人教八年级下学期《182特殊的平行四边形》同步练习卷

人教新版八年级下学期《18.2特殊的平行四边形》

同步练习卷

一.选择题（共9小题）

1.如图，在aABC中，于点E,BCAC于点。；点尸是AB的中点，连结。F,

EF,设NZ)FE=x°,/4C8=y°，则()

A.y—xB.y--Xr+90C.y--2x+180D.y--A+90

2

2.如图，将面积为S的矩形A8C£＞的四边BA、CB、DC、A。分别延长至E、F、G、H,

使得AE=CG,BF=BC,DH=AD,连接EF,FG,GH,HE,AF,CH.若四边形EFGH

为菱形，胆=2,则菱形EFGH的面积是（)

AB3

A.2SB.且SC.3s

2

3.如图，平行四边形ABC。中，对角线AC、8。相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别

是OC、OD、A3的中点，下列结论：①BE_LAC；②EG=EF；③△EFG丝△G8E：④E4

平分NGEF；⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的个数是（）

4.如图所示，在Rt&4BC中，ZABC=90°,NBAC=30°,分别以直角边48、斜边AC

为边，向外作等边△43。和等边△ACE,尸为AC的中点，£）£：与AC交于点。，QF与

AB交于点G,给出如下结论：①四边形AQFE为菱形；②OFLAB；③AO=」/E；④CE

4

=4FG；其中正确的是（）

C.①③④D.②③④

5.如图，E,F,G,”分别是80,BC,AC,AO的中点，且AB=8,下列结论：①EG

1.FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分NEHG；④EG=LCBC-40）,其中正确

2

的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，在矩形ABCD中，AB=8厘米，BC=10厘米，点E在边AB上，且AE=2厘米,

如果动点尸在线段BC上以2厘米/秒的速度由8点向。点运动，同时，动点。在线段

CO上由C点向。点运动，设运动时间为/秒，当△BPE与△CQP全等时,f的值为（）

A.2B.1.5或2C.2.5D.2或2.5

7.如图，D,E是△ABC中A8,BC边上的点，且0E〃AC,/ACB角平分线和它的外角

的平分线分别交OE于点G和则下列结论错误的是（）

A.若BG〃CH,则四边形8/7CG为矩形

B.若BE=CE时，四边形BHCG为矩形

C.若HE=CE,则四边形BHCG为平行四边形

D.若CH=3,CG=4,则CE=2.5

8.正方形A8C。中，点E、尸分别在CD、BC边上，A4EF是等边三角形.以下结论：①EC

=FC；@ZAED=75°；③AF=&CE；④E尸的垂直平分线是直线AC.正确结论个数

有（）个.

A.1B.2C.3D.4

9.如图，正方形48C。中，点E、F、G分别为边48、BC、AO上的中点，连接AF、DE

交于点M，连接GM、CG,CG与。E交于点M则结论①GM_LCM；②CD=£>M；③

四边形AGC尸是平行四边形；④NCMO=NAGM中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

二.填空题（共6小题）

10.如图，△ABC中，ZACB=90°,。在BC上，E为AB中点,AD.CE相交于F,AD

=DB.若/8=35°,则/OFE等于°.

11.菱形A8CQ在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1,0),点8的坐标

为(0,7厉)，动点P从点A出发,沿A-B-C-O-4-B-…的路径，在菱形的边上以

每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2019秒时，点P的坐标为.

12.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.小米的作法是：连接AC,作AC

的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AMCM,则四边形ANCM

是菱形.则小米的依据是.

13.如图，已知在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形0A8C是长方形，点A、C、

。的坐标分别为A(9,0)、C(0,4),D(5,0),点尸从点。出发，以每秒1个单位

长度的速度沿。一C—8—A运动，点尸的运动时间为/秒.则当f=秒时，△ODP

是腰长为5的等腰三角形？

14.如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8c〃z,BC=\0cm,M是8c边上的动点，MDLAB,

MEA.AC,垂足分别是。、E,线段0E的最小值是cm.

