至少有1个负数．abc不一定大于0，故③错误；④c＝0，ab≠0，则a＋b＝0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝0，故④正确．针对训练1.①②④【解析】①∵ab＋bc＝ac，∴b(a＋c)＝ac，∴eq\f(a＋c,ac)＝eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,b)，故①正确；②∵b＝eq\f(1,2)a，∴a＝2b，将a＝2b代入ab＋bc＝ac得2b2＋bc＝2bc，∴2b＋c＝2c，∴b＝eq\f(1,2)c，故②正确；③若a＋b＝0，则a＝－b，代入ab＋bc＝ac得－b2＋bc＝－bc，∴b2＝2bc，∴b＝2c，∴a＝－2c，故③错误；④若b＝c，则ab＋b2＝ab，∴b2＝0，则b＝0，∴b＝c＝0，同理可得当其他两个数相等时，这两个数也都为0，故④正确．考向二几何类典例精讲例2C【解析】如解图，过点A作AM∥CE交BD于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，AD＝BC，∵CE⊥BD于点F，∴∠EDB＝∠DBC，∠DCB＝∠DFE＝90°，∴△DEF∽△BDC，故选项A正确；∵AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(DF,BF)，∵DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，∴eq\f(DF,BF)＝eq\f(1,2)，∴BF＝2DF，故选项B正确；设EF＝a，CF＝2a，∵∠CFD＝∠DFE＝90°，且∠EDF＋∠FDC＝∠FDC＋∠FCD＝90°，∴∠EDF＝∠FCD，∴△DFC∽△EFD，∴eq\f(DF,EF)＝eq\f(CF,DF)，则DF2＝EF·CF＝2a2，得DF＝eq\r(2)a，∴DF＝eq\r(2)EF，故选项C错误；∵△DEF∽△BCF，点E是AD边的中点，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)，∴S△DEF＝eq\f(1,2)S△DCF，S△DCF＝eq\f(1,6)S矩形ABCD，S四边形BAEF＝S△DBA－S△DEF＝eq\f(1,2)S矩形ABCD－eq\f(1,12)S矩形ABCD＝eq\f(5,12)S矩形ABCD，即可得到S四边形BAEF＝eq\f(5,2)S△DCF.故选项D正确．例2题解图安徽近年真题精选2.①②④【解析】序号逐个分析正误①∵F是AD的中点，∴DF＝eq\f(1,2)AD，∵AD＝2AB，∴AB＝DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，又由AD∥BC得∠DFC＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝eq\f(1,2)∠BCD√②如解图，延长BA、CF交于点G.∵∠GFA＝∠DFC，∠GAF＝∠D，AF＝DF，∴△AFG≌△DFC，∴GF＝CF，∴在Rt△GEC中，EF＝CF√③由②可知点F是△GEC斜边GC上的中点，∴S△CEG＝2S△CEF＝eq\f(1,2)GE·CE，S△BEC＝eq\f(1,2)BE·CE，又∵GE＝AG＋AE＝CD＋AE>BE，∴S△CEG>S△BEC，即S△BEC<2S△CEF×④由②可知∠G＝∠GEF，∴∠EFC＝2∠GEF，∵∠G＝∠DCF，∠DCF＝∠DFC，∴∠GEF＝∠DFC，∴∠DFE＝∠DFC＋∠EFC＝3∠AEF√第2题解图针对训练3.D【解析】∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，PC＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACP＝60°－45°＝15°，∴A正确；∵∠ABC＝90°，∠PBC＝60°，∴∠ABP＝