2025优化设计一轮素能培优(九) 数列中的构造问题

素能培优(九)数列中的构造问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025求数列的通项公式时,除了前面我们学习过的公式法、累加法、累乘法等,构造法也是一种重要方法.其基本思想是根据数列递推公式的特征,通过构造转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘法求解的数列)解决问题.探究一形如an+1=pan+f(n)型命题点1an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型例1(2024·江西景德镇一中检测)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=4an-6,则a2023=(

)A.-42023+2 B.-42023-2

C.-42022+2 D.-42022-2C解析

由an+1=4an-6,得an+1-2=4(an-2),而a1-2=-1,因此数列{an-2}是首项为-1,公比为4的等比数列,则an-2=-1×4n-1,即an=-4n-1+2,所以a2

023=-42

022+2.命题点2an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)型例2(2024·河北唐县一中检测)若a1=1,an+1=2an-3n,n∈N*,则an=__________.

-5·2n-1+3n+3解析

设an+1+λ(n+1)+u=2(an+λn+u),所以an+1=2an+λn+u-λ,所以数列{an-3n-3}是以a1-3-3=-5为首项,2为公比的等比数列,所以an-3n-3=-5×2n-1,所以an=-5·2n-1+3n+3.命题点3an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)型

规律方法

形式构造方法an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)引入参数c,构造新的等比数列{an+c}an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)引入参数x,y,构造新的等比数列{an+xn+y}an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)等式两边同除以qn+1,构造新的数列{}[对点训练1](1)(2024·四川乐山模拟)已知数列{an}满足an+1=2an+2,a1=1,则an=__________.

3×2n-1-2(3)(2024·江苏盐城模拟)已知在数列{an}中,a1=2,an+1-4an=2n+1,n∈N*,则{an}的通项公式为__________.

an=4n-2n解析

∵an+1=2n+1+4an,∴an+1+2n+1=4an+2n+2=4(an+2n).∵a1+2=4,∴数列{an+2n}是以4为首项,4为公比的等比数列.∴an+2n=4×4n-1=4n,即an=4n-2n.探究二

形如an+1=pan+qan-1型例4(2024·河北唐山模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=6,且an+1=4an-4an-1,n≥2,n∈N*,则数列{an}的通项公式为______________.

an=(2n-1)2n-1解析

因为an+1=4an-4an-1,n≥2,n∈N*,所以an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1).又因为a2-2a1=4,所以{an+1-2an}是以4为首项,2为公比的等比数列.所以an+1-2an=4×2n-1=2n+1,变形得[对点训练2]已知数列{an}满足a1=2,a2=8,an+2=4an+1-3an,则数列{an}的通项公式为_______________.

an=3n-1解析

an+2=4an+1-3an变形为an+2-an+1=3(an+1-an),a2-a1=6,∴数列{an+1-an}是等比数列,首项为6,公比为3.∴an+1-an=6×3n-1=2×3n,