A

15.如图，4。是△ABC的角平分线，DE,。尸分别是△54。和△ACC的高，得到下列四

个结论：®OA=OD；@ADA.EF；③当乙4=90°时，四边形AED尸是正方形；@AE+DF

=AF+DE.其中正确的是(填序号).

16.已知，如图，NABC=NAOC=90°,M、N分别是AC、的中点.

(1)求证：MN1.BD；

(2)在边AQ上能否找到一点P,使得请说明理由.

17.如图1,已知NABC=90°,AABC是等腰三角形，点。为斜边AC的中点，连接。8,

过点A作NB4c的平分线，分别与BC相交于点E,F.

(2)如图2,连接CE,在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角

形.

18.菱形ABC。中，点P为CD上一点，连接8P.

(1)如图1,若8PJ_C。，菱形A8CC边长为10,PD=4,连接AP,求AP的长.

(2)如图2,连接对角线AC、8。相交于点。，点N为BP的中点，过P作PMJ_AC于

M,连接ON、MN.试判断△MON的形状，并说明理由.

19.【问题原型】如图1,在四边形A8CQ中，ZADC=9O°,AB=AC.点E、F分别为AC、

8c的中点，连结EF,DE.试说明：DE=EF.

【探究】如图2,在问题原型的条件下，当AC平分NBA。，ZDEF=90°时，求NBA。

的大小.

【应用】如图3,在问题原型的条件下，当AB=2,且四边形CQEF是菱形时，直接写

20.如图，ZVIBC中，。是A8上一点，OE_LAC于点E,F是AZ)的中点，FGJ_BC于点G,

与DE交于点H,若FG=AF,AG平分NCAB,连接GE,GD.

(1)求证：AECG咨/XGHD；

(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.

(3)若NB=30°,判定四边形4EGF是否为菱形，并说明理由.

21.如图，在QABCD和QBFDE中，/A=/凡AD与8E交于点M,BC与DF交于点、N,

(1)四边形BND历一定是平行四边形吗？为什么？

(2)当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BM9M是菱形，请说明理由.

22.如图，在RtZ\ABC中，ZB=90°,AC=IOOCTO,ZA=60°,点。从点C出发沿CA

方向以4cM秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cvn/秒的速度

向点8匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点。，E运

动的时间是f秒(0<fW25).过点。作力F_L8C于点F,连接。E,EF.

(1)四边形AEF。能够成为菱形吗？如果能，求出相应的"直；如果不能，请说明理由;

(2)当，为何值时，尸为直角三角形？请说明理由.

23.在五边形AO8CE中，ZADB=ZAEC=90°,NDAB=NEAC,M、N、。分别为AC、

AB.BC的中点.

(1)求证：△EM。丝△ON。；

(2)若4B=AC,且/B4C=40°,当ND4B等于多少时，四边形ADOE是菱形，并证

明.

24.如图，在矩形ABC。中，AB=6,AO=8,P,E分别是线段AC、BC上的点，且四边

形PEFD为矩形.

(1)若△PCQ是等腰三角形时，求AP的长；

(2)求证：PCVCF.

25.已知四边形A8CD是矩形，连接AC,点E是边CB延长线上一点，CA=CE,连接AE,

尸是线段4E的中点，

(1)如图1,当AD=£>C时，连接CF交AB于M,求证：BM=BE；

(2)如图2,连接交AC于0,连接。F分别交AB、AC于G、H,连接GC,若N

FDB=30°,Sn^CBOH=,求线段GC的长.

26.如图，平行四边形A8CO中，AB=4cm,BC=6cm,ZB=60°,G是C。的中点，E

是边A。上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.

(1)求证：四边形CE。尸是平行四边形；

(2)①AE为何值时四边形CEO尸是矩形？为什么？

②AE为何值时四边形CE。尸是菱形？为什么？

AED

27.如图，在△ABC中，ZACB=90Q,D、E、F分别是AC、AB、8c的中点.

