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文档简介
内蒙古乌兰察布市北京八中分校2025届数学高一下期末统考试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知等差数列的前项的和为,若,则等于()A.81 B.90 C.99 D.1802.已知实数m,n满足不等式组则关于x的方程x2-(3m+2n)x+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是()A.7,-4 B.8,-8C.4,-7 D.6,-63.某校进行了一次消防安全知识竞赛,参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图,若得分在的有60人,则参赛学生的总人数为()A.100 B.120 C.150 D.2004.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是().A. B. C. D.5.若,则下列不等式恒成立的是()A. B. C. D.6.将正整数按第组含个数分组:那么所在的组数为()A. B. C. D.7.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是()A., B.,C., D.,8.在下列区间中,函数的零点所在的区间为()A. B. C. D.9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,≤)的图象如下,则点的坐标是()A.(,) B.(,)C.(,) D.(,)10.给出下列四个命题:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②平行于同一条直线的两条直线平行;③若直线满足,则;④若直线,是异面直线,则与,都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.设的内角,,所对的边分别为,,.已知,,如果解此三角形有且只有两个解,则的取值范围是_____.12.已知正三角形的边长是2,点为边上的高所在直线上的任意一点,为射线上一点,且.则的取值范围是____13.记等差数列的前项和为,若,则________.14.函数的最小正周期是________.15.已知,,与的夹角为钝角,则的取值范围是_____;16.已知为所在平面内一点,且,则_____三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归方程;(3)已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(注:,)18.已知数列的前n项和为,,.(1)证明:数列为等比数列;(2)证明:.19.在中,,,,解三角形.20.已知圆A:,圆B:.(Ⅰ)求经过圆A与圆B的圆心的直线方程;(Ⅱ)已知直线l:,设圆心A关于直线l的对称点为,点C在直线l上,当的面积为14时,求点C的坐标.21.设是正项等比数列的前项和,已知,(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】
根据已知得到的值,利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和的性质,求得的值.【详解】依题意,所以,故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,考查等差数列前项和的计算,属于基础题.2、A【解析】由题意得,方程的两根之和,画出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由,可得,此时,由,可得,此时,故选A.3、C【解析】
根据频率分布直方图求出得分在的频率,即可得解.【详解】根据频率分布直方图可得:得分在的频率0.35,得分在的频率0.3,得分在的频率0.2,得分在的频率0.1,所以得分在的频率0.05,得分在的频率为0.4,有60人,所以参赛学生的总人数为60÷0.4=150人.故选:C【点睛】此题考查根据频率分布直方图求某组的频率,根据频率分布直方图的特征计算小矩形的面积,根据总面积之和为1计算未知数,结合频率频数计算总人数.4、A【解析】若函数f(x)=a﹣x2(1≤x≤2)与g(x)=2x+1的图象上存在关于x轴对称的点,则方程a﹣x2=﹣(2x+1)⇔a=x2﹣2x﹣1在区间[1,2]上有解,令g(x)=x2﹣2x﹣1,1≤x≤2,由g(x)=x2﹣2x﹣1的图象是开口朝上,且以直线x=1为对称轴的抛物线,故当x=1时,g(x)取最小值﹣2,当x=2时,函数取最大值﹣1,故a∈[﹣2,﹣1],故选:A.点睛:图像上存在关于轴对称的点,即方程a﹣x2=﹣(2x+1)⇔a=x2﹣2x﹣1在区间[1,2]上有解,转化为方程有解求参的问题,变量分离,画出函数图像,使得函数图像和常函数图像有交点即可;这是解决方程有解,图像有交点,函数有零点的常见方法。5、D【解析】
利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质,对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于选项A,不一定成立,如a=1>b=-2,但是,所以该选项是错误的;对于选项B,所以该选项是错误的;对于选项C,ab符号不确定,所以不一定成立,所以该选项是错误的;对于选项D,因为a>b,所以,所以该选项是正确的.故选D【点睛】本题主要考查不等式的性质,考查对数、指数函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】
观察规律,看每一组的最后一个数与组数的关系,可知第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=,然后再验证求解.【详解】观察规律,第一组最后一个数是2=2,第二组最后一个数是5=2+3,第三组最后一个数是9=2+3+4,……,依此,第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=.当时,,所以所在的组数为63.故选:B【点睛】本题主要考查了数列的递推,还考查了推理论证的能力,属于中档题.7、B【解析】
