人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：4. 2 .1 指数函数的概念

§4.2指数函数

4.2.1指数函数的概念

【学习目标】1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性2了解指数增长型和指

数衰减型在实际问题中的应用.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一指数函数的定义

一般地，函数丫=炉（。>0,且。力1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

思考为什么底数应满足。>0且aWl?

『答案』①当。W0时，炉可能无意义；②当时，x可以取任何实数；③当。=1时，

0V=l（xGR）,无研究价值.因此规定中且aWl.

知识点二两类指数模型

1.y=faf（A>0,a>0且aWl）,当°>1时为指数增长型函数模型.

2.y=faz”>0,a>0且°#1）,当0<°<1时为指数衰减型函数模型.

-思考辨析判断正误

1.y=x%x>0）是指数函数.（X）

2.y=a'+2（a>。且qWi）是指数函数.（x）

3.y=g）是指数衰减型函数模型.（J）

4.若危）=炉为指数函数，则。>1.（X）

题型探究探究重点提升素养

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一、指数函数的概念

例1（1）给出下列函数：①y=2-3七②y=3/i；③y=3*；©y=x*123；⑤y=（—2》.其中，指数

函数的个数是（）

A.OB.IC.2D.4

『答案』B

『解析』①中，3,的系数是2,故①不是指数函数；②中，y=3"i的指数是x+1,不是

自变量x,故②不是指数函数；③中，3,的系数是1,嘉的指数是自变量x,且只有V一项，

故③是指数函数；④中，的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底

数一2<0,不是指数函数.

⑵若函数y=(2〃一I)%。是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(

A.(0,1)U(l,+8)B.F0,l)U(l,+8)

eg,+8)D.1，+8)

『答案』c

『解析』依题意得2a—1>0,且2a—1W1,

解得a>3，且“W1.

反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法

(1)底数的值是否符合要求.

(2)炉前的系数是否为1.

(3)指数是否符合要求.

跟踪训练1(1)下列是指数函数的是()

A.y=—3*B.y=2，T

C.D.y=TC

『答案』D

『解析』根据指数函数的特征知，A,B,C不满足.

(2)若函数>=(“2—3a+3)•炉是指数函数，则a的值为

『答案』2

〃一3a+3=1,①

『解析』由指数函数的定义知

。＞0且②

由①得。=1或2,结合②得a=2.

二、求指数函数的『解析』式或函数值

例2⑴若函数段)=&—3,是指数函数，则段)的值为()

A.2B.-2C.—2吸D.2^2

『答案』D

『解析』因为函数八x)是指数函数，所以%—3=1,

所以4=8,

所以段)=8工，/(1)=82=2^/2.

(2)已知函数>=式尤)，xGR,且刖)=3,饕制，韶制，…，"GN*,求函数y

八uj乙乙八〃U乙

=/(x)的一个『解析』式.

解当X增加1时函数值都以3的衰减率衰减，

二函数八X)为指数衰减型，

令犬(左W0),

又八0)=3,:.k=3,

反思感悟(1)求指数函数的『解析』式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的『解析』

式，然后利用已知条件，求出『解析』式中的参数，从而得到函数的『解析』式，其中掌

握指数函数的概念是解决这类问题的关键.

(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的『解析』式.

跟踪训练2指数函数>=於)的图象经过点(一2,那么八4成2)等于()

A.8B.16C.32D.64

『答案』D

『解析』由指数函数y=/3)=</(a>0,且d)的图象经过点(一2,£),可得小解

得a=2,函数的『解析』式为y=2，,/4)/(2)=24-22=64.

三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用

例3某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，

使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.

(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y=Ax)的表达式，并求此函数的定

义域；

(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.

解(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200+200X5%=200(l+

5%).

经过2年后木材蓄积量为：200(l+5%)+200(l+5%)X5%=200X(l+5%)2.

经过尤年后木材蓄积量为200(1+5%广

•,♦y=Ax)=200(l+5%)，.函数的定义域为XGN*.

⑵作函数>=加)=200(1+5%)”(xN0)图象见下图.

・・・

X0123

.・・

y200210220.5231.5

作直线y=300与函数>=200（1+5%尸的图象交于A点，则4（如300）,A点的横坐标尤o的

值就是函数值y=300时（木材蓄积量为300万立方米时）所经过的时间x年的值.

V8<X0<9,则取x=9（计划留有余地，取过剩近似值），即经过9年后，林区的木材蓄积量能

达到300万立方米.

反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施

⑴解决这类问题的关键是理解增长（衰减）率的意义：增长（衰减）率是所研究的对象在“单位时

间”内比它在“前单位时间”内的增长（衰减）率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较.

（2）分析具体问题时，应严格计算并写出前3〜4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规

律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可.

（3）在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型

表示，通常可以表示为y=N（l+p）x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式.

跟踪训练3春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是

前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶

己生长了天.

『答案』19

『解析』假设第一天荷叶覆盖水面面积为1,则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数

关系为>=2厂1,当x=20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半.

基础巩固学以致用

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1.下列各函数中，是指数函数的是（）

A.y=(—4)%B.y=~4x

C.y=3*rD.

『答案』D

『解析』A中函数的底数不满足大于零且不等于1,故不是指数函数；B中函数式中赛值

的系数不是1,故不是指数函数；C中的指数是x—1,不是指数函数.

2.若函数>=（加2—加—1）."是指数函数，则相等于（）

A.—1或2B.-1

C.2

『答案』C

m2—m—1=1,

『解析』依题意，有

徵>0且机Wl,

解得机=2(舍m=—1).

3.碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为()

A-573O

口14573。