(1)求证：CE=DF；

(2)连接。E、EF,证明四边形CEO尸为矩形.

(1)试判断四边形OAFE的形状，并说明理由；

(2)当NB4c多少度时，四边形D4FE是矩形；

(3)探究下列问题：(只填满足的条件，不证明)①当△ABC满足条件时，四

边形ZMFE是菱形，②当△ABC满足条件时，以。、A、F、E为顶点的四边形

不存在.

29.己知：分别以△回(：的各边为边，在8c边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CB。

和等边三角形AC凡连结£>E,DF.

(1)试说明四边形QE4F为平行四边形.

(2)当AABC满足什么条件时，四边形OEAF为矩形？并说明理由：

(3)当aABC满足什么条件时，四边形DE4尸为菱形.直接写出答案

D

30.如图，在矩形ABC。中，A8=8cro,8c=16a〃，点尸从点。出发向点A运动，运动到

点A停止，同时，点Q从点8出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都

是ka/s.连接尸。、AQ,CP.设点P、。运动的时间为以

（1）当/为何值时，四边形ABQP是矩形；

（2）当，为何值时，四边形AQCP是菱形；

（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积.

31.已知矩形ABCQ和点尸，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论:

PA1+PC^^PB\PD2,请你探究：当点尸分别在图（2）、图（3）中的位置时，BA?、p$、

PC2和尸力2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证

明你的结论.

答：对图（2）的探究结论为

对图（3）的探究结论为；

证明：如图（2）

32.如图，点M是正方形ABC。的边8c上一点，连接AM,点E是线段AM上一点，Z

CDE的平分线交AM延长线于点F.

（1）如图1,若点E为线段AM的中点，BM：CM=1：2,求AB的长；

(2)如图2,若D4=OE,求证：BF+DF=y]2/\F.

33.如图，已知正方形A8CD的边长为连接AC、8。交于点O,CE平分NACD交BD

于点E,

(1)求。E的长；

(2)过点E作EFJ_CE,交4B于点F,求8尸的长；

(3)过点E作EGLCE,交C£＞于点G,求。G的长.

34.已知：如图，在平行四边形ABCQ中，BC=AC,E,F分别是AB,CD的中点，连接

CE并延长交D4的延长线于M,连接AF并延长交的延长线于N.

(1)求证：4ABN%/\CDM；

(2)当平行四边形ABC。的边或角满足什么关系时，四边形AEC/是正方形？请说明理

35.如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点，，点G、

F分别为HC、48的中点，连接A”、DE、EF、FG、GD,其中”A=BC.

(1)证明：四边形QEFG为菱形；

(2)猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由.

36.如图，四边形ABCQ是平行四边形，AE//BD,AE与CB的延长线交于点E,DE交AB

于F.

(1)求证：BC=BE；

(2)连结CF,若尸且A£)=2A尸，求证：四边形4BCD是正方形.

37.已知：如图，四边形A8C。中，AD//BC,AD=CD,E是对角线8。上一点，且E4=

EC.

(1)求证：四边形ABC。是菱形;

(2)如果BE=BC,且NCBE：NBCE=2：3,求证：四边形A8CQ是正方形.

38.如图所示是5个大小相同的正方形相连，共有正方形的顶点12个，从中任取4个点为

顶点构成正方形，共可以组成多少个正方形？

39.如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形AB。/,正方形BCFE,

正方形AC/7G,连接A。，DE,EG.

(1)求证：/\BDE沿ABAC：

(2)①设/BAC=a,请用含a的代数式表示/ED4,ZDAG；

②求证：四边形AOEG是平行四边形；

(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AQEG是正方形？请说明理由.

