新教材人教A版高中数学选择性必修第一册训练：抛物线性质 分层练习题含答案解析

13.抛物线性质

基础过关练...............................................................1

能力提升练..............................................................5

培优拔尖练..............................................................10

基础过关练

1.在平面直角坐标系xOy中，设抛物线f=4y的焦点为尸，准线为/,P为抛物线上一点,

过点尸作尸/，/,交准线/于点A,若直线4F的倾斜角为30。，则点尸的纵坐标为()

A.3B.2C.1D.1

【答案】A

【分析】求出/尸的长，根据抛物线的定义可得.

【详解】设准线与V轴交于M点，则归必=2,4W=30。，；.|/户|=4,

连接PF,则|尸尸|=照|,又尸=90。-30。=60。，所以△尸/尸是正三角形，

.•.『训=4,准线/的方程是>=-1,

•••尸点纵坐标为3.

2.抛物线少：/=4x的焦点为足对于少上一点尸，若P到直线x=5的距离是P到点尸距

离的2倍，则点P的横坐标为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】设出尸的横坐标为。，利用条件列出方程，去掉不合题意的解，求出“=1.

【详解】由题意得：尸(1,0),准线方程为x=-l,设点P的横坐标为a,a>Q,

由抛物线的定义可知：1PH=|"(-l)|=|a+[

则一5|=2,+1],解得：a=l或-7（舍去），

从而点P的横坐标为1

3.已知动圆圆心在抛物线/=4/上，且动圆恒与直线y=T相切，则此动圆必过定点（）

A.（2,0）B.（1,0）C.（0,1）D.（0,-1）

【答案】C

【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义判断即可.

【详解】解：抛物线/=4y的焦点坐标为尸（0,1）,准线方程为了=-1,

依题意根据抛物线的定义可知动圆必过点尸（0,1）;

4.已知抛物线C:/=8x的焦点为尸，直线/不过点尸且与C交于A,8两点（点A在x轴

上方），与V轴负半轴交于点若方=4两，\AF\=3\BF\,则直线/尸的斜率为（）

A.—B.-C.-D.黄

3322

【答案】D

【分析】设4（XQJ,8（X2，%）,由题可得厂「:二-进而可得点A坐标，然后利用

IX]+2—3（X?+，J

斜率公式即得.

【详解】由题可得尸（2,0）,设，（不必）,8（孙％）,%>0,

因为方=4前，|叫=3|即，

.[尤2-无1=4（0-工2）

••[再+2=3（/+2）'

解得再=IO,%=2，

所以必=4不，即/（10,4右），

所以直线NF的斜率为己叵=心.

10-22

5.在抛物线j?=8x上有三点，，B,C,尸为其焦点,且尸为A/8C的重心，则

朋+\BF\+\CF\=（）

A.6B.8C.9D.12

【答案】D

【分析】根据重心的性质可得/尸=；（45+4C）,然后根据抛物线的定义可知

|AF|+|SF|+巧|=%+工2+马+6即可求解.

【详解】解：由题意得:

:F为“BC的重心

—21——-1——

^AF=-^-{AB+AC)=-{AB+AC)

设点/,B,C的坐标分别为(％,%),(x2,y2),(x3,y3)

•••抛物线/=8x,尸为其焦点

.•.4(2,0)

AF=(2-xl,-yl),AB=(x2-xl,y2-yl),AC=(x3-xl,y3-yl)

一1—•-

AF=-(AB+AC)

、1z、

2—Xj——(%2一西+一为)

/.再+/+/=6

%尸|+忸7^|+|=玉+%2+/+6=12

22

6.经过抛物线，=4y的焦点和双曲线亍-3=1的右焦点的直线方程为（）

A.3x+y—3=0B.x+3y-3=0

C.x+48y—3=0D.48x+y—3=0

【答案】B

22

【分析】求出抛物线-=4y的焦点坐标、双曲线?一2_=1的右焦点，即可求出直线方程•

【详解】抛物线/=句，的焦点坐标为（0,1）,

22

双曲线土-匕=1的右焦点的坐标为（3,0）,

45

•••所求直线方程为g+y=l,

即x+3y-3=0.

