总体百分位数的估计教学案

9.2.2总体百分位数的估计

课标要求素养要求

在学习和应用百分位数的过程中，要把

结合实例，能用样本估计百分位数，理实际问题转化为数学问题，并进行计算，

解百分位数的统计含义.对数据进行分析，发展学生的数学建模、

数学运算素养和数据分析素养.

课前预习知识探究

教材知识探究

A情境引入

某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.

问题那么如何确定需要补考的分数线呢?

提示利用百分位数计算.

A新知梳理

L第夕百分位数的定义

第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推

广

一般地，一组数据的第"百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有邂

的数据小于或等于这个值，且至少有Q00-⑼%的数据大于或等于这个值.

2.计算一组〃个数据的第夕百分位数的步骤

第1步，按丛小到大排列原始数据.

第2步，计算/=nxp%.

第3步，若/不是整数,而大于/的比邻整数为j，则第p百分位数为第/项数据；

若/是整数，则第夕百分位数为第/.项与第(/+1)项数据的平均数.

3.四分位数

25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此

称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百

分位数也称为第三四分位数或上四分位数.

教材拓展补遗

［微判断］

1.若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.")

2.若一组样本数据的10%分位数是23则在这组数据中有10%的数据大于23.(x)

3.若一组样本数据的24%分位数是24,则在这组数据中至少有76%的数据大于

或等于24.(V)

提示2.若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据小

于或等于23.

［微训练］

L下列一组数据的第25百分位数是()

2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6

A.3.2B.3.0C,4.4D.2.5

解析把该组数据按照由小到大排列，可得：

2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,

由/=10x25%=2.5,不是整数，则第3个数据3.2,是第25百分位数.

答案A

2.下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是()

A.第50百分位数就是中位数

B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%

c.它一定是这组数据中的一个数据

D.它适用于总体是离散型的数据

解析由百分位数的意义可知选项B,C,D错误.

答案A

［微思考］

L班级人数为50的班主任老师说"90%的同学能够考取本科院校"，这里的

“90%”是百分位数吗？

提示不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比.

2."这次数学测试成绩的第70百分位数是85分"这句话是什么意思？

提示有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.

课堂互动”题型剖析I

题型一百分位数的计算

［例1］从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单

位：g)如下：

7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.

(1)分别求出这组数据的第25,50,95百分位数;

(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量;

(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品

和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.

解(1)将所有数据从小到大排列，得

7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,

因为共有12个数据,

所以12x25%=3,12x50%=6,12x95%=11.4,

8.0+8.3

则第25百分位数是一--=8.15,

8.5+8.5

第50百分位数是一2一=8.5,

第95百分位数是第12个数据为9.9.

(2)因为共有12个数据，所以12x15%=1.8，则第15百分位数是第2个数据为

7.9.

即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8,7.9.

⑶由⑴可知样本数据的第25百分位数是8.15g,第50百分位数为8.5g,第

95百分位数是9.9g，所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15

g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍

珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品.

规律方法计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：

(1)排列：按照从小到大排列原始数据；

(2)算/:计算/=nxp%；

(3)定数：若/不是整数,大于，的最小整数为/,则第夕百分位数为第/项数据；

若，是整数，则第夕百分位数为第，项与第(/+1)项数据的平均数.

【训练1］如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：。C)的情况

绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是()

A.-2B.OC.lD.2

解析由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：-3,-2,

-1,-1,0,0,1,2,2,2,

因为共有10个数据，所以10x80%=8,是整数，则这10天最低气温的第80

2+2

百分位数是一=2.

2

答案D

题型二百分位数的综合应用

【探究1］第夕百分位数有什么特点？

提示总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p%.

［探究2］某组数据的第夕百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？

提示不一定.因为按照计算第p百分位数的步骤,第2步计算所得的/=nxp%

如果是整数,则第夕百分位数为第，项与第(/+1)项数据的平均数,若第/项与第

(/+D项数据不相等,则第夕百分位数在此组数据中就不存在.

【探究3］某市为了鼓励居民节约用电，实行"阶梯式"电价，将该市每户居

民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时

收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过

400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.

(1)求某户居民用电费用M单位：元)关于月用电量M单位：千瓦时)的函数解析式;

(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用

电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1

月份用电费用低于260元的占80%,求a,。的值；

(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.