40.在图1到图3中，点。是正方形A8CD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，Z

MPN=90°.正方形ABC。保持不动，AMPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始

终在射线AC上，且保持垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线8C于点尺

(1)如图1,当点P与点。重合时，OE与OF的数量关系为；

(2)如图2,当P在线段OC上时，猜想OE与。尸有怎样的数量关系与位置关系？并

对你的猜想结果给予证明；

(3)如图3,当点尸在AC的延长线上时，OE与。尸的数量关系为；位置关系

人教新版八年级下学期《18.2特殊的平行四边形》2019

年同步练习卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共9小题)

1.如图，在△48C中，AE_LBC于点E,8OJ_AC于点。；点尸是AB的中点，连结OF,

E凡设,ZACB=y°，则()

A.y=xB.y=--kr+90C.y=-2x+180D.y=-x+90

【分析】由垂直的定义得到乙4O8=NBEA=90°,根据直角三角形的性质得到4尸=。凡

BF=EF,根据等腰三角形的性质得到NQAF=NAOF,NEFB=NBEF,于是得到结论.

【解答】解：...AELBC于点E,BOLAC于点£＞；

AZADB^ZBEA=90°,

•.,点二是AB的中点,

：.AF=DF,BF=EF,

：.ZDAF=ZADF,NEBF=NBEF,

：.ZAFD=18Q°-2ZCAB,NBFE=180°-2AABC,

=180°-NAFD-NBFE=2(NCAB+NCBA)-1800=2(1800-/)-180°

=180°-2y°,

...y=-Xr+90,

2

故选：B.

【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的

识别图形是解题的关键.

2.如图，将面积为S的矩形ABC。的四边8A、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H,

使得4E=CG,BF=BC,DH=AD,连接EF,FG,GH,HE,AF,CH.若四边形EFG”

为菱形，胆=2,则菱形EFG”的面积是（）

AB3

A.2SB.^-SC.3sD.1~S

22

【分析】设FB=2a,4B=3m由RtAEBF^RtAGDW(HL),推出FB=DH,推出BF

=DH=AD=BC=2a,设AE=CG=x,由FG=GH,可得16)+/=(x+3a)2+4a2,解

得犬=旦，用a表示菱形的面积即可解决问题.

2

【解答】解：,./B：AB=2：3,

.,.可以假设F8=2a,AB=3a,

•.•四边形488是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,

'：AE=CG,

：.BE=GD,

■:NEBF=NGDH=90°,EF=GH,EB=GD,

.".RtAEBF^RtAGD/7(HL),

：.FB=DH,

'：AD=DH,

：.BF=DH=AD^BC^2a,设AE=CG=x,

,:FG=GH,

16(Z2+X2=(x+3a)，4J,

解得X=9,

2

•••S箜彩EFGH=2xLx2ax(3a+旦)+6a2+2XXx4aX15a,

2222

'：S=6a,

•〃2_S

6

，菱形EFGH的面积=1.

2

故选：B.

【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关

键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

3.如图，平行四边形ABCD中，对角线4C、8。相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别

是0C、0D、AB的中点，下列结论：①BE_LAC；②EG=EF；@A£FG^AGBE；@EA

平分/GEF：⑤四边形8EFG是菱形.其中正确的个数是（）

【分析】由平行四边形的性质可得0B=BC,由等腰三角形的性质可判断①正确，由直

角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②正确,通过证四边形2GFE是平行四边形,

可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由NBAC#30°可

判断⑤错误.

【解答】解：：四边形ABC。是平行四边形

:.B0=D0=UD,AD=BC,AB=CD,AB//BC,

2

又；BD=2AD,

：.OB=BC=OD=DA,且点E是0C中点，

J.BELAC,

故①正确，

尸分别是0C、。。的中点，

：.EF//CD,EF=1JCD,

2

:点G是RlAABE斜边AB上的中点，

:.GE=LAB=AG=BG

2

:.EG=EF=AG=BG,

故②正确,

,:BG=EF,AB//CD//EF

四边形BGFE是平行四边形，

：.GF=BE,且8G=EF,GE=GE,

:.△BGE义/\FEG(SSS)

故③正确

"：EF//CD//AB,

：.NBAC=NAC£)=ZAEF,

"：AG=GE,

：.ZGAE=ZAEG,

：.NAEG=NAEF,

平分NGE凡

故④正确，

若四边形BEFG是菱形

：.BE=BG=h\B,

2

：.ZBAC=30Q

与题意不符合

故⑤错误

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角

形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

4.如图所示，在RtZXABC中，ZABC=90°,NBAC=30°,分别以直角边AB、斜边AC

为边，向外作等边△A3。和等边AACE,尸为4c的中点，OE与4c交于点O,DF与

48交于点G,给出如下结论：①四边形ADFE为菱形；@DF±AB；③A0=LE；④CE

4

=4尸G；其中正确的是（)

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【分析】根据等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质

等知识一一判断即可.

