四川省雅安市2022-2023学年高二下学期期末检测数学（文）试题（教师版）

雅安市2022—2023学年下期期末检测高中二年级（文科）数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.【详解】，则复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果.【详解】因为，，所以.故选：C.3.设函数，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的函数值求法求解即可.【详解】因为，所以.故选：C.4.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.【详解】函数有意义，则有，即解得，所以函数的定义域是.故选：D5.已知命题p：，；命题q：直线：与：相互垂直的充要条件为，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定命题的真假，然后由复合命题的真值表判断．【详解】令，则，所以p为真命题；若与相互垂直，则，解得，故q为假命题，所以只有为真命题.故选：B．6.下列说法中正确的是（）A.“”是“”成立的充分不必要条件B.命题，，则，C.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1D.已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为【答案】D【解析】【分析】对于A，利用特殊值进行排除；对于B，根据命题的否定定义进行判断；对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1；对于D，求出剔除两个样本点和得到新的样本的平均数，再进行求解.【详解】对于A，满足，但，所以“”不是“”成立的充分条件，故A错误；对于B，命题，，则，，故B错误；对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1，当负相关时，相关系数r越接近于，相关关系越强，故C错误；对于D，已知回归直线方程，且，则，剔除两个样本点和，得到新的回归直线的斜率为3，新样本平均数，，则新的回归方程为.故D正确.故选：D.7.当时，函数取得最小值1，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，，，即可求出a，b值，进而得到.【详解】由题意可得，，，因为，所以，解得，则，所以，故选：A.8.函数的部分图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数的取值情况或零点，利用排除法判断即可.【详解】因为，令，解得或，所以的定义域为，又，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；当时，，或当，即时，，故排除D.故选：A.9.经过点作曲线的切线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】【分析】设出切点坐标，写出切线方程把代入，研究方程根的情况即可.【详解】因为，设切点为，所以曲线在点处的切线方程为.将代入，得即：或，所以，此时，切点为；或因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条.故选：C.10.已知，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指，对，幂函数单调性，即可比较大小.【详解】函数单调递减，所以，函数在上单调递增，所以，单调递减，，所以，即.故选：C11.已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（）A.0 B.1 C.-1 D.2【答案】B【解析】【分析】由函数的奇偶对称性推得是周期为4的函数，并求得，最后利用周期性求目标函数值.【详解】由是偶函数，，则，又，，所以是周期函数，周期为4，对于，令，得，则，所以故选：B12.已知函数，若关于x的方程有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，画出函数图象，考虑临界点即可求解.【详解】作出函数的图象如下图所示，直线恒过点，当过点时，解得，此时直线与有两个交点，故关于的方程有两个互不相等的实根；将代入得，当时，直线与抛物线只有一个交点，则，解得或，当时，解得，不满足，则应舍去，即，所以实数k的取值范围是.故选：.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则___________.【答案】【解析】【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.【详解】由解析式知：，，解得.故答案为：14.若函数为奇函数，则实数a的值为___________．【答案】1【解析】【分析】先求出函数的定义域，再由，代入求解即可.【详解】因为函数的定义域为，解得：，所以由函数为奇函数，则，由，解得：.故答案为：.15.设是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性，利用函数性质求解不等式作答.【详解】依题意，令函数，则，因为时，，于是当时，，函数在上单调递减，又，则，因此当时，，当时，，即当时，，当时，，而是定义在R上的奇函数，从而当时，，当时，，所以不等式的解集是.故答案为：16.已知函数，若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，则，令，可得；令，可得或.所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，所以，，令，即，即，解得，如下图所示：由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据换底公式及对数的运算法则计算可得.【小问1详解】【小问2详解】18.春节联欢晩会是我国在除夕晩上举办的大型欢庆晩会，全国家家户户围坐在电视机前欣赏一年中最重要的晩会，下表为某年观看春晩的人数百分比：假设统计人数为200人，下表为分析年龄大于30的人和年龄不大于30的人对春晩是否满意的列联表：（1）请将列联表补充完整；满意不满意合计年龄不大于3050年龄大于3066合计年龄（岁）百分比10%27%17%13%33%（2）能否有99%的把握认为年龄大于30的人和年龄不大于30的人对春晩评价有差异.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）有【解析】【分析】（1）由题意计算年龄不大于30的人数和年龄大于30的人数，即可得列联表；（2）计算的值，与临界值表比较，即可得结论.【小问1详解】年龄不大于30的有人，则年龄不大于30对春晩不满意有人；年龄大于30的有人，则年龄大于30对春晩满意的有人，所以，列联表如下：满意不满意合计年龄不大于30502474年龄大于306066126合计11090200【小问2详解】，故有的把握认为年龄大于30的人和年龄不大于30的人对春晩评价有差异.19.已知函数（）.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值.（2）的取值范围是.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可；（2）由条件可知在上恒成立，再分离变量求最值即可求解.【小问1详解】函数的定义域为，当时，求导得，整理得：.令可得，或（舍去）当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数取极小值，极小值为，函数无极大值；【小问2详解】由已知时，恒成立，所以恒成立，即恒成立，则.令函数，由知在单调递增，从而.经检验知，当时，函数不是常函数，所以的取值范围是.20.已知，p：“函数的定义域为”，q：“，使得成立”．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分离参数，转化为求函数的最大值问题，从而求出的取值范围；（2）当命题为真时根据进行分类讨论，注意借助与的大小关系，求出的取值范围，然后通过含逻辑联结词的复合命题的真假判断出的真假，由此求解出的取值范围.【小问1详解】当为真命题时，在上有解，所以，当时取，有最大值3，所以，所以实数m取值范围为；【小问2详解】当为真命题时，当时，，定义域为，满足题意；当时，要使的定义域为R，则，解得，综上可知：的取值范围是.因为为真命题且为假命题，所以一真一假，当真假时，，解得，当假真时，，此时，综上，的取值范围是.21.“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间（x分钟）68101214等候人数（y人）1518202423（1）根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数.附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；.【答案】（1）答案见解析（2），31人.【解析】【分析】（1）根据相关系数的公式，分别计算数据求解即可；（2）根据回归直线方程的参数计算公式可得关于的回归直线方程为，再代入求解即可.【小问1详解】由题意，知，，，，所以.又，则.因为与的相关系数近似为0.95，说明与的线性相关非常高，所以可以用线性回归模型拟合与的关系.【小问2详解】由（1）可得，，则，所以关于的回归直线方程为，当时，，所以预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数为31人.22.已知函数.（1）当时，求函数的图像在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）【解析】【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.【小问1详解】当时，，则.根据导数的几何意义，可得函数的图像在点处的切线斜率，又.所以，切线