7.抛物线V=4x上一点P到直线y=x+3距离的最小值为（）

A.V2B.V3C.迪D.迪

23

【答案】A

【分析】求出与了=x+3平行且与/=4x相切的直线方程y=x+l,从而y=x+3与y=x+l

之间的距离即为V=4x上一点尸到直线y=x+3距离的最小值，利用点到直线距离公式求

出即可.

【详解】设直线/：V=x+b与/=4x相切，

联立y2=4x与y=x+b得：（26-4）x+Z?2=0,

由A=（2b—4）2—4〃=0,得：b=1,

则直线/为＞=%+1，

故尸％+3与>=%+1之间的距离即为/=4x上一点P到直线尸'+3距离的最小值，

由两平行线间距离公式得：

Vi+i

8.抛物线d=2抄(p>0)的焦点为尸，其准线与双曲线(-!=1相交于A,3两点，若

△NAF为等边三角形，则()

A.2B.vC.6D.-

26

【答案】C

【分析】设抛物线的准线与y轴交于点。，等边三角形N8尸中，可得点8的坐标代入双曲

线上方程可得答案.

【详解】设抛物线的准线与y轴交于点。，如图，在等边三角形/"中，|。尸|=，忸⑼=[p,

(出p\

所以点2的坐标为一《，又点8在双曲线上，故TPL彳PL一，解得2=6.

32---------------—1

7)33

能力提升练

1.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸,N为C上一点，且N在第一象限，直线网与C的准

线交于点过点M且与x轴平行的直线与C交于点P,若|"N|=2|N/|,则△〃尸尸的

面积为（）

A.8B.12C.4A/3D.476

【答案】C

【分析】过N作准线的垂线，垂足为。，准线与无轴交于点£,进而根据几何关系得△〃尸尸

为等边三角形，|九加|=3|昕|=4,再计算面积即可.

【详解】解：如图，过N作准线的垂线，垂足为。，准线与x轴交于点£,

所以，|版卜|NQ|,|EF|=2.

因为,

所以粤=萼=吗=2,|22V|=|^F|=-,|MF|=3|A7^|=4.

\EF\\MF\\ME\311131111

\EF\1

所以cos/MFE=^__ZMFE=60°=ZPMF.

\MF\2

又因为|尸闾=|尸可，

所以/PFM=NP〃F=60。，所以△〃尸尸为等边三角形，

所以s”邛咐=45

若M在第三象限，结果相同.

2.已知抛物线C：/=i2x的焦点为尸，准线为/,点/在C上，48，/于3,若NFAB1,

则忸尸|=（）

A.2A/3B.4百C.—D.—

33

【答案】B

【分析】结合图形，利用抛物线的定义，直角三角形的性质进行求解.

因为根据抛物线定义有:\AF\=\AB\,

27r7T

设/与无轴的交点为。，因为=所以NBFD=>

36

因为耳=0=6,所以忸制=—1^=4若.故A,C,D错误.

cos30

3.已知抛物线，=2.（p>0）上一点加（2,加）（机>0）到其焦点的距离为4,双曲线

工-/=1的左顶点为/,若双曲线的一条渐近线与直线//平行，则实数。的值是（）

a

1

1-14

-C--

A.5B.9D.9

25

【答案】D

【分析】根据已知条件结合抛物线的定义可求出从而可求出点M的坐标，再由双曲线

的一条渐近线与直线平行，列方程求解即可.