【解答】解：：NBAC=30°,△ABO是等边三角形，

；.NBAD=60°,

：.ZDAF=90°,

：.DF>AD,

四边形AOFE不可能是菱形.故①错误.

连接BF.

「△ABC是直角三角形，AF^CF,

：.FA=FB,'：DA=DB,

•••QF垂直平分线段AB,故②正确，

,：AEA.AB,DFLAB,

J.AE//DF,

'：AE=2AF,DF=2AF,

：.AE=DF,

四边形AEFD是平行四边形，

：.OA=OF,

'.AE=AC=4OA,故③正确，

在RtZ\AFG中，/项G=30°,

：.AF=2FG,

,:EC=AC=2AF,

：.EC=4FG,故④正确，

故选：D.

E

【点评】本题考查直角三角形30度角性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性

质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

5.如图，E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点，且AB=CO,下列结论：①EG

VFH-.②四边形EFGH是菱形；③HF平分NEHG；@£G=-1CBC-AD）,其中正确

的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边

形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对

各小题进行判断.

【解答】解：F、G、H分别是8。、BC、AC、AO的中点，

：.EF=1.CD,FG=1AB,GH=k.CD,HE=1AB,

2222

"：AB=CD,

：.EF=FG=GH=HE,

四边形EFGH是菱形，

：.®EG±FH,正确；

②四边形E尸GH是菱形，正确；

③”尸平分正确；

④当AZ）〃BC,如图所示：E,G分别为BQ,AC中点,

连接C。，延长EG到CZ）上一点M

:.EN=Uc,GN=1AD,

22

：.EG=L（BC-AD）,只有A£）〃BC时才可以成立，而本题AO与BC很显然不平行,

2

故本小题错误.

综上所述，①②③共3个正确.

【点评】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位

线定理与AB=C。判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键.

6.如图，在矩形A8CD中，48=8厘米，BC=10厘米，点E在边4B上，且AE=2厘米,

如果动点尸在线段BC上以2厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时，动点。在线段

CO上由C点向。点运动，设运动时间为，秒，当4BPE与△CQP全等时，/的值为（）

A.2B.1.5或2C.2.5D.2或2.5

【分析】分两种情况讨论：若△8PE丝△CQP,则8P=C。，BE=CP；若ABPE注ACPQ,

则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米；

【解答】解：当点。的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若ABPE注ACQP,

则BP=CQ,BE=CP,

：AB=8厘米，8c=10厘米，AE=2厘米，

，8E=CP=6厘米，

；.BP=10-6=4厘米，

，运动时间=4+2=2（秒）；

当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，

:,BP次CQ,

VZB=ZC=90°,

，要使ABPE与△OQP全等，只要8P=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可.

...点P,。运动的时间片里=金（秒），

22

故选：

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：

正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全

等.解题时注意分类思想的运用.

7.如图，D,E是△ABC中A2,8c边上的点，S.DE//AC,NACB角平分线和它的外角

的平分线分别交QE于点G和H.则下列结论错误的是（）

A.若BG〃CH,则四边形BHCG为矩形

B.若时，四边形BHCG为矩形

C.若HE=CE,则四边形BHCG为平行四边形

D.若CH=3,CG=4,则CE=2.5

【分析】由/AC8角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和，可得NHCG=

90°,NECG=NACG即可得HE=EC=EG,再根据A,B,C,。的条件，进行判断.

