2024年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团中考三模考试数学试题【含答案】

第1页（共1页）2024年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团中考三模考试数学试题一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为（）A．13.6×108 B．1.36×108 C．1.36×109 D．13.6×1093．（3分）下面几何体中，主视图是矩形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a4＝a12 B．（a3）4＝a12 C．（﹣2a4）3＝﹣6a12 D．a3÷a3＝a5．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（）A．26° B．70° C．104° D．128°6．（3分）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）7．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，78．（3分）唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，根据题意可列方程为（）A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C．4x+6y＝50 D．50+6y＝4x9．（3分）一次函数y＝﹣3x﹣2的图象大致是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，烷烃中甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，按照此规律．设碳原子（C）的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（）A．∁nH2n+2 B．∁nH2n C．∁nH2n﹣2 D．∁nHn+3二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是．12．（3分）甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，方差分别是：S甲2＝2，S乙2＝4，则射击成绩较稳定的是（选填“甲”或“乙”）．13．（3分）分解因式：m2﹣16＝．14．（3分）如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝105°，则∠2的度数为．15．（3分）已知扇形的圆心角度数为120°，半径是2，则该扇形的面积为．16．（3分）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．小雅说：“红色球在我手上”；小培说：“红色球不在我手上”；小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．三个同学只有一个说对了，则红色球在的手上．三.解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连接AE．（1）由作图可知：直线MN是线段AB的；（2）AEBE（填“＞、＜、＝”）；（3）当AC＝3，AB＝5时，求△ACE的周长．20．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了名学生；②扇形统计图中圆心角α＝度；（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．21．（8分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°．（参考数据：≈1.7）（1）求证：AB＝DB；（2）若学生的身高忽略不计，求该塔CD的高度？（结果精确到1m）22．（9分）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份A4纸的用纸量为1000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张．（1）求单位A4纸的用纸量月平均降低率；（2）根据（1）的结果，估算5月份单位A4纸的用纸量．23．（9分）如图，菱形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E使得DE＝OD，连接EO并延长交CB的延长线于点F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BF＝5，OA＝12，求线段AE的长和菱形ABCD的面积．24．（10分）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为；（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．25．（10分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB＝10，CD＝6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．（1）如图1，当DP＝4时，求tan∠P的值；（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，．①求证：∠ACQ＝∠CPA；②求y与x之间的函数关系式．参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．2．（3分）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为（）A．13.6×108 B．1.36×108 C．1.36×109 D．13.6×109【解答】解：∵13.6亿＝1360000000，∴13.6亿用科学记数法表示为1.36×109．故选：C．3．（3分）下面几何体中，主视图是矩形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．圆锥体的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；B．球的主视图是圆，因此选项B不符合题意；C．圆台的主视图是等腰梯形，因此选项C不符合题意；D．圆柱的主视图是矩形，因此选项D符合题意．故选：D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a4＝a12 B．（a3）4＝a12 C．（﹣2a4）3＝﹣6a12 D．a3÷a3＝a【解答】解：a3•a4＝a7，故选项A不合题意；（a3）4＝a12，正确，故选项B符合题意；（﹣2a4）3＝﹣8a12，故选项C不合题意；a3÷a3＝1，故选项D不合题意．故选：B．5．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（）A．26° B．70° C．104° D．128°【解答】解：∵∠BAC＝∠BOC，∠BAC＝52°，∴∠BOC＝2×52°＝104°．故选：C．6．（3分）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）【解答】解：点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为（2，﹣3）．故选：D．7．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，7【解答】解：A.1+2＝3，不能构成三角形，不合题意；B.1+1＝2，不能构成三角形，不合题意；C..1+2＞2，能构成三角形，符合题意；D.1+5＜7，不能构成三角形，不合题意．故选：C．8．（3分）唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，根据题意可列方程为（）A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C．4x+6y＝50 D．