2025优化设计一轮素能培优(十二) 破解基于问题情境的数列问题

素能培优(十二)破解基于问题情境的数列问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025基于问题情境的数列问题是高考的热点内容,通过具体的问题背景,考察数列的应用,以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识.解决情境下的数列问题,常用的解题思路是:审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题.建立数列模型时需注意分析:问题中有哪些量,这些量之间的关系和规律是什么,是否符合等差、等比数列的定义,它们之间的递推关系是什么等,有时还需要从特殊到一般进行归纳总结.只要建立起恰当的数列模型,就可运用数列的通项公式、前n项和公式以及相关的性质、方法解决问题.探究一数学文化中的数列问题对于以数学文化为背景的数列问题,解题时常常受困于背景陌生,阅读受阻,无法获得解题思路.解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,从中构建等差数列或等比数列模型,再根据等差数列或等比数列的有关公式求解作答,必要时进行检验.例1(2024·四川绵阳模拟)《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统地介绍了等差数列,卷中记载“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月织九匹三丈”,其意思为:现有一善于织布的女子,从第二天开始,每天比前一天多织相同量的布,第一天织了5尺布,现在一个月(30天)共织390尺布.假如该女子1号开始织布,则这个月中旬(第11天到第20天)的织布量为(

)B[对点训练1](多选题)(2024·福建龙岩模拟)在《增删算法统宗》中有如下问题“三百七十八里关,初行健步不为难.次日脚痛减一半,六朝才得到其关”,其意思是:某人到某地需走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地,则(

)A.此人第二天走的路程占全程的B.此人第三天走了48里路C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里D.此人第五天和第六天共走了18里路BD探究二实际生活中的数列问题实际生产生活中的许多问题都与数列问题紧密相关,解决这些问题的关键是弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,建立相应的数列模型,抽象出通项公式或递推关系式,然后利用数列知识解决问题.例2(多选题)(2024·山东德州模拟)某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元,已知每年可获利20%,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设经过n年之后,该项目的资金为an万元(取lg2≈0.30,lg3≈0.48),则下列叙述正确的有(

)A.a1=2200B.数列{an}的递推关系是an+1=an×(1+20%)C.数列{an-1000}为等比数列D.至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)的目标ACD

[对点训练2](2024·陕西渭南模拟)5G是第五代移动通信技术的简称,其意义在于万物互联,即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中,它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信,将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6500米.从全国范围看,中国5G发展进入了全面加速阶段,基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站,从第二个工程队开始,每个工程队承建的基站数都比前一个工程队少,则第一个工程队承建的基站数(单位:万个)为(

)B解析

设第一个工程队承建的基站数为m万个,依题意,每个工程队承建的基站数由大到小依次排成一列构成等比数列{an},n∈N*,n≤8,探究三数阵或图表中的数列问题从数列到数阵或图表,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的本质仍然是数列问题,只要抓住每行(每列)的首项,找准每行(每列)的变化规律,从数阵中构造出新数列(等差数列、等比数列、周期数列等),那么解决问题的思想和方法仍然不变.例3(2024·浙江乐清模拟)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记an为图中虚线上的数1,3,6,10,…构成的数列{an}的第n项,则a50的值为(

)

A.1275

B.1276 C.1270

D.1280A解析

由题意可得a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,即an-an-1=n,n≥2,所以a50=a1+(a2-a1)+…+(a49-a48)+(a50-a49)=1+2+…+49+50=

=1

275.

[对点训练3](2024·江西五市九校第二次联考)如图为“杨辉三角”示意图,已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为Sn,设

,将数列{bn}中的整数项依次取出组成新的数列记为{cn},则c2023的值为(

)A.5052

B.5057 C.5058

D.5063B所以{cn}的奇数项是以2为首项,5为公差的等差数列,则c2n-1=2+