【解答】解：：/人8角平分线和它的外角的平分线分别交。E于点G和”，

...NHCG=90°,Z£CG=ZACG；

■:DE//AC.

：.ZACG=ZHGC=AECG.

：.EC=EG；

同理：HE=EC,

:.HE=EC=EG=UG；

2

若CH//BG,

；.NHCG=NBGC=90°,

:.NEGB=NEBG,

：.BE=EG,

：.BE=EG=HE=EC,

.,.C7/8G是平行四边形，且NHCG=90°,

...CHBG是矩形；

故A正确；

若BE=CE,

：.BE=CE=HE=EG,

.•.C”2G是平行四边形，且NHCG=90°,

；.C，BG是矩形，

故B正确；

若HE=EC,则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形，

故C错误；

若CH=3,CG=4,根据勾股定理可得”G=5,

：.CE=2.5,

故。正确.

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，关键是灵活这些判定解决

问题.

8.正方形A8CZ）中，点E、尸分别在CD、BC边上，△△£下是等边三角形.以下结论：①EC

=FC；@ZAED=75°；③④EF的垂直平分线是直线AC.正确结论个数

A.1B.2C.3D.4

【分析】由题意可证AAB尸丝△4DE,可得BF=DE,即可得EC=C凡由勾股定理可得

由平角定义可求NAEQ=75°,由AE=AF,EC=FC可证AC垂直平分EF,

则可判断各命题是否正确.

【解答】解：：四边形A8CZ）是正方形，

：.AB=AD=BC=CD,ZB=ZC=ZD=ZDAB=W°

△AEF是等边三角形

：.AE=AF=EF,ZEAF^ZAEF=60°

\'AD=AB,AF=AE

：.△ABF四△AQE

：.BF=DE

：.BC-BF=CD-DE

：.CE=CF

故①正确

,:CE=CF,ZC=90°

：.EF=y/2CE,ZC£F=45°

：.AF=y/2（：E,

,：NAE£）=180°-NCEF-ZAEF

，ZAED=15°

故②③正确

'：AE=AF,CE=CF

垂直平分EF

故④正确

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线

段垂直平分线的判定，熟练运用这些性质和判定解决问题是本题的关键.

9.如图，正方形A8CO中，点E、F、G分别为边A8、BC、A。上的中点，连接AF、DE

交于点M,连接GM、CG,CG与。E交于点M则结论①GM_LCM；②CD=OM；③

四边形AGCF是平行四边形；④/CM£»=N4GM中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【分析】要证以上问题，需证CN是。N是垂直平分线，即证N点是QM中点，利用中

位线定理即可，利用反证法证明④不成立即可.

【解答】解：〃尸C且AG=FC,

四边形AGC尸为平行四边形，故③正确；

NGAF=ZFCG=ZDGC,ZAMN=ZGND

在△ACE和△BAF中，

'AE=BF

NDAE=NABF，

AD=AB

:.4ADE沿ABAF(SAS),

NADE=NBAF,

ZADE+ZAEM=90°

：.NE4A/+N4EM=90°

NAME=90°

NGND=90°

：.ZDE1.AF,DEICG.

；G点为A。中点，

/.GN为△AOM的中位线，

即CG为QM的垂直平分线，

:.GM=GD,CD=CM,故②错误；

在△GOC和△GA7C中，

'DG=MG

；CDXM，

CGXG

.,.△GDC^AGMCCSSS),

...NC£)G=/CMG=90°,

ZMGC=ZDGC,

...GM,CAL故①正确；

•.•NCr>G=/CMG=90°,

.••G、D、C、M四点共圆，

：.ZAGM=ZDCM,

,:CD=CM,

:.NCMD=NCDM,

在RtZ\AM£>中，NAMZ）=90°,

：.DM<AD,

：.DM<CD,

.".ZDMC^ZDCM,

：.ZCMD^ZAGM,故④错误.

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用及平行四边

形的性质的运用.在解答中灵活运用正方形的中点问题解决问题，灵活运用了几何图形

知识解决问题.

