直线与直线平行高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

直线与直线平行单击此处添加副标题引言：在平面几何中，我们重点研究过两条直线平行，得到了两条直线平行的判定定理和性质定理.类似的，空间中直线、平面间的平行关系也是我们立体几何中的重点研究内容.一、整体概览直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行1.基本事实4的探究（平行线的传递性）

问题1：在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行．那么在空间中，是否也有类似的结论呢？二、新知探究

实例1如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，D1C1//A1B1，AB//A1B1，则D1C1与AB平行吗？

实例1如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，D1C1//A1B1，AB//A1B1，则D1C1与AB平行吗？平行实例2

再观察教室如图，黑板边所在的直线AA′和门框所在的直线CC′都平行于墙与墙的交线BB′，则CC′与AA′平行吗？实例2

再观察教室如图，黑板边所在的直线AA′和门框所在的直线CC′都平行于墙与墙的交线BB′，则CC′与AA′平行吗？平行a∥c，b∥c

符号表示：文字表示：平行于同一条直线的两条直线平行．作用：判断空间两条直线平行．基本事实4acb（平行线的传递性）图形表示：a∥b．例1如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．（1）如何证明一个四边形是平行四边形？（2）看到条件中的中点你能想到怎样的平行关系？2.基本事实4的应用

两组对边分别平行、

一组对边平行且相等.分析：?基本事实4(3)三角形的中位线，它平行且等于第三边的一半．证明：连接BD.∵EH是△ABD的中位线，∴EH//BD,且EH=BD.同理

FG//BD,且FG=BD.∴四边形EFGH为平行四边形.∴

如果题目再增加条件AC=BD，那么四边形EFGH又是什么图形？EH=HG菱形

问题2：平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否依然成立呢？3.探究并证明“等角定理”

实例3

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是的棱AA1，CC1的中点，则AA1与CC1，ED1与BF有怎样的位置关系？AA1//CC1，

追问：∠D1EA1与∠BFC

,∠D1EA与∠BFC

的

大小有何关系？∠D1EA+∠D1EA1=π.P△A1ED1≌△CFB,∠D1EA+∠BFC=π.∠D1EA1=∠BFCED1//BFABCD∠BAC=∠B1A1C1B1A1C1B1A1C1

实例4

（1）在∠BAC

和∠B1A1C1中，AB//A1B1，AC//A1C1,则∠BAC与∠B1A1C1有怎样的大小关系？ABCB1A1C1D∠B1A1C1+∠BAD=π∠BAC=∠B1A1C1,

实例4

（2）在∠BAC

和∠B1A1C1中，AB//A1B1，AC//A1C1,则∠BAD与∠B1A1C1有怎样的大小关系？问题3：通过以上2个实例，我们发现在空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．你能严格地证明该结论吗？

与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置关系.下面我们对图（1）进行证明.AABBCCC′C′B′B′A′A′（1）（2）（1）证明两个角相等的常用方法都有哪些？（2）两个三角形全等的判定定理有哪些？

全等三角形对应角相等，对顶角相等，内错角相等等.SAS,ASA,SSS,AAS.分析：（3）因为条件给出的是角，没有三角形，所以我们先要从角中构造出全等三角形，再根据全等三角形的对应角相等来进行证明，结合三角形全等的判定定理，如何在图（1）中构造出两个全等的三角形？

结合（2）中的三角形全等的判定定理，可以知道只要含角的定理都无法使用，只能通过SSS进行证明，所以在两个角的两边分别截取长度相等的两组对应边，再证明第三组对边相等即可.AABBCCC′C′B′B′A′A′（1）（2）∴四边形

是平行四边形．∵，∴四边形

是平行四边形．∴．同理可证．∴．证明：分别在∠BAC和∠B´A´C´的两边上截取AD，AE和

，，使得AD＝

，AE＝

．连接

，

，

，DE，

．∴DE＝

．∴△ADE≌△

．∴∠BAC＝∠

．对于图（2）的情形，请同学们自己给出证明.

等角定理:

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

图形表示：

符号表示：在∠CAB和∠C′A′B′中，若AB//A′B′,

AC//A′C′,则∠CAB=∠C′A′B′或∠CAB+∠C′A′B′=π.AABBCCC′C′B′B′A′A′例2

如图，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：∠DNM＝∠D1A1C1.4.“等角定理”的应用分析：如何证明两个角相等？根据等角定理只需证明角的两边对应平行如何证明NM//A1C1？NM//AC，A1C1//ACNM//A1C1证明：如图，连接AC.在△ACD中，∵M，N分别是棱CD，AD的中点，∴∠DNM＝∠D1A1C1.∴MN∥AC由正方体的性质，得AC∥A1C1，∴MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．又易知∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，

问题4：基本事实4（平行线的传递性）和“等角定理”都是由平面图形推广到立体图形得到的．是不是所有关于平面图形的结论都可以推广到空间呢？若不能，请举例说明之．平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，空间中则不然．三、课堂小结

问