90°－60°＝30°，∵BC＝PB，BC＝AB，∴PB＝AB，∴∠BPA＝∠PAB＝eq\f(1,2)(180°－30°)＝75°，∵∠ABP＝30°，∠BAC＝45°，∴∠AEP＝45°＋30°＝75°＝∠BPA，∴AP＝AE，∴△APE为等腰三角形，∴B正确；∵∠APB＝∠APB，∠AEP＝∠PAB＝75°，∴△PAE∽△ABP，∴eq\f(AP,BA)＝eq\f(PE,AP)，∴AP2＝PE·BA，∴AE2＝PE·AB，∴C正确；如解图，连接PD，过点D作DG⊥PC于点G，过点P作PF⊥AD于点F，设正方形的边长为2a，则S2＝4a2，等边△PBC的边长为2a，高为eq\r(3)a，∴PF＝2a－eq\r(3)a＝(2－eq\r(3))a，∴S△APD＝eq\f(1,2)AD·PF＝(2－eq\r(3))a2，∴∠PCD＝90°－60°＝30°，∴GD＝eq\f(1,2)CD＝a，∴S△PCD＝eq\f(1,2)PC·DG＝a2，S△ACD＝2a2，∴S1＝S△ACD－S△APD－S△PCD＝2a2－(2－eq\r(3))a2－a2＝(eq\r(3)－1)a2＜a2，∴S1∶S2≠1∶4，∴D错误．第3题解图4.C【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴∠CAB＝60°，BC＝eq\r(3)，AB＝2，如解图，连接AB′.A.当AB′⊥AC时，如解图①，B′C＝BC＝eq\r(3)，AC＝1，∴AB′＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，正确；B.当点P为AB中点时，如解图②，在Rt△ACB中，CP＝AP＝BP＝B′P，∴∠CB′P＝∠B′CP＝30°，∵∠CAP＝60°，∴△ACP是等边三角形，∴∠APC＝60°，∴∠APB′＝60°，又∵B′P＝BP＝AP，∴△APB′为等边三角形，∴AC＝CP＝PB′＝B′A，∴四边形ACPB′是菱形，正确；C.当∠B′PA＝30°时，如解图③，C、A、B′三点共线，由折叠的性质知B′C＝BC＝eq\r(3)，∴AB′＝AP＝eq\r(3)－1，∵AB＝2，∴PB＝2－(eq\r(3)－1)＝3－eq\r(3)，∴eq\f(AP,PB)＝eq\f(\r(3)－1,3－\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，错误；D.当CP⊥AB时，如解图④，B′和A、P、B三点在一条直线上，此时AP＝eq\f(1,2)，∵B′C＝BC＝eq\r(3)，∴B′P＝eq\f(3,2)，∴AB′＝1，BP＝B′P＝eq\f(3,2)，∴AP∶AB′∶BP＝1∶2∶3，正确．图①图②图③图④第4题解图形式二双空题考向1代数类典例精讲例1(1)(2，4)；(2)4＜n＜5【解析】(1)由y＝－ax2＋2ax＋4知无论a取何值，此抛物线都会经过定点(0，4)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(2a,－2a)＝1，∵(0，4)关于对称轴x＝1的对称点为(2，4)，∴无论a取何值，此抛物线也会经过定点(2，4)；(2)如解图，点B在点A正上方，函数y＝x＋3(x≥1)图象是射线，x＝1时，y＝x＋3＝4；x＝2时，y＝x＋3＝5，∴B(2，5)．∵抛物线经过定点(2，4)．结合函数草图可知，若抛物线与函数y＝x＋3(x≥1)的图象有交点M，则yA<yM<yB，∴点M纵坐标n的取值范围为4＜n＜5.例1题解图安徽近年真题精选1.(1)0；(2)2【解析】(1)把点(－1，m)代入该抛物线的解析式中，得1－(a＋1)＋a＝m，解得m＝0；(2)该抛物线顶点的纵坐标为eq\f(4a－（a＋1）2,4)＝eq\f(－（a－1）2,4)，平移后的纵坐标为－eq\f(1,4)(a－1)2＋2，∵－eq\f(1,4)＜0，∴当a＝1时，平移后的纵坐标有最大值为2.针对训练2.