解(1)当0W胚200时，片0.5x;

当200<胚400时,

y-0.5x200+0.8x(%-200)=0.8%-60;

当^>400时，

y=0.5x200+0.8x200+1.0x(x-400)=x-140.

所以y与x之间的函数解析式为

0.5%,0<%<200,

y=<0.8%-60,200<%<400,

%-140,%>400.

(2)由(1)可知，当y=260时，%=400,即用电量低于400千瓦时的占80%,

结合频率分布直方图可知

O.OOlx100+2x1006+0.003x100=0.8,

<

100a+0.0005x100=0.2,

解得a=0.0015,6=0.0020.

⑶设75%分位数为m,

因为用电量低于300千瓦时的所占比例为

(0.001+0.002+0.003)x100=60%,

用电量低于400千瓦时的占80%,

所以75%分位数6在[300,400)内，

所以0.6+(m-300)x0.002=0.75,

解得6=375(千瓦时)，即用电量的75%分位数为375千瓦时.

规律方法由频率分布直方图求百分位数的方法

(D要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.

(2)一般采用方程的思想，设出第夕百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.

【训练2]某市为了了解人们对"中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年

龄和不同职业的人举办了一次"一带一路"知识竞赛，满分100分(90分及以上

为认知程度高),现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25),

第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45]),

得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.

⑴求X；

(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数);

(3)以下是参赛的10人的成绩:90,96,97,95,92,92,98,88,96,99,

求这10人成绩的20%分位数和平均数,以这两个数据为依据,评价参赛人员对

"一带一路"的认知程度，并谈谈你的感想.

解⑴第一组频率为0.01x5=0.05,

5

所以>=遍=100.

(2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%,年龄低于35岁的所占比例为

0.50-0.40

70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在［30,35)内，由30+5x

U./U-U.4U

95

=y«32,所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.

(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列:

88,90,92,92,95,96,96,97,98,99,

90+92

计算10x20%=2,所以这10人成绩的20%分位数为一y—=91，这10人成

绩的平均数为

1

—(88+90+92+92+95+96+96+97+98+99)=94.3.

评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高.

感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.

核心素养恻全面提升删

一、素养落地

L通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.

2.求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计

算/=nxp%;③若/不是整数，大于/的最小整数为/,则第p百分位数为第j

项数据；若/是整数，则第夕百分位数为第，项与第(/+1)项数据的平均数.

二、素养训练

1.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是()

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B寸巴这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数

解析因为100x75%=75为整数,所以第75个数据和第76个数据的平均数

为第75百分位数，是9.3,选C.

答案C

2.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是_____..

解析因为8x30%=2.4,故30%分位数是第三项数据8.4.

答案8.4

3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数

为.

解析样本数据低于10的比例为(0.08+0.02)x4=0.40，样本数据低于14的比

例为0.40+0.09x4=0.76,所以此样本数据的第50百分位数在口0,14)内，估

0.1100

计此样本数据的第50百分位数为10+—-x4=—

0.369

100

型室---

口木9

4.求下列数据的四分位数.

13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20,

解把12个数据按从小到大的顺序排列可得：

12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31,

计算12x25%=3,12x50%=6,12x75%=9,

15+18

所以数据的第25百分位数为16.5,

20+22

第50百分位数为^^=21,

27+28

第75百分位数为^^一=27.5.

课后作业iiraiiiiMllMIIIIIIIMIIIIIIIIMI巩固提高

基础达标

一、选择题

1.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是（）

A.14B.17C.19D.23

解析因为8x70%=5.6,故70%分位数是第六项数据23.

答案D

2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分）

78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,

则这15人成绩的第80百分位数是（）

A.90B.90.5C.91D.91.5

解析把成绩按从小到大的顺序排列为：

56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,

90+91

因为15x80%=12,所以这15人成绩的第80百分位数是一y—=905

答案B

3.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉

花纤维的长度是棉花质量的重要指标）,所得数据都在区间［5,40］中，其频率分

布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（）

A.29mmB.29.5mm

C.30mmD.30.5mm

解析棉花纤维的长度在30mm以下的比例为

(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)x5=0.85=85%,

在25mm以下的比例为85%-25%=60%,

因此，80%分位数一定位于［25,30）内,

0.80-0.60

由25+5x--------------=29,

0.85-0.60'

可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29mm.

