三年级奥数枚举法

枚举法（一）

溪励殒为

胖子的枚举法

几个人又坐回到自己的座位上，都是唉声叹气，我让他人省点力气，其实这样盲目的试验，反而会导

致思维的中断。接着事情又回到我睡觉前，我们又开始毫无意义的讨论起来。

讨论中总是有人睡过去，但是好在一个人睡觉，其他几个人都能继续思考。就这样，我们东一个想法,

西一个想法，提出来，然后否决掉，一开始说法还很多，后来几个人话就越来越少，时间不知不觉就过去

了六七个小时，我们的肚子又开始叫起来。

最后胖子点起一只烟，想了想，对我们说：“不行，咱们这么零散的想办法是很浪费时间的，我们把

所有的可能性全部都写出来，然后归纳成几条，之后直接把这条验证，不就行了。”

我点点头，其实说到最后很多的问题我们都在重复的讨论，几个人都进入到一种混乱状态了

胖子在金器铺满的地面上整理出一块石头面，然后写下来几个数字：1、2、3、4,然后说：“我们想

想我们现在有几种假设，你们都回忆一下，不要具体的，要大概的方向就行了。”

潘子就道：“最有可能就是有机关。”

胖子在1那个地方写了机关。然后顺子就说道：“你的想法，可能有东西在影响我们的感觉，比如说

心理暗示或者催眠，让我们自己不知不觉的走回来。”

胖子对他道：“不用说这么详细。“按着在2的后面写了错觉，然后看向我。

我道：“要说理论上，也有可能是空间折叠。”

“你这个不可能，太玄乎了。“潘子道。

胖子道：“不管，有万分之一地可能性，我们就承认，我们只是列一个备忘录而己。”说着也写了上去,

在3后面写了空间折叠。然后自己说：“也可能是有鬼。”说着写了个4,有鬼。

“你这样写出来有什么意义？“潘子不理解的问。

胖子道：“你们念的书多，不懂，我读书少，凡事都必须用笔写下来，但是这样有个好处，比如说有

几件事情，你可以一起做，你事先一理就能知道，可以节省不少时间。咱们不是只有两天了吗？还是得省

点，对了，还有5吗？谁还有5?”

我看了看这四点，这确实己经是包括量子力学到玄学到心理学到工程学四大学科都齐了，第五点一时

半会儿还真想不出来。我们刚才的讨论，其实也只是讨论一和二，三和四简直就是不可能的嘛。

节选自：云顶天宫（下）第三十二章

四

在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方

式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的

顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，

把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也

叫做列举法或穷举法。

冕湄窟

(1)做到不重补漏，把复杂的问题简单化。

(2)按照一定的规律，特点去枚举。

(3)从思想上认识到枚举的重要性。

模块一、分类枚举——数出来的种类

［例1］用1至8这八个自然数中的四个组成四位数，从个位到千位的数字依次增大，且任意两个数字

的差都不是1,这样的四位数共有个。

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆【题型】填空

【解析】1357,1358,1368,1468,2468共5个

【答案】5个

【巩固】三张数字卡片0,2,4可以组成个能被4整除的不同整数。

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆【题型】填空

【解析】240、204、420共3个

【答案】3个

［例2］从1、2、3、4、5、6这些数中，任取两个数，使其和不能被3整除，则有种取法。

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆【题型】填空

【解析】共有选1和3、1和4、1和6、2和3,2和5、2和6、3和4、3和5、4和6以及5和6共10

种选法。

【答案】1°种

【巩固】从1〜9这9个数码中取出3个，使它们的和是3的倍数，则不同取法有种。

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆题型】填空

【解析】(1)3个数都是3的倍数,有1种情况(2)3个数除以3都余1,有1种情况(3)3个数除以3

都余2,有1种情况（4）一个除以3余1,一个除以3余2,一个是3的倍数，有：3x3x3=27种情况所以，

一共有1+1+1+27=30种不同取法。

【答案】30种

【例3】小明的两个口袋中各有6张卡片，每张卡片上分别写着1,2,3......6。从这两个口袋中各

拿出一张卡片来计算上面所写两数的乘积，那么，其中能被6整除的不同乘积有个。

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆【题型】填空

【解析】乘积中最小1,最大为36,能被6整除的有6、12、18、24、30、36共6个。卡片上的6还可以

当9用，所以能被6整除的还有54.

【答案】7个

【巩固】老师带着佳佳、芳芳和明明做计算练习.老师先分别给他们一个数，然后让他们每人取3张写有数

的卡片.佳佳取的是3、6、7,芳芳取的是4、5、6,明明取的是4、5、8.这时老师让他们分别取

自己卡片上的两个数相乘，再加上开始老师给他们的数.如果老师开始时给他们的数依次是234、

235、236,而且他们计算都正确，那么可能算出_个不同的数.