(1)1；(2)2≤m<7【解析】(1)由题意可知，该抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(－4,2a)＝2，解得a＝1；(2)设平移m个单位后，函数解析式为y＝x2－4x＋2＋m(此时不分上下，用正负替代)．当顶点在x轴上时，(－4)2－4×1×(2＋m)＝0，解得m＝2，即需向上平移2个单位，不符合条件；由于抛物线关于直线x＝2对称，∴抛物线在0<x<4内对称，若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与x轴的交点只能在－1<x≤0，故当x＝0时，y＝2＋m≤0，解得m≤－2，当x＝－1时，y＝7＋m>0，解得m>－7，∴－7<m≤－2，∵抛物线向下平移，∴m的取值范围是2≤m<7.3.(1)－eq\f(1,2)；(2)1【解析】(1)将点(0，－eq\f(1,4))代入函数表达式y＝(x－k)2＋k中得，k2＋k＝－eq\f(1,4)，移项得，k2＋k＋eq\f(1,4)＝0，化简得，(k＋eq\f(1,2))2＝0，解得k＝－eq\f(1,2)；(2)∵点A(m，n)在二次函数y＝(x－k)2＋k(k≠0)的图象上，也在二次函数y＝(x＋k)2－k的图象上，∴联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝（m－k）2＋k,n＝（m＋k）2－k))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),n＝k2＋\f(1,4)))，∴m＋n＝eq\f(1,2)＋k2＋eq\f(1,4)＝k2＋eq\f(3,4)，∴m＋n的最小整数值是1.考向2几何类典例精讲例2(1)eq\f(3,2)；(2)eq\f(\r(5),2)【解析】(1)由折叠可得：DF＝DC＝5，CE＝EF，∴在Rt△ADF中，AF＝eq\r(DF2－AD2)＝3，∴BF＝5－3＝2，设BE＝x，则FE＝CE＝4－x，在Rt△BEF中，22＋x2＝(4－x)2，解得x＝eq\f(3,2)，即BE＝eq\f(3,2)；(2)当BP＝CP且四边形BGPH为矩形时，点P在BC的垂直平分线上，即PH垂直平分BC，∴BH＝CH＝eq\f(1,2)BC＝2，又∵BE＝eq\f(3,2)，∴EH＝eq\f(1,2)，EC＝eq\f(5,2)，∵PH∥DC，∴eq\f(PH,CD)＝eq\f(EH,EC)，即eq\f(PH,5)＝eq\f(\f(1,2),\f(5,2))，解得PH＝1，在Rt△PEH中，PE＝eq\r(PH2＋EH2)＝eq\r(12＋（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(5),2)，∴PE的长为eq\f(\r(5),2).安徽近年真题精选4.(1)30；(2)eq\r(3)【解析】(1)如解图，由折叠的性质得∠AQP＝∠B，∠C＋∠D＝∠PRQ＋∠ARQ＝180°，∠DQA＝∠RQA，∠CQP＝∠RQP，且∠DQA＋∠RQA＋∠CQP＋∠RQP＝180°，∴AD∥BC，∠B＝∠AQP＝90°，即∠BAD＝90°＝∠1＋∠2＋∠3，由折叠性质知∠1＝∠2＝∠3，∴∠PAQ＝∠2＝30°；(2)当四边形APCD为平行四边形时，∠C＝∠DAP＝∠1＋∠2＝60°，∴△PQR为等边三角形，QR＝QP，∠RPQ＝60°，tan∠APQ＝eq\f(AQ,QP)＝eq\r(3)，由折叠的性质得AB＝AQ，∴eq\f(AB,QR)＝eq\r(3).第4题解图针对训练5.