50+6y＝4x【解答】解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间，根据题意可列方程为：4x+6y＝50，故选：C．9．（3分）一次函数y＝﹣3x﹣2的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵k＝﹣3＜0，b＝﹣2＜0，∴一次函数的图象过第二，三，四象限，故选：B．10．（3分）如图，烷烃中甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，按照此规律．设碳原子（C）的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（）A．∁nH2n+2 B．∁nH2n C．∁nH2n﹣2 D．∁nHn+3【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，观察，发现规律：a1＝4＝2×1+2，a2＝6＝2×2+2，a3＝8＝2×3+2，…，∴an＝2n+2．∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁nH2n+2．故选：A．二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是x≥5．【解答】解：∵式子有意义，∴x﹣5≥0，∴x≥5．故答案为：x≥5．12．（3分）甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，方差分别是：S甲2＝2，S乙2＝4，则射击成绩较稳定的是甲（选填“甲”或“乙”）．【解答】解：因为甲的方差最小，所以射击成绩较稳定的是甲；故答案为：甲13．（3分）分解因式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4）．【解答】解：原式＝（m+4）（m﹣4），故答案为：（m+4）（m﹣4）14．（3分）如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝105°，则∠2的度数为75°．【解答】解：∵CD∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∵∠3＝∠1＝105°，∴∠2＝75°．故答案为：75°．15．（3分）已知扇形的圆心角度数为120°，半径是2，则该扇形的面积为．【解答】解：扇形的面积为，故答案为：．16．（3分）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．小雅说：“红色球在我手上”；小培说：“红色球不在我手上”；小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．三个同学只有一个说对了，则红色球在小培的手上．【解答】解：假设小雅说的是真话，则红桃A在小雅手上，所以小培说的是真话，不合题意，假设小培说的是真话，小雅说的是假话，则小粹说的是真话，不合题意，假设小粹说的是真话，则小雅说的是假话，则小培说的就是假话了，符合题意，所以红桃A在小培手上．故答案为：小培．三.解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．（6分）计算：．【解答】解：＝＝＝﹣3．18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．【解答】解：（a﹣b）2﹣（b2﹣3ab）＝a2﹣2ab+b2﹣b2+3ab＝a2+ab，当a＝﹣1，b＝2时，原式＝（﹣1）2+（﹣1）×2＝1﹣2＝﹣1．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连接AE．（1）由作图可知：直线MN是线段AB的垂直平分线；（2）AE＝BE（填“＞、＜、＝”）；（3）当AC＝3，AB＝5时，求△ACE的周长．【解答】解：（1）由作图可知：直线MN是线段AB的垂直平分线；故答案为垂直平分线（2）∵MN垂直平分AB，∴AE＝BE；故答案为＝；（3）解：由（2）可知：△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∴△ACE的周长＝AC+BC＝3+4＝7．20．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了400名学生；②扇形统计图中圆心角α＝54度；（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．【解答】（1）①调查人数：＝400（名），故答案为：400；②A组的人数：400×15%＝60（名），C组的人数：400﹣100﹣140﹣40﹣60＝60（名），扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，故答案为：54，（2），答：参加D组（阅读）的学生人数为980人；（3）树状图如下：∵共有12中等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的有两种，∴P（恰好抽中甲、乙两人）＝．21．（8分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°．（参考数据：≈1.7）（1）求证：AB＝DB；（2）若学生的身高忽略不计，求该塔CD的高度？（结果精确到1m）【解答】（1）证明：由题意可知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，CD⊥AC，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A＝30°，∴AB＝DB；（2）解：由题意可知，AB＝104m，由（1）可知，AB＝DB＝104m，在Rt△BCD中，sin∠DBC＝＝sin60°＝，∴CD＝BD＝×104＝52≈88（m），即该塔CD的高度约为88m．22．（9分）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份A4纸的用纸量为1000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张．（1）求单位A4纸的用纸量月平均降低率；（2）根据（1）的结果，估算5月份单位A4纸的用纸量．【解答】解：（1）设该单位A4纸的用纸量月平均降低率为x，根据题意得：1000（1﹣x）2＝640，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）．答：该单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%；（2）根据题意得：640×（1﹣20%）＝512（张）．答：预计5月份该单位A4纸的用纸量为512张．23．（9分）如图，菱形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E使得DE＝OD，连接EO并延长交CB的延长线于点F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BF＝5，OA＝12，求线段AE的长和菱形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠E＝∠F，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（AAS）；（2）解：由（1）得△DOE≌△BOF，∴BF＝DE＝5，∴DE＝OD＝5．∵四边形ABCD是菱形，OA＝12，∴AC⊥BD，BD＝2OD＝10，AC＝2OA＝24．∴∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，由勾股定理得AD＝＝13，∴AE＝AD+DE＝13+5＝18．S菱形ABCD＝AC•BD＝×24×10＝120．综上所述，线段AE的长为18，菱形ABCD的面积为120．24．（10分）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1）；（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP＝3