以作为基底的向量需要是不共线的向量,可以从向量的坐标发现,,选项中的两个向量均共线,得到正确结果是.【详解】解:可以作为基底的向量需要是不共线的向量,中一个向量是零向量,两个向量共线,不合要求中两个向量是,,则故与不共线,故正确;中两个向量是,两个向量共线,项中的两个向量是,两个向量共线,故选:.【点睛】本题考查平面中两向量的关系,属于基础题.8、B【解析】
由函数的解析式,再根据函数零点的存在定理可得函数的零点所在的区间.【详解】函数的零点所在的区间即函数与的交点所在区间.由函数与在定义域上只有一个交点,如图.函数在定义域上只有一个零点.又,所以.所以的零点在上故选:B【点睛】本题主要考查求函数的零点所在区间,函数零点的存在定理,属于基础题.9、C【解析】
由函数f(x)的部分图象求得A、T、ω和φ的值即可.【详解】由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知,A=2,T=2×(4﹣1)=6,∴ω,又x=1时,y=2,∴φ2kπ,k∈Z;∴φ2kπ,k∈Z;又0<φ,∴φ,∴点P(,).故选C.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.10、B【解析】
利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.【详解】①为假命题.可举反例,如a,b,c三条直线两两垂直;②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题;③若直线满足,则,是真命题;④是假命题,如图甲所示,c,d与异面直线,交于四个点,此时c,d异面,一定不会平行;当点B在直线上运动(其余三点不动),会出现点A与点B重合的情形,如图乙所示,此时c,d共面且相交.故答案为B【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】
由余弦定理写出c与x的等式,再由有两个正解,解出x的取值范围【详解】根据余弦定理:代入数据并整理有,有且仅有两个解,记为则:【点睛】本题主要考查余弦定理以及韦达定理,属于中档题.12、【解析】
以AB所在的直线为x轴,以AB的中点为坐标原点,AB的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,求出A.C,P,Q的坐标,运用平面向量的坐标表示和性质,求出的表达式,利用判别式法求出的取值范围.【详解】以AB所在的直线为x轴,以AB的中点为坐标原点,AB的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,如下图所示:,设,,设,可得,由,可得即,,令,可得,当时,成立,当时,,即,,即,所以的取值范围是.【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质和运算,考查了平面向量模的取值范围,构造函数,利用判别式法求函数的最值是解题的关键.13、10【解析】
由等差数列求和的性质可得,求得,再利用性质可得结果.【详解】因为,所以,所以,故故答案为10【点睛】本题考查了等差数列的性质,熟悉其性质是解题的关键,属于基础题.14、【解析】
根据周期公式即可求解.【详解】函数的最小正周期故答案为:【点睛】本题主要考查了正弦型函数的周期,属于基础题.15、【解析】
与的夹角为钝角,即数量积小于0.【详解】因为与的夹角为钝角,所以与的数量积小于0且不平行.且所以【点睛】本题考查两向量的夹角为钝角的坐标表示,一定注意数量积小于0包括平角.16、【解析】
将向量进行等量代换,然后做出对应图形,利用平面向量基本定理进行表示即可.【详解】解:设,则根据题意可得,,如图所示,作,垂足分别为,则又,,故答案为.【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义,两个向量的加减法及其几何意义,属于中档题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析.(2).(3)吨.【解析】
(1)直接描点即可(2)计算出的平均数,,及,,利用公式即可求得,问题得解.(3)将代入可得,结合已知即可得解.【详解】解:(1)把所给的四对数据写成对应的点的坐标,在坐标系中描出来,得到散点图;(2)计算,,,,∴回归方程的系数为:.,∴所求线性回归方程为;(3)利用线性回归方程计算时,,则,即比技改前降低了19.65吨.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法,考查计算能力,还考查了线性回归方程的应用,属于中档题.18、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】
(1)将已知递推式取倒数得,,再结合等比数列的定义,即可得证;(2)由(1)得,再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公式,结合不等式的性质,即可得证.【详解】(1),,可得,即有,可得数列为公比为2,首项为2的等比数列;(2)由(1)可得,即,由基本不等式可得,,即有.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题.19、当时,,,当,,【解析】
利用已知条件通过正弦定理求出,然后利用正弦定理或余弦定理转化求解,即可求解.【详解】在中,,由正弦定理可得:==,因为,所以或,当时,因为,所以,从而,当时,因为,所以,从而=.【点睛】本题主要考查了三角形的解法,正弦定理以及余弦定理的应用,其中解答中熟记三角形的正弦定理与余弦定理,合理运用是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.20、(I)(Ⅱ)或【解析】
(Ⅰ)由已知求得,的坐标,再由直线方程的两点式得答案;(Ⅱ)求出的坐标,再求出以及所在直线方程,设,利用点到直线的距离公式求出到所在直线的距离,代入三角形面积公式解得值,进而可得的坐标.【详解】(Ⅰ)将圆:化为:,所以,圆:化为:,所以,所以经过圆与圆的圆心的直线方程为:,即.(Ⅱ)如图,设,由题意可得,解得,即,∴,所在直线方程为,即,设,则到所在直线的距离,由,解得或,∴点的坐标为或.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用,考查点关于直线的对称点
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