(1)36；(2)2eq\r(3)【解析】(1)由折叠性质可得△A1PQ≌△APQ，∴PA1＝PA＝BP，∠PA1Q＝∠PAQ＝90°，∴∠PA1F＝90°，在Rt△PBF和Rt△PA1F中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PB＝PA1，,PF＝PF，))∴Rt△PBF≌Rt△PA1F(HL)，∴∠BPF＝∠A1PF，又∵∠APQ＝∠A1PQ，∴∠APQ＋∠BPF＝eq\f(1,2)∠APB＝90°，∵∠APQ＋∠AQP＝90°，∴∠BPF＝∠AQP，在△PBF和△QAP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠A＝90°，,∠BPF＝∠AQP，))∴△PBF∽△QAP，∴eq\f(AP,BF)＝eq\f(AQ,BP)，∴AQ·BF＝AP·BP＝eq\f(1,2)AB·eq\f(1,2)AB＝36；(2)∵△A1PQ∽△A1FE，∴eq\f(QA1,EA1)＝eq\f(PA1,FA1)，∠FEA1＝∠PQA1＝∠FPA1,∴EF＝PF，PA1＝EA1，∴∠QFP＝∠QFE，∴△QFP≌△QFE，∴∠PQA1＝∠FQE＝∠PQA＝60°，∴∠BPF＝60°，∴BF＝BP·tan60°＝6eq\r(3)，∵eq\f(AP,BF)＝eq\f(AQ,BP)，PA＝PB，∴eq\f(AQ,PA)＝eq\f(PA,BF)，∴AQ＝eq\f(PA·PA,BF)＝2eq\r(3).形式三多解题考向1含参解析式中参数的分情况讨论典例精讲例1－5≤b＜－2或b＝eq\f(9,8)【解析】①当b＞0时，抛物线与y＝3x只有一个交点，则联立二次函数与y＝3x并整理得：2x2－3x＋b＝0，Δ＝9－8b＝0，解得：b＝eq\f(9,8)；②当b＝0时，则抛物线与正比例函数交点为(0，0)和(eq\f(3,2)，eq\f(9,2))，即两个交点，不符合题意；③当b＜0时，当x＝－1时，y＝3x＝－3，当x＝2时，y＝3x＝6，临界点为(－1，－3)，将(－1，－3)代入y＝2x2＋b得－3＝2＋b，解得b＝－5，此时抛物线不过(2，6)点，将(2，6)代入y＝2x2＋b得b＝－2，此时二次函数在x＝－1处的纵坐标为0，在(－1，－3)的上方，故此时二次函数与正比例函数在－1≤x≤2范围内有两个交点，则b≠－2，故－5≤b<－2，综上所述－5≤b＜－2或b＝eq\f(9,8).针对训练1.a＞0或－eq\f(2,3)＜a＜0【解析】函数y＝x2－ax的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x轴的交点为(0，0)和(a，0)，①当a＞0时，若P，Q都在x轴的上方，如解图①，此时当x＝a时，y＝－x＋3a＋2＝－a＋3a＋2＝2a＋2＞0，解得a＞－1，故a＞0；②当a＜0时，若P，Q都在x轴的上方，如解图②，此时当x＝0时，y＝－x＋3a＋2＝3a＋2＞0，解得a＞－eq\f(2,3)，故－eq\f(2,3)＜a＜0，综上所述，实数a的取值范围是a＞0或－eq\f(2,3)＜a＜0.第1题解图考向2裁剪方式不确定典例精讲例248或(32＋8eq\r(13))【解析】如解图①，周长为2×(10＋8＋6)＝48；如解图②，∵BD＝6，BC＝8，CD＝10，∴BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形，∴AC＝12，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝4eq\r(13)，∴周长为2×(10＋4eq\r(13)＋6)＝(32＋8eq\r(13))；综上所述，原三角形的周长是48或(32＋8eq\r(13))．图①图②例2题解图针对训练2.8或7【解析】如解图①，作AD⊥BC于点D且AC，AB交EF于点G，H，作线段CD，BD的垂直平分线，过点A作EH∥BC与CD，BD的垂直平分线交于点E，H，可得矩形EFGH.∵eq\f(1,2)·BC·AD＝3，BC＝2，∴AD＝3，∴EF＝GH＝AD＝3，EH＝FG＝1，∴矩形的周长＝2×(3＋1)＝8.如解图②，作AD⊥BC于点D，且AC、AB交EF于点G、F，作线段AD的垂直平分线，分别过点C、B作CE∥AD，BF∥AD，与AD的垂直平分线交于点E，F，可得矩形EFBC，易知OD＝EC＝BF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(3,2)，EF＝BC＝2，∴矩形EFBC的周长＝2×(eq\f(3,2)＋2)＝7，故周长为8或7.