河南省郑州二中等八校新高考仿真模拟数学试卷及答案解析

河南省郑州二中等八校新高考仿真模拟数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为()A． B．C． D．2．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A． B． C． D．3．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（）．A． B． C． D．4．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（）A． B． C． D．5．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()A．10 B．50 C．60 D．1406．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个坐位的宽度()，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）A． B． C． D．7．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（）A． B． C． D．9．已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（）A． B．16 C． D．10．是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是B．结余最高的月份是月份C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D．前个月的平均收入为万元12．已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______.14．已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为．15．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_________．16．已知函数，则的值为____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（）；（2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次：（ii）每次赠送的随机话费和对应概率如下：赠送话费（单位：元）1020概率现有一位市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列.附：，若，则，.18．（12分）已知函数（1）若，试讨论的单调性；（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.19．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.（Ⅰ）证明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.21．（12分）函数（1）证明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范围.22．（10分）在锐角三角形中，角的对边分别为．已知成等差数列，成等比数列．（1）求的值；（2）若的面积为求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设，，则，，相减得到，解得答案.【详解】设，，设直线斜率为，则，，相减得到：，的中点为，即，故，直线的方程为：.故选：.【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.2、A【解析】

阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.故选：A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.3、A【解析】

直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【详解】由题意可知直线的方程为,不妨设.则，且将代入双曲线方程中，得到设则由，可得，故则，解得则所以双曲线离心率故选：A【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.4、C【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此时要输出的值为99.此时.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.5、C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C6、B【解析】

为弯管，为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧所在圆的半径为，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示，为弯管，为6个座位的宽度，则设弧所在圆的半径为，则解得可以近似地认为，即于是，长所以是最接近的，其中选项A的长度比还小，不可能，因此只能选B，260或者由，所以弧长.故选：B【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.7、A【解析】

建立平面直角坐标系，求出直线，设出点，通过，找出与的关系．通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围．【详解】以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，设，则直线，设点，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A．【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．8、D【解析】

先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由，，可得或，又所以.故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.9、C【解析】

根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度.【详解】由于平面平面，且交线为，，所以平面，平面.所以和分别是直线与平面所成的角，所以，所以，即，所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，，设（点在第一象限内），由得，即，化简得，由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以点的轨迹长度为.故选：C【点睛】本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.10、D【解析】

求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，该点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.11、D【解析】由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；结余最高为月份，为，故项正确；至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；前个月的平均收入为万元，故项错误．综上，故选．12、A【解析】

由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和.【详解】根据题意，，所以点的坐标为，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值．【详解】解：由，得，，即，，又，，解得：．为正的常数，．故答案为：．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题．14、【解析】试题分析：可以得出，所以在区间上使的范围为，所以使得≥0的概率为考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.15、【解析】

由题意可得，又由于为的中点，且点在轴上，所以可得点的横坐标，代入抛物线方程中可求点的纵坐标，从而可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】解：因为是抛物线的焦点，所以，设点的坐标为，因为为的中点，而点的横坐标为0，所以，所以，解得，所以点的坐标为所以，故答案为：【点睛】此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.16、4【解析】

根据的正负值，代入对应的函数解析式求解即可.【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）详见解析【解析】

（1）利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和，再利用正态分布的对称性进行求解.（2）写出随机变量的所有可能取值，利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式，再列表得到其分布列.【详解】解：（1）从这1000人问卷调查得到的平均值为∵由于得分Z服从正态分布，（2）设得分不低于分的概率为p，（或由频率分布直方图知）法一：X的取值为10，20，30，40；；；；所以X的分布列为X10203040P法二：2次随机赠送的话费及对应概率如下2次话费总和203040PX的取值为10，20，30，40；；；；所以X的分布列为X10203040P【点睛】本题考查了正态分布、离散型随机变量的分布列，属于基础题.18、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】

（1）根据题意得，分与讨论即可得到函数的单调性；（2）根据题意构造函数，得，参变分离得，分析不等式，即转化为，设，再构造函数，利用导数得单调性，进而得证.【详解】（1）依题意，当时，，①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增；②当时，若，；若，；故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）方法1：由得令，则，依题意有，即，要证，只需证（不妨设），即证，令，设，则，在单调递减，即，从而有.方法2：由得令，则，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，易知，故只需证，即证令，（），则==，（也可代入后再求导）在上单调递减，，故对于时，总有.由此得【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.19、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）取中点为，连接，，，，根据线段关系可证明为等边三角形，即可得；由为等边三角形，可得，从而由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明.（2）以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取中点为，连接，，，如下图所示：因为，，，所以，故为等边三角形，则.连接，因为，，所以为等边三角形，则.又，所以平面.因为平面，所以.（2）由（1）知，因为平面平面，平面，所以平面，以为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易求，则，，，，则，，.设平面的法向量，则即令，则，，故.设平面的法向量，则则令，则，，故，所以.由图可知，二面角为钝二面角角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.20、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)先证明

，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；(Ⅱ)根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【详解】(Ⅰ)证：由已知得又平面，平面，，而故，平面平面，平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，有，又，故所以相似，故有，即所以，以