2023-2024学年高二数学2019选择性试题1.4两条直线的交点

1.4两条直线的交点一、单选题1．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故选：B.2．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题知：①当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.即.②当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.即.③当直线过直线与直线交点时，三条直线不能构成三角形.所以，解得，将代入，解得.所以实数的取值集合为.故选：D.3．若三条直线，和相交于一点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】联立，解得，即直线与直线交于点，将点的坐标代入直线的方程中，得，解得.故选：B.4．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．故选：D．5．设集合，，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题知集合表示直线，即上的点，但除去点（1，3），集合表示直线上的点，易知直线与直线不重合，所以当时，直线与直线相交且交点不是点（1，3），当时，两条直线相交且交点为（4，9），符合题意；当时，由且，得且且.综上，且.故选：C.6．经过直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点，且垂直于直线l1的方程为（）A．2x﹣y+13＝0 B．x+2y+13＝0 C．2x﹣y﹣13＝0 D．x+2y﹣13＝0【答案】B【解析】联立直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的方程，解得x＝﹣3，y＝﹣5，所以直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为（﹣3，﹣5），又直线l1的斜率为2，故所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即x+2y+13＝0．故选：B7．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直线恒过的定点，.当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.当时，直线的斜率为，则，解得或，综上，.故选：C8．直线l经过两条直线3x+4y﹣5＝0和3x﹣4y﹣13＝0的交点，且与直线x+2y+1＝0垂直，则l的方程是（）A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣7＝0C．2x+y+7＝0 D．2x﹣y+7＝0【答案】B【解析】联立方程，解得x＝3，y＝﹣1，故所求直线l过点（3，﹣1），由直线x+2y+1＝0的斜率为，可知l的斜率为2，由点斜式方程可得：y+1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣7＝0，故选：B二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B．点关于直线的对称点为C．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】ABD【解析】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设关于直线的对称点为，则满足，解得：，故点关于直线的对称点为，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为，故C错误；直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确故选：ABD10．已知△是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且，，BD与CE交于点O，则（）A． B．C． D．方向上的投影向量的模为【答案】BD【解析】如图，以B为坐标原点，所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，因为，故为的中点，所以，设，则，，因为，故，即，解得：，则设直线：，则代入，解得：，所以直线：，设直线：，把，代入，解得：，所以直线：，联立，解得：，故，A选项：，A选项错误；B选项：，故B选项正确；，，，所以，故，C选项错误；方向上的投影向量的模为，故方向上的投影向量的模为，D选项正确.故选：BD11．已知平面上三条直线，，不能构成三角形，则实数k的值可以为（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，①当直线经过直线与直线的交点时，，解得.②当直线与直线平行时，，解得；当直线与直线平行时，可得，综上：或或.故选:ABC.12．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则下列正确的是（

）A．重心的坐标为或B．垂心的坐标为或C．顶点C的坐标为或D．欧拉线将分成的两部分的面积之比为【答案】BCD【解析】AB的中点为，AB的中垂线方程为，即，联立，解得.∴的外心为，设，由重心坐标公式得，三角形的重心为，代入欧拉线方程得：，整理得：①又外心为，所以，整理得：②联立①②得：，或，，所以顶点的坐标是或.重心的坐标为或；由于或，所以垂心的坐标为或.因为直线与欧拉线平行，所以两部分的面积之比是或.故选：BCD三、填空题13．经过和的交点，且与垂直的直线方程为______.【答案】##+【解析】解法1：由得.又的斜率为，故所求直线的斜率为2，由点斜式得，即．解法2：设所求的直线方程为，即，由题意得，得，所以所求直线方程为．故答案为：.14．若直线经过直线和的交点，则___________.【答案】【解析】由题意，直线，，交于一点，所以，得，所以直线过点，得，求解得.故答案为：15．已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，则直线方程为___________.【答案】【解析】由，解可得，所以两直线的交点坐标为，则直线过点，因为直线与垂直，所以直线的斜率为，所以直线的方程为：，即，故答案为：.16．经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．【答案】【解析】由解得，故交点坐标为，由平行于直线可得斜率为1，故方程为，化为一般方程为.故答案为：.四、解答题17．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.【解析】设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得:a3(2a6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，∴直线l的方程为即x＋4y4＝0.18．求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程.【解析】解法一：由，解得直线的斜率为，直线的斜率为4.因此满足条件的直线l的方程为：，即.解法二：直线l垂直于直线.设直线l的方程为.与的交点为，，解得从而.所以直线l的方程为.解法三：因为直线l过与的交点，设直线l的方程为，即，与直线垂直，，解得.直线l的方程为.19．已知的一个顶点，且，的角平分线所在直线的方程依次是，，求的三边所在直线的方程.【解析】记的角平分线交于点，的角平分线交于点.由角平分线的性质，知点关于直线，的对称点，均在直线上.∵直线的方程为，，则，解得，∴.∵直线的方程为，∴同理求得，∴直线的方程是，即，这也是所在直线的方程.由，得，由，得，∴所在直线的方程是，所在直线的方程是.20．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值.【解析】由得：，即有一个交点，或；即或，解得：或.21．已知直线：与直线：的交点为，求经过点且满足下列条件的直线的方程：（方程结果用一般式表示）(1)与直线平行；(2)与直线垂直.【解析】(1)由，解得，所以交点为，直线的斜率为2，因为所求直线与直线平行，可得所求直线的斜率，所以所求直线方程为，即；(2)因为直线的斜率为，因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率，所以所求直线方程为，即.22．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2).（1）求点A和点B的坐标；（2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程.【解析】（1）因为点A在BC边上的高所在的直线x2y+1=0上，且在∠A的平分线所在的直线y=0上，所以解方程组得A(1，0).因为BC边上的高所在的直线方程为x2y+1=0，所以kBC=2，因为点C的坐标为(1，2)，所以直线BC的方程为2x+y4=0，