二.填空题（共6小题）

10.如图，ZVIBC中，NACB=90°,。在BC上，E为AB中点、,A。、CE相交于F,AD

=DB.若NB=35。，则NCFE等于105°.

【分析】根据NEFQ=NA£>C+N£>CF,只要求出NAOC,NQCF即可解决问题.

【解答】解：：/ACB=90°AE=EB,

：.CE=EB=AE,

:.NB=NECB=35°,

"：DB=DA,

.•.NB=NZMB=35°,

AZADC=ZB+ZDAB=10°,

：.NEFD=N4OC+NECB=105°,

故答案为105.

【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性

质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

11.菱形A8CD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1,0）,点3的坐标

为（0,炳），动点P从点A出发，沿A-B-CfD-A-Bf…的路径，在菱形的边上以

每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2019秒时，点P的坐标为（-1,&.

2__2_

【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A-B-C-D

-4所需的时间，进而可得出结论.

【解答】解：的坐标为（1,0）,点B的坐标为（0,V3）,

."0=1,0B=43

/MB=VOA2+OB2=2

•.•四边形48co是菱形

."B=AO=CZ）=BC=2,

点P每运动8秒回到点A位置，

.♦.2019+8=252…3

.••点P移动到第2019秒时，落在BC中点，即点P（-L,返）

22

故答案为：（--1,近）

22

【点评】本题考查了菱形的性质，找出点P运动规律是本题的关键.

12.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.小米的作法是：连接AC,作AC

的垂直平分线MN分别交AQ,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM

是菱形.则小米的依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

【分析】先根据MN垂直平分AC,推导出△A。例丝△COM进而的而出AM=CM再

根据AM//CN,判定四边形AMCN是平行四边形，最后根据MNLAC,得出四边形AMCN

是菱形.

【解答】解：：AC的垂直平分线MN分别交AC,AC,BC于M,O,N,

；.AO=CO,4AoM=4C0N,

'JAD//BC,

：.ZAMO=ZCNO,

在△AOM和△CON中

rZAM0=ZCN0

<ZA0M=ZC0N

,AO=CO

.♦.△40例丝△CON(4AS)

:.AM=CN,

又，：AM〃CN,

四边形AMCN是平行四边形，

又；MN_LAC,

四边形AMCN是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

故答案为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

【点评】本题主要考查了菱形的判定，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，几何语言

为：•.•ACLLBD,四边形A8CD是平行四边形，，平行四边形ABC。是菱形.

13.如图，已知在平面直角坐标系中，0为坐标原点，四边形04BC是长方形，点A、C、

。的坐标分别为A(9,0)、C(0,4),D(5,0),点尸从点。出发，以每秒1个单位

长度的速度沿O-C-*2—A运动，点P的运动时间为f秒.则当t=6或7或12或14

秒时，△OOP是腰长为5的等腰三角形？

【分析】分0£>=0P=5,PO=OO=5和0尸=尸力三种情况进行讨论，利用勾股定理求

解.

【解答】解：当OO=OP=5时，在直角△OPC中，CP=^0p2_oc2-^52_42=3,

则f=4+3=7；

同理，在直角中，得至IJPE=3,则当尸在E的左边时，CP=5-3=2,则f=4+2

=6；

当P在E的右边时CP=5+3=8,则f=4+8=12；或AP=3,则f=4+9+4-3=14；

当OP=PD,CP=2.5,/=4+2.5=6.5（舍去）

总之，z=7或6或12或14.

故答案为：6或7或12或14.

【点评】本题考查了矩形的性质，以及等腰三角形的性质，正确进行讨论是关键.

14.如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8cm,BC=\Ocm,"是8c边上的动点，MDA.AB,

ME1AC,垂足分别是。、E,线段。E的最小值是4.8cm.

【分析】根据勾股定理的逆定理求出N4=90°,根据矩形的判定得出四边形4DME是

矩形，根据矩形的性质得出求出AM的最小值即可.

