函数的定义域与值域讲义-高一上学期数学人教A版

课题：函数的定义域与值域知识点一：函数的定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0．④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0．⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1．（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1．（）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形如：)【典例强化】例1.求下列函数的定义域：（1）（2）（3）2．抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；（2）在同一个题中x不是同一个x；（3）只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。例1.已知f(x+1)的定义域为[1,1]，求f（2x1）的定义域。例2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_、；_______；函数的定义域为________；例3.若函数的定义域为，则函数的定义域是；函数的定义域为。3．复合函数定义域复合函数形如：,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例1.知识点二：函数的值域1．直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。【典例强化】例1.求值域。2．配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。例2.求例3.求函数的值域。3．分式型（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为。例1.例2.求值域（2）利用来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。例3.求函数的值域．例4.求值域（3）方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x又出现混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。例5.求函数的值域例6.求值域4．换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例1.求函数的值域例2.求值域知识巩固练习1．函数的定义域是()A．{x|x<0}B．{x|x>0}C．{x|x<0且x≠－1}D．{x|x≠0，且x≠－1，x∈R}2．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)3．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()A．f(x)＝x2＋aB．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋14．若函数f(x)＝eq\f(x－4,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是________．5.求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）【课时跟踪训练】1．若函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则使A∩B=∅的实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣2，4）D．[﹣2，4]2．若函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（x+1）的定义域是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[0，1]3．函数的值域是（）A．（0，+∞）B．C．（0，2）D．（0，）4．已知函数y=x2+4x+5，x∈[﹣3，3）时的值域为（）A．（2，26）B．[1，26）C．（1，26）D．（1，26]5．函数y=在区间[3，4]上的值域是（）A．[1，2]B．[3，4]C．[2，3]D．[1，6]6．函数f（x）=2+3x2﹣x3在区间[﹣2，2]上的值域为（）A．[2，22]B．[6，22]C．[0，20]D．[6，24]7．函数的值域是（）A．{y|y∈R且y≠1}B．{y|﹣4≤y＜1}C．{y|y≠﹣4,y≠1}D．R8．函数y=x2﹣2x（﹣1＜x＜2）的值域是（）