【详解】因为抛物线黄=21（°>0）上一点M（2,加）（加>0）到其焦点的距离为4,

所以2+日=4,得。=4,

所以抛物线方程为/=8x,

因为M（2,加）（加＞0）在抛物线j?=8x上,

所以〃尸=16,得加=4,

所以M（2,4）,

双曲线三f一y2=l的左顶点为/（_五L,0）,其渐近线方程为7=±1,

a

因为双曲线的一条渐近线与直线平行，

4-014

所以~/==~/=，解得a=—

2+y/a7a9

4.已知抛物线。：/=2.（。＞0）的焦点为凡点/,8在C上（/在第四象限，8在第一

象限），满足/尸，8尸，且2M同=忸尸|,则直线N5的斜率为（）

A.2B.y/3c.y/2D.1

【答案】A

【分析】过8作准线的垂线交准线于点C,过4作准线的垂线交准线于点D,过点4作8c

的垂线交3c于点E,设以尸|=x,然后可推出忸E|=x、|Z£|=2x,然后由直线43的倾斜

过8作准线的垂线交准线于点C,过/作准线的垂线交准线于点D,

过点A作BC的垂线交BC于点E,

因为2|/尸|=忸耳，所以设尸|=x,则卜x,忸刊=|BC|=2x,忸£卜x,

因为4F_LAF,所以|48|=瓜，

所以在△/BE中有|/同=2x,

2x

所以tanNABE=—=2,因为直线的倾斜角与ZABE相等,

x

所以直线的斜率为2,

5.已知抛物线/=切上有一条长为6的动弦/瓦则N3的中点到x轴的最短距离为.

【答案】2

【分析】结合图像，可知|跖⑷」说｝忸闻且国国阳+1町,由此可得|AW旧3,进而可

求得AB的中点到x轴的最短距离为2.

【详解】由题意知，抛物线的准线/：了=-1,过点N作交/于点4,过点8作瓦?/，/

交/于点2/,如图，

设弦N5的中点为过点/作MM/_L/交/于点跖，则|跖⑷」必?"」,

因为四凶+\BF\^F为抛物线的焦点)，即\AF\+\BF\>(>,

yi\AF\=\AA\\BF\=\BB],所以|44/|+|58启6,即21MM'后6,故朋忆已3,

所以点〃到x轴的距离1=眼叫|-122,故最短距离为2.

6.已知抛物线C：F=4x的焦点为R准线/与x轴交于点点P在抛物线上，直线尸歹

与抛物线交于另一点4设直线MP,九优的斜率分别为旭，k2,则向+依的值为.

【答案】0

【分析】设过尸的直线％=加歹+1交抛物线于尸(%1,%)，4(%2，%)，M(-1,O),

x=my+\

联立方程组利用韦达定理可得%+/=号+上、=纪手产等-0.

2

y=4x西+1x2+lXx+X2+XxX2+1

【详解】设过尸的直线1=町+1交抛物线于尸(X1,%)，4(%2，y2)，M(-1,0),

x=my+l

联立方程组,得：y2-4my-4=0,

「=敏

于是，有：弘+%=4皿，%%=-4,

.尢+右=乂।%=J一+%演+M+%

项+1x2+1xx+x2+XxX2+1

又必12+力%+必+%=%（根%+1）+yi町+11）+（必+为=2myxy2+2（必wJ=加・（-4）+2x4n=（,

/+左2=0.

7.已知抛物线C：/=2px（p>0）的焦点为F，第一象限的A,8两点在。上，若尸4_L/B,

|川=7,|阳=25,若直线的倾斜角为。，贝Ijcos。=.

3

【答案】*0.75

【分析】利用抛物线的几何性质，以4B为斜边，构建直角三角形即可求解.

【详解】如图所示，设C的准线为/,分别过4,2作/的垂线，垂足分别为。，E,过/作

4PLBE于点、P.

由抛物线的定义可知|“。|=典|=7,忸£|=|理=25,所以忸耳=25-7=18.又因为尸4,4？,

\AB\-A/252-72-24,所以|/P|=J242-18?=函,所以直线48的斜率

8.已知点/(国,%)1(%,%)在抛物线C:/=4y上，点尸是抛物线C的焦点，线段N8的

中点为N.若点”的坐标为(1,-1),且尸是的垂心，则直线的方程:

【答案】y=1x+2+V6

【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，并设出方程，再与C的方程联立，借助韦达

定理及向量垂直的坐标表示计算作答.

【详解】抛物线V=4y的焦点，则直线板的斜率右尸=-2,而尸为“5/的垂心,

即有直线的斜率为

1

1y——%_|_^2

设N8的方程为y=+%,由「-2消去y并整理得：x2-2x-4m=0.

2.2A..

1―►―►

于是得A=4+l6m>0,m>――,玉+/=2,xxx2=—4m,FA—（须，必一1）,MB—（x2—1,jv2+1）,

由/尸,MB得，成•筱=尤]（9_1）+_1）（今+1）=再尤2_X]++；（X：-X：）-1

22

=m+—（Xj—x2—2xj）—4m—l=m—4m—2=0,解得加二2±J^，而2—^/^（一],则有

m=2+y[6，

所以直线48的方程为y=；x+2+".