答案A

4某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,

17,16,14,12,设该组数据的平均数为a,第50百分位数为b，则有（)

A.a=13.7,6=15.5B.a=14,6=15

C.a=12,5=15.5D.a=14.7,6=15

解析把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,

1

17,17,17，其平均数(3=^x(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)

=14.7,因为10x50%=5,所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位

15+15

数为b--=15.

答案D

5.已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）:

甲组：27,28,39,40,6,50;

乙组：24,",34,43,48,52;

m

若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则］等于（）

121047

A-7B-7

解析因为30%X6=1.8,80%x6=4.8,所以第30百分位数为/?=28,第80

m4812

百分位数为6=48,所以7=—=y.

答案A

二、填空题

6.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次

为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],贝U60分为成绩的第______百

分位数.

频率

lEsn

0.020---------------------I-------

0.015------------------------------------

0.01()--------------I-------

0.005——-1-------

°2()40608()10()成绩/分

解析因为分数位于[20,40),[40,60)的频率之和为(0.005+0.01)x20=0.3,

所以60分为成绩的第30百分位数.

答案30

7.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测

试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到

如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为

1：3:7:6:3,那么成绩的70%分位数约为秒.

频率

组距

°131415161718时间(秒)

1+3+71+3+7+6

解析成绩的70%分位数为x,因为；07三三=。55,1一一=

1+3+7+6+31+3+7+6+3

0.85,所以尤［16,17）,

6

所以0.55+（x-16）x=0.70,解得x=16.5（秒）.

1+3+7+6+3

答案16.5

8.已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个

数据是7.8,则第19个数据是_____.

7.8+%

解析由于30x60%=18,设第19个数据为x，则或一=8.2,解得%=8.6,

即第19个数据是8.6.

答案8.6

三、解答题

9.如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图,

求这7天的日最高气温的第10百分位数和日最低气温的第80百分位数.

温度（士）

—:

，

日

日

最

最

低

高

气

气

温

温

01234567日期（日）

解由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得

24,24.5,24.5,25,26,26,27,

因为共有7个数据，所以7x10%=0.7,不是整数，所以这7天日最高气温的第

10百分位数是第1个数据，为24℃.

把日最低气温按照从小到大排序，得

12,12,13,14,15,16,17,

因为共有7个数据,所以7x80%=5.6,不是整数,所以这7天日最低气温的第

80百分位数是第6个数据，为16℃.

10某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年n月11日的网购金

额，所得数据如下表：

网购金额（单位：千元）人数频率

(0,1]160.08

(1,2]240.12

(2,3]XP

(3,4]yq

(4,5]160.08

(5,6]140.07

2001.00

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3:2.

⑴试确定x,匕夕”的值，并补全频率分布直方图（如图）；

（2）估计网购金额的25%分位数（结果保留3位有效数字）.

16+24+%+y+16+14=200,

解⑴根据题意有：“6+24+x3

y+16+14=2，

x-80,

解得

〔片50.

所以夕=0.4,q=0.25.

补全频率分布直方图如图所示：

频率

(2)由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率为

0.08+0.12=0.2,

网购金额不高于3千元的频率为0.2+0.4=0.6,

所以网购金额的25%分位数在(2,3]内，

0.25-0.2

则网购金额的25%分位数为2+-=2.125*2.13(千元).

0.6-0.2

能力提升

n.数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,%,6.6的第65百分位数是4.5，则实

数x的取值范围是()

A.[4.5,+oo)B.[4.5,6.6)

C.(4.5,+oo)D.(4.5,6.6]

解析因为8x65%=5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则

%>4.5,故选A.

答案A

12.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分

层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7

组:[20,30),[30,40)，…，[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:

(D估计总体400名学生中分数小于70的人数；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内

的人数；

(3)根据该大学规定,把15%的学生划定为不及格,利用(2)中的数据，确定本次

测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.

解⑴根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+

0.04)x10=0.6,

所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.

所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为

400x0.4=160.

(2)根据题意，样本中分数不小于5