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆☆【题型】填空

【解析】佳佳可以得到的乘积是18,21,42,芳芳可以得到的乘积是20,24,30,明明可以得到的乘积

是20,32,40,那么佳佳可以得到的数是252,255,276,芳芳可以得到的数是255,259,265,明明可

以得到的数是256,268,276所以一共可以得到7个不同的数。

【答案】7个

【例4】如果三位数相同时满足如下条件：⑴机的各位数字之和是7；⑵2机还是三位数，且各位数字之

和为5.那么这样的三位数m共有个.（简单分类枚举AB）分类标准的选取.

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆☆【题型】填空

【解析】三位数2"?可以是500,410,320,230,140,302,212,122,104：得到他可以是250,205,

160,115,70,157,106,61,52,两位数的均舍去，所以符合条件的共有6个.

【答案】6个

【巩固】把数1,2,3,4,5,6分为三组（不考虑组内数的顺序也不考虑组间的顺序），每组两个数，每

组的数之和互不相等且都不等于6,共有种分法.（简单分类枚举ABC）

分类标准？

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆☆【题型】填空

【解析】枚举法：（L2），（3,4）,（5,6）;（1,2）,（3,5）,（4,6）,

（1,3）,（2,5）,（4,6）;（1,3）,（2,6）,（4,5）

（1,4）,（2,5）,（3,6）；

（1,6）,（2,3）,（4,5）共有6种。

【答案】6种

模块二、分类枚举——分类

［例5］甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少

种不同的订法？

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】甲厂可以订99、100、101份报纸三种方法.

如果甲厂订99份，乙厂有订100份和101份两种方法，丙厂随之而定.

如果甲厂订100份，乙厂有订99份、100份和101份三种方法，丙厂随之而定.

如果甲厂订101份，乙厂有订99份和100份两种方法，丙厂随之而定.

根据加法原理，一共有2+3+2=7种订报方法.

【答案】7

【巩固】大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】大林和小林共有9本的话，有10种可能；共有8本的话，有9种可能，...，共有0本的话，

有1种可能，所以根据加法原理，一共有10+9+.......+3+2+1=55种可能.

【答案】55

【例6】从1〜10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？（简单分类枚举ABC）

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】根据第一个数的大小，将和大于10的取法分为9类：

第一个数第二个数有几种

选择合适的分类方式是运

第1类1101

用加法原理的关蜓.好的分

第2类210^92

类方式往往达到事半功倍

第3类310、9、83

的效果

第4类410s9、8、74

注意：本题中“7+3”与

第5类510s9、8、7、65\：8+7”只能算一种取法.

第6类61。、9、8、74

第7类710s9、83

第8类810^92

第9类9101

因此，根据加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10.

【答案】25

【巩固】从1〜8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】两个数和为11的一共有3种取法；

两个数和为12的一共有2种取法；

两个数和为13的一共有2种取法;

两个数和为14的一共有1种取法；

两个数和为15的一共有1种取法；

一共有3+2+2+1+1=9种取法.

【答案】9

［例7］四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张.问:

一共有多少种不同的方法？

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆☆【题型】解答

【解析】设四个学生分别是A,B,C,D,他们做的贺年片分别是a,b,c,d.

先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法.

ABCD

badc

bada

bdac

同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法.

一共有3+3+3=9（种）不同的方法.

【答案】9

【巩固】一次，齐王与大将田忌赛马.每人有四匹马，分为四等.田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依

次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自

己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等.田

忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛.

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆☆【题型】解答

【解析】第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛，

若三场全胜，则只有一种出场方法：

若胜两场，则又分为三种情况：

二，三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有这一种

情况；

二，四两场胜，此时有三种情况；

三，四两场胜，此时有七种情况；

所以一共有1+1+3+7=12种方法.

【答案】12

【例8］把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种.

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】把一元钱换成角币，有三类分法：①第一类：有五角币2张，只有1种换法:

②第二类：有五角币1张，则此时二角币可以有0,1,2张，相应的，一角币有5,3,1张，有3种换法；

③第三类：有五角币。张，则此时二角币可以有0,1,2,3,4,5张，相应的，一角币有10,8,6,4,

2,0张，有6种换法.

所以，根据加法原理，总共的换法有1+3+6=10种.

【答案】10

【巩固】一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆☆【题型】解答

【解析】按5分硬币的个数对硬币情况进行分类：

如果5分硬币有奇数个，那么无论2分硬币有多少个都不能凑成100分.如表当5分硬币的个数为0〜20

的偶数时，都有对应个数的2分硬币.所以一共有11种不同的情况.

类别1234567891011

5分02468101214161820

2分50454035302520151050

【答案】11

［例9］用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法？

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆☆【题型】解答

【解析】如果买0张8元饭票，还剩100元，可以购买4元饭票的张数为0〜25张，其余的钱全部购买2

元饭票，共有26种买法；

如果买1张8元饭票，还剩92元，可购4元饭票0〜23张，其余的钱全部购买2元饭票，共有24种不同

方法；

如果买2张8元饭票，还剩84元，可购4元饭票0〜21张，其余的钱全部购买2元饭票，共有22种不同

方法；

如果买12张8元饭票，还剩4元饭票，可购4元饭票。〜1张，其余的钱全部购买2元饭票，共有2种方

法.