培优拔尖练

1.己知”（。,3）是抛物线C：f=20（0>O）上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的

焦点F的距离为4,过点尸（4,2）向抛物线C作两条切线,切点分别为A,8,则箫.而=（）

A.-1B.1C.16D.-12

【答案】B

【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设/（和必）,川马,%）,然后求出XF.BF

并化简，然后求出直线43的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.

【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线y=-5的距离为4,则

3+^=4np=2,即抛物线C:Y=4>，则尸（0,1）.

设/（再,珀,3住,％）,则

AF-BF=F8=（再,必-1）-1）

2

/\（X.X2）1/22、1/\23

X

=再々+%%一（弘+%）+1=再%2+------（1+%）+1=~~~------—（A：1+X2）+-X1X2+1-

1

由歹=]•=y——Xf则3P=5项，演尸=]工2，所以

2

:尸必吟（x-xg

IAPxxx-2y+2%一x；=0nx1x-2y-2yl=0,

XX

lBP'.y-y2==2-2）+2%-=0=x2x-2y-2y2=0,

/\_fX-4-2-2-2K=0f4x-2y,-4=0

因为点尸4,2在这两条直线上，所以、,,/'『J,记于是点《方

[再•4一2,2-2%=0[4X2-2y2-4=0

2

都在直线4x-2y-4=0上，即3：y=2x-2,代入抛物线方程并化简得：x-8x+8=0,

由根与系数的关系可知再+z=8.

->->8213

于■是4F-BF=--------X82+-X8+1=1.

1642

2.己知抛物线E：j?=2x的焦点为F，A、B、C为抛物线E上三点，当成+方+而=6

时，称A/BC为“特别三角形”，则“特别三角形”有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【答案】D

【分析】先说明这样的A4BC满足阳=；/尸，并且弦BC以。为中点的，再证明对于无数多

个点A,都存在满足条件的弦8c即可.

当成+而+元=6时，易知尸为的重心，连接4F并延长至D,使尸。=；4尸，当。

在抛物线内部时，设。（%,%）,若存在以。为中点的弦8C,这样的A/BC即满足要求.设

Iy2=2x

3（X[,弘）,C（%2，%）,则X]+迎=2%,%=2%,又1,两式相减可得

y2=2%

（必+%）匕二21=2,即左3C=,，所以总存在以。为中点的弦BC,即这样的三角形有无数

再一工2%

个.

3.小4.+（「一11+'（2V方-1）+（y-/的最小值为（）

A.5B.2+V17C.6D.1+V26

【答案】C

【分析】设》=2亦，对要求的式子进行变形，看作抛物线，=4y的右半部分上一点尸与

2（1,5）的距离加上尸到抛物线焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质进行求解.

【详解】设》=2亦，则/=4可了之0）,则曲线x=26为抛物线/=勺的右半部分.抛

物线x2=4y的焦点为尸（0,1）,设点4（1,5）到准线/；y=-l的距离为d,点P为抛物线x2=4y

的右半部分上一点，设P到准线/：>=-1的距离为4，

贝！JJ4y+（y-if+“2万-1）+（y_5『=^x2+（j-l）2+^（x-1）2+（j-5）2

=|尸产l+l尸H=4+|尸/5+1=6.

4.在直线/：>=-2上取一点。做抛物线C：，=4j，的切线，切点分别为4,B,直线

与圆氏/+/_2》-2020=0交于〃，N两点，当最小时，。的横坐标是.

【答案】1

【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，根据切线联立求交点，可得直线方程

中的截距，可得直线过定点，根据圆中弦最小的情况，得到直线的斜率，可得最后答案.

【详解】设/（%力）,8（马,％）,且直线的方程为》=丘+万，

联立抛物线/=4y,可得，,，消去》可得：x2-4kx-4b=0,

[x2=4y

根据韦达定理可得：Xj+x2=4k,xxx2=-4b,

由抛物线y=-x2,求导可得：y'=-x,

42

过/（玉，必）的切线方程为y=

过8（超,%）的切线方程为y=g/•x-；.芍2，

f112

y=—x-x----x.

