高等数学有理式的不定积分方法

1.有理式的不定积分3-3有理式的不定积分与有理化方法有理函数:为假分式;为真分式相除多项式+真分式若干部分分式之和其中部分分式的形式为2021/5/91部分分式:2021/5/92

有理函数积分法2021/5/932021/5/94如果有一个重实根,则的部分分式中一定包含下列形式的项部分分式之和:如果中包含因子时,则的部分分式中一定包含下列形式的项部分分式之和:2021/5/95

例如将真分式分解成部分分式.

2021/5/96四种典型部分分式的积分:

变分子为再分项积分2021/5/972021/5/98而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.2021/5/99说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,2021/5/910例1求解第一种方法:待定系数法，可以用如下的方法求出待定系数.上式通分后得比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组：2021/5/911

从而解得故有

于是2021/5/912

化简并约去两端的公因子后为得例2

求第二种方法(赋值法)2021/5/913两端去分母,得或比较两端的各同次幂的系数及常数项，有解之得解2021/5/9142021/5/915补例解2021/5/916例3

求解即有即2021/5/917用递推公式求或2021/5/9182021/5/919

总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说,多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的乘积,从而把有理函数分解为多项式与部分分式之和.因此,有理函数的原函数都是初等函数.

但是,用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁,只是在没有其它方法的情况下,才用此方法.例4

求解2021/5/920补例求解

原式注意本题技巧按常规方法较繁2021/5/921(1)三角有理式：

——由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．三角函数有理式可记为2.三角函数有理式的不定积分(2)三角有理式的积分法：2021/5/922令万能替换公式：2021/5/923例4求解令，则2021/5/924注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非“万能的”）：1）若R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=cosx

为积分变量；2）若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=sinx

为积分变量；3）若R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可取u=tanx

为积分变量.2021/5/925例5求解2021/5/926例6求解2021/5/927例7求解注2021/5/9283.某些根式的不定积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令2021/5/929例8

求解令则原式2021/5/930例9

求解令则原式2021/5/931

补例求解为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令2021/5/932内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换