【解答】解：：在△A8C中，AB=6a〃，AC=Scm,BC^iOcm,

：.BC2=AB2+AC2,

；.乙4=90°,

'：MD±AB,MEVAC,

.•.NA=NAOM=NAEM=90°,

四边形AOME是矩形，

：.DE=AM,

当AMLBC时，AM的长最短，

根据三角形的面积公式得：1ABXAC=LBCXAM,

22

.*.6X8=10AM,

AM=4.8(cm),

即OE的最小值是4.8cnz.

故答案为：4.8.

【点评】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，三角形的面积，垂线段最

短的应用，能求出是解此题的关键，注意：垂线段最短.

15.如图，是△ABC的角平分线，DE,。尸分别是△BAO和△ACC的高，得到下列四

个结论：①OA=。。；©ADVEF-,③当乙4=90°时，四边形AECF是正方形；@AE+DF

^AF+DE.其中正确的是②⑶④（填序号）.

【分析】①如果0A=。。，则四边形AE。尸是矩形，NA=90°,不符合题意，所以①

不正确;

②首先根据全等三角形的判定方法，判断出AE=AF,DE=DF；然后

根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0名A4尸。，即可判断出ADA.EF；

③首先判断出当NA=90°时，四边形AED尸的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形,

然后根据£>E=O凡判断出四边形4ED尸是正方形即可；

④根据△AED之△AFD,判断出AE=AF,DE=DF,即可判断出AE+CF=AF+CE成立.

【解答】解：如果OA=O。，则四边形AEDF是矩形，没有说/A=90°,不符合题意，

故①错误；

,：AD是aABC的角平分线，

：.ZEAD=ZFAD,

在△4EC和中，

'NEAD=/FAD

-ZAED=ZAFD=90°

AD=AD

AAAED^AAFD(AAS),

：.AE=AF,DE=DF,

：.AE+DF^AF+DE,故④正确;

•.•在△AEO和△AFO中,

'AE二AF

-ZEAO=ZFAO>

AO=AO

A/\AEO^/\AFO（SAS）,

：.EO=FO,

又：AE=AF,

...AO是EF的中垂线，

：.ADA.EF,故②正确；

；当NA=90°时，四边形AEO尸的四个角都是直角，

二四边形AEQF是矩形，

又.：DE=DF,

二四边形AE£甲是正方形，故③正确.

综上可得：正确的是：②③④，

故答案为：②③④.

【点评】此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应

用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了

矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握.

三.解答题（共25小题）

16.已知，如图，/ABC=NACC=90°,M、N分别是AC、的中点.

（1）求证：MNLBD；

（2）在边40上能否找到一点P,使得PB=P£>?请说明理由.

【分析】（1）连接BM、DM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=

DM=1AC,再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可.

2

（2）利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题；

【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM.

VZABC=ZADC=90°,M是AC的中点,

：.BM=DM^L\C,

2

:点N是BO的中点，

J.MNX.BD.

（2）解：能.

理由：延长NM交AO于P,

是线段3。的垂直平分线,

：.PD=PB.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线

合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键.

17.如图1,已知NABC=90°,4ABC是等腰三角形，点。为斜边AC的中点，连接。B,

过点A作NBAC的平分线，分别与BC相交于点E,F.

（2）如图2,连接CE,在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角

形.

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BDLAC,NDBC=45。，根据角平分线的定

义得到NBAF=22.5°,根据三角形内角和定理计算，根据等腰三角形的判定定理证明即

可;

（2）根据等腰三角形的概念解答.

【解答】（1）证明：/ABC=90°,B4=8C,点。为斜边AC的中点，

：.BDLAC,NDBC=45°,

是NBAC的平分线，

：.ZBAF=22.5°,

：.ZBFE=67.5°,

.•.NBEF=180°-ZEBF-ZEFB=67.5°,

:.NBFE=NBEF,

:.BE=BF；

（2）ZABC=90°,BA=BC,点。为斜边AC的中点，

：.BD^AD=CD,

...△AB。、△CB。是等腰三角形，

由已知得，