图①图②第2题解图考向3图形形状不确定作图微技能3.(1)如解图①，等腰三角形ADE即为所求；第3题解图①(2)如解图②，等腰三角形ADE即为所求；第3题解图②(3)如解图③，等腰三角形ABE即为所求．第3题解图③4.(1)如解图①，Rt△PEF即为所求；第4题解图①(2)如解图②，Rt△PEF即为所求；第4题解图②典例精讲例3eq\f(5,2)或10【解析】当点P在线段AD上时，如解图①，连接BM，过点M作MH⊥AD于点H，延长HM交BC于点F.∵MA＝MD，MH⊥AD，∴AH＝HD＝eq\f(1,2)AD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，∴四边形ABFH是矩形，∴BF＝AH＝4，FH＝AB＝5，∠BFM＝90°，∵点A关于BP的对称点为M，∴BM＝BA＝5，∴FM＝eq\r(BM2－BF2)＝eq\r(52－42)＝3，∴HM＝HF－FM＝5－3＝2，∵∠ABP＋∠APB＝90°，∠MAH＋∠APB＝90°，∴∠ABP＝∠MAH，∵∠BAP＝∠AHM＝90°，∴△ABP∽△HAM，∴eq\f(AP,HM)＝eq\f(AB,HA)，∴eq\f(AP,2)＝eq\f(5,4)，∴AP＝eq\f(5,2)；当点P在线段AD的延长线上时，如解图②，连接BM，过点M作MH⊥AD于点H，交BC于点F.同理可得BM＝5，BF＝4，∴FM＝3，MH＝3＋5＝8，∵△ABP∽△HAM，∴eq\f(AP,HM)＝eq\f(AB,HA)，∴eq\f(AP,8)＝eq\f(5,4)，∴AP＝10，综上所述，AP的长为eq\f(5,2)或10.例3题解图针对训练5.6或5eq\r(2)【解析】如解图①，∠DEB＝90°，由折叠的性质得∠AED＝90°＝∠C，ED＝CD＝eq\f(1,2)a，AE＝AC＝a，∴BE＝10－a，∴sinB＝eq\f(\f(1,2)a,BD)＝eq\f(a,10)，解得BD＝5，在Rt△BDE中，(eq\f(1,2)a)2＋(10－a)2＝52，解得a1＝6，a2＝10(舍去)；如解图②，∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，ED＝CD＝eq\f(1,2)a，∴四边形CDEF是正方形，∴DE∥AC，∵CF＝CD＝eq\f(1,2)AC，∴点D是BC的中点，BC＝2CD＝a，∴△ABC是等腰直角三角形，∴a＝eq\f(\r(2),2)AB＝5eq\r(2)，综上所述，a的长为6或5eq\r(2).第5题解图拓展考向4对应关系不确定典例精讲例44或7【解析】∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝6，∠BCA＝60°＝∠BFD，∴∠BCD＋∠DCA＝∠BCD＋∠CBE，∴∠CBE＝∠DCA，如解图，当点M在AC上时，作∠CDM＝∠BCD，∴△BCF∽△CDM，∵∠CDM＝∠BCD，∴∠DMA＝∠DCA＋∠CDM＝∠BCD＋∠DCA＝∠BCA＝60°，∴∠DMA＝∠DAM＝60°，∴△DMA是等边三角形，∴DA＝DM＝AM＝2，∴CM＝4；当点M′在CA的延长线上时，如解图，作∠ADM′＝∠CBE，∵∠BAC＝∠ADM′＋∠M′＝60°，∠BFD＝∠BCD＋∠CBE＝60°，∴∠M′＝∠BCD，∴△BCF∽△CM′D，∵∠ADM′＝∠ACD，∠CDM＝∠M′，∴△CDM∽△DM′A，∴eq\f(CM,AD)＝eq\f(DM,AM′)，∴eq\f(4,2)＝eq\f(2,AM′)，∴AM′＝1，∴CM′＝7.综上所述，CM的长为4或7.例4题解图针对训练6.eq\f(4,3)或2eq\r(3)－2【解析】如解图①，当∠PA′B＝∠C＝90°时，设PA＝PA′＝x.在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝eq\r(3)AC＝2eq\r(3)，∵∠B＝∠B，∠BA′