总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2,项数是13的等差数列.利用分类计数原理及等差

数列求和公式求出所有方法：

26+24+22+…+2=(26+2)x13+2=182(种).共有182种不同的买法.

【答案】182

【巩固】一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角.小明要在该店花5元5角购买

两种文具，他有多少种不同的选择.

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】一共三种文具，要买两种文具.那么就可以分三类了.

第一类：橡皮和圆珠笔5元5角=55角=11块橡皮（要买两种，所以这个不考虑）

=9块橡皮+1只圆珠笔

=7块橡皮+2只圆珠笔

=5块橡皮+3只圆珠笔

=3块橡皮+4只圆珠笔

=1块橡皮+5只圆珠笔第一类共5种

第二类：橡皮和纲笔55角=11块橡皮（不做考虑）

=6块橡皮+1只钢笔

=1块橡皮+2只钢笔第二类共2种

第三类：圆珠笔和钢笔55角=11块橡皮（不做考虑）

=1只钢笔+3只圆珠笔第三类共1种

【答案】8

【例10］用1元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，2元、20元人民币各两张，在不找钱的情

况下，最多可以支付种不同的款额。

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆☆【题型】填空

【解析】1、2、2、5可以组成1到10的所有数，10、20、20、50可以组成10到100的所有数，再加上

100,故可以组成1到210的所有数。

【答案】210种

【巩固】给定三种重量的祛码（每种数量都有足够多个）3kg,llkg,11kg,将它们组合凑成100必有

种，不同的方法（每种祛码至少用一块。）

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆☆【题型】填空

【关键词】2008年，第6届，走美杯，5年级，决赛，第1题

【解析】100=3x24+11x1+17x1（100=3x13+11x4+17x1（

3x2+11x7+17x1=100，3x7+11x1+17x4=100，

3x11+11x3+17x2=100,3x9+11x2+17x3=100,一共有6种。

【答案】6种

爵菖微蒯

【随练1】如下图，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之

和为9。问有多少种不同的取法？

1234

5678

图9—1

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆【题型】解答

【解析】三数之和是9,不考虑顺序。14-2+6=9,1+3+5=9,2+3+4=9,一共有3种。

【答案】3种

【随练2】用40元钱购买单价分别为2元、5元和11元的三种练习本，每种至少买1本，而且钱刚好花完,

则不同的购买方法种。

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆☆【题型】填空

【解析】每种先都减去1本，剩余40-2-5-11=22元。

如果再买2本11元的，恰好用完，1种方法；

如果再买1本11元的，剩余11元，可以买1本5元和3本2元，1种方法；

如果不再买11元的，22元最多买4本5元的，5元的本数可以是4,2,0,3种方法。

共有1+1+3=5种方法。

【答案】5种

【随练3】abed代表一个四位数，其中a,b,c,d均为1,2,3,4中的某个数字，但彼此不同，例如2134。

请写出所有满足关系a<b,b>c,c<d的四位数abed来。

【考点】分类枚举【难度】☆☆☆【题型】解答

【解析】若a最小:1324,1423;若c最小：2314,2413,3412.所以，有5个：1324,1423,2314,2413,

3412o

【答案】1324,1423,2314,2413,3412。

用枚举法解题的最大的缺点是运算量比较大，解题效率不高，如果枚举范围太大，在时间上就

难以承受。但枚举算法的思路简单，比赛时也容易想到，在竞赛中，时间是有限的，我们竞赛的最

终目标就是求出问题解，因此，如果题目的规模不是很大，在规定的时间与空间限制内能够求出解，

那么我们最好是采用枚举法，而不需太在意是否还有更快的算法，这样可以使你有更多的时间去解

答其他难题。

选择分类标准是枚举法的难点，好的分类标准可以简化枚举，并不重不漏。

【作业1】从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于11,共有多少种不

同的取法？

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆【题型】解答

【解析】两数之和大于11,不考虑顺序。

8+7,8+6,8+5,8+4,

7+6,7+5,

【答案】6种

【作业2】节目期间，小明将6个彩灯排成一列，其中有2个红灯，4个绿灯，如果两个红灯不相邻，则不

同的排法有种（其中“红绿红绿绿绿''与"绿绿绿红绿红”类型算作一种）。

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆【题型】填空

【解析】红灯看作“1”,绿灯看作“0”则有：000101、001001.001010、01000k010010.100001这六种

【答案】6

【作业3】将左下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，两

张牌上的数的乘积除以1°的余数是1?（将A看成1）（特简单分类枚举A分类标准）

【考点】加乘原理之综合运用【难度】☆☆【题型】填空

【解析】本题实际上是求1到10这些数中，取出2个数（可以重复）相乘，能组成几个个位是1的数.显

然，双数不成.所以只能是1x1,3x7,7x3和9x9,共4对.

【答案】4对

【作业4】用若干个1分、2分、5分的硬币组成一角钱（不要求每种硬币都有），共有（）种不同的方法.

【考点】加法原理之分类枚举【难度】☆☆【题型】填空

【解析】此题采用枚举法，具体如下:

方法1分(杖)2分(枚)5分(枚)总数

一101角

二51角

三21角

四2