联立上式，可得：;7:4,

112

y=^x2，x~^x2

消去无整理可得：4Mxi-尤2）=%/（X]-尤2），

两式相减整理可得：2X（X1-X2）=（X[+X2）（XI-x2）,

因为工尸迎，所以王迎=4y，且x=%,根据题意，可得王马=-8,即6=2,

则直线的方程为了=米+2,由此该直线过定点尸（0,2）,

由圆氏X2+/-2X-2020=0,可得(x-lf+V=2021,可得£0,0),

易知当时，取最小，可得直线N3的方程为>=；&+2,

所以点。的横坐标工=上冲=半=1.

5.设抛物线/=2py(p>0)的焦点为下，准线为/,过抛物线上一点工作/的垂线，垂足为8,

设(0,1)，若/尸与2C相交于点&Q尸|=2|/尸|,A/CE的面积为百，则抛物线的方程为

【答案】X2=屈y

【分析】由题意得出|/司=2。，利用抛物线的定义求出点N的横坐标，根据相似得出

SAACF=3^，由三角形的面积公式可得结果.

【详解】设/(乙,乃),尸(0,£|,|5=gp/=4p

又|CF|=2|/厂贝1J|4F|=2°,

由抛物线的定义得|/月=2。，所以为=：p,贝IJ瓦卜岛，

FF空空=7

由"7//B得——二

EAABEAAF

所以8。即=22%=2百，V—C_|_C二36,

口"CF一°"ECT°ACFE

所以,x4px百p=3百，解得：°=逅

22

6.已知尸为抛物线C：/=4尤的焦点，过点尸的直线/与抛物线c交于不同的两点N,B,

抛物线在点A,B处的切线分别为4和4，若4和4交于点P,则察+向的最小值为

【答案】4

【分析】设直线八x=my+l,利用韦达定理求得|/同，设4：了-必=左(厂士)住NO),利

用判别式求得直线的方程，进而得到尸的坐标，从而可得四,

4\AB\44m2+4

再利用基本不等式即得.

【详解】由题可知尸（1,0）,设直线/：工=町+1,

直线l：x=my+l^y2=4x联立消x,Wy2-4my-4=0,

设Z（XQJ,5（x2,y2）,则%+%=4加，yry2=-4,

；・|4创=Xi+4+2=加（％+%）+4=4m2+4,

设4：]_必=左（％_芭）（左w0）,

由F「l="（xF，可得-3+3』=。，

[y=4xkk

2

-43-4再=0,又〉；=4%，

A=I

：.k=-

72z\

A:歹一弘二一口一再），即必y=2x+2xi，

必

同理可得4:y2y=2x+2X2，

所以可得Xp=；%%=T/p=g（M+%）=2，〃，即尸（-1,2刃），

I尸川=,痴2+4,

.IP164"广+4167.4、i，口、i，2,4pp.

..i-——-=-------F——--=m~+1+—5——>4,当且仅当〃『+]=—；,即1n"？=±]取

4+\AB\44m2+4m2+lm2+l

等号.

7.过抛物线「:一=”的焦点尸作斜率分别为左，色的两条不同的直线且《+心=2,k

与r相交于点/,B,4与r相交于点GD.分别以43,CD为直径的圆M,圆N为

圆心）的公共弦记为/,则点M到直线/的距离的最小值为.

【答案】拽##三行

2020

【分析】由题可设/>=勺X+1,利用韦达定理法可得|”|=4町+4,"（2左,24+1）,进而

可得圆M,N的方程，然后可得/：x+2y=0,再利用点到直线的距离公式及二次函数的性质

即得.

【详解】由题意知尸（0,1）.设4>=新+1,

x2=4y_,=,

由<’,可得Y-4匕尤一4=0,

y=k[X+1

设」（再,必）,川々,外）,

则占+%=4。,%%/（玉+4）+2=4k；+2,

2

/.\AB\=yl+y2+2=4^+4,

于是，X"=^^=2用，yM=kxxM+\=lkl+1.

故”（232片+1）,

圆M的方程为（x-2左『+（y-2公一日=Q好+27，即/+/_必科—2（2号+1）y—3=0,

2

同理可得，圆N的方程为/+y-4k2x-2（2kl+l）y-3=0,

.♦.圆M与圆N的公共弦所在直线/的方程为（e-K）X+（加-片）y=0，又左2中左，%2+左=2,

直线/：x+2y=0,

于是，点M到直线/的距离为4=%+2（2年+1）|