新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题七函数与导数第二讲导数-小题备考微专题3极值与最值

微专题3极值与最值常考常用结论1．函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0旁边“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0旁边“左负右正”⇔f(x)在x0处取微小值．2．在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值．在[a，b]上的连续函数y＝f(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．3．单调函数没有极值，假如一个函数没有极值，则该函数是单调函数或者常函数．4．开区间内的单调函数没有极值．1.函数f(x)＝x3＋ax在x＝1处取得微小值，则微小值为()A．1B．2C．－2D．－12．[2023·辽宁葫芦岛二模]已知函数f(x)＝2sinx(1＋cosx)，则f(x)的最大值是________．3．[2023·河南濮阳模拟]若函数f(x)＝ex－ax2－a存在两个极值点x1，x2，且x2＝2x1，则a＝________．3.(1)[2023·全国甲卷]函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(－∞，－3)C．(－4，－1)D．(－3，0) (2)[2023·河北石家庄一模]已知函数f(x)＝(0<x<π)，则f(x)的最小值是________．技法领悟1．求函数极值时，不要误把极值点代入导函数中．2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[巩固训练3](1)[2023·山东烟台二模]若函数f(x)＝lnx＋x2＋ax有两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)≤－5，则()A．a≥4B．a≥2C．a≤－2D．a≤－4(2)[2023·安徽模拟]已知函数f(x)＝ex＋2x，g(x)＝4x，且f(m)＝g(n)，则|n－m|的最小值为________．微专题3极值与最值保分题1．解析：依题意，f′(x)＝3x2＋a，因为函数f(x)在x＝1处取得微小值，则f′(1)＝3＋a＝0，解得a＝－3，此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，因此函数f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以函数f(x)＝x3－3x在x＝1处取得微小值f(1)＝－2.故选C.答案：C2．解析：因为f(x)＝2sinx(1＋cosx)，所以f′(x)＝2cosx(1＋cosx)－2sin2x＝2cosx＋2cos2x－2sin2x＝4cos2x＋2cosx－2＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．当f′(x)>0时，x∈(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)，所以f(x)在(－＋2kπ，＋2kπ)上单调递增；当f′(x)<0时，x∈(＋2kπ，＋2kπ)，所以f(x)在(＋2kπ，＋2kπ)上单调递减；所以f(x)max＝f(＋2kπ)＝.答案：3．解析：f(x)＝ex－ax2－a，定义域为R，所以f′(x)＝ex－2ax，故－2ax1＝－2ax2＝0；又x2＝2x1，所以－4ax1＝0.把2ax1＝代入得＝0，又>0，故＝2，所以x1＝ln2，所以a＝＝.答案：提分题[例3](1)解析：由题意知f′(x)＝3x2＋a，要使函数f(x)存在3个零点，则f′(x)＝0要有2个不同的根，则a<0.令3x2＋a＝0，解得x＝±.令f′(x)>0，则x<－或x>，令f′(x)<0，则－<x<.所以f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减，所以要使f(x)存在3个零点，则即，解得>1，即a<－3.故选B.(2)解析：f(x)＝＝＝tan＝tan＋4＋，令t＝tan，因为0<x<π，所以t∈(0，＋∞)，令g(t)＝t＋4＋，t∈(0，＋∞)，g′(t)＝1＋＝1－，若g′(t)＝1－>0，则t∈(2，＋∞)，若g′(t)＝1－<0，则t∈(0，2)，所以g(t)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(t)的最小值为g(2)，因为g(2)＝2＋4＋＝7，所以f(x)的最小值为7.答案：B7[巩固训练3](1)解析：因为函数f(x)＝lnx＋x2＋ax有两个极值点x1，x2，又函数f(x)＝lnx＋x2＋ax的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)＝，所以方程x2＋ax＋1＝0有两个不同的正根，且x1，x2为其根，所以a2－4a>0，x1＋x2＝－a>0，x1x2＝1，所以a<0，则x2＝－x1x2＋a(x1＋x2)＝ln1＋a2－1－a2＝－a2－1，又f(x1)＋f(x2)≤－5，即－a2－1≤－5，可得a2－8≥0，所以a≤－2或a≥＋2(舍去)．故选C.(2)解析：由f(m)＝g(n)，得em＋2m＝4n，化简整理得4n－4m＝em－2m.令h(m)＝em－2m(m∈R)，则h′(m)＝em－2，令em－2＝0，解得m＝ln2.当m∈(－∞，ln2)时，h′(m)