初中数学试题：初中数学原创题 1

初中数学原创题

一、选择题

10.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律。根据此规律，图形中M与m、

的关系是()

A.M=mnB.M=n(m+I)C.M=mn+ID.M=m(n+1)

考点分析：规律型：数字的变化类

思路意图：通过前面3个图形找到规律

解答过程：D

二、填空题

16.如图，在AABC中，以AB为直径的。。交AC于点M,弦MNIIBC交AB于点E,

且ME=1,AM=2,AE=M，BN=

考点分析：勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形

思路意图：本题综合考查了勾股定理的逆定理，弧长的计算,

解直角三角形等

解答过程：如图，连接ON.

在RtAAEM中，sinA=-^'=—,

AM2

ZA=30".

AB±MN,

BN=BM，EN=EM=1,

ZBON=2ZA=60°.

在RtAOEN中，sinZEON=理，

ON

ON=EN匹

sinZEON3_

官的长度是：n?&2日

18039

三、解答题

22.(8分)阅读材料:1+2+22+23+24+...+22013

解：设S=l+2+22+23+24+...+22°i2+22°i3,将等式两边同时乘以2得:

2S=2+22+23+24+25+.+22013+22014

将下式减去上式得2S-S=22014-1

即S=22014-1

即1+2+22+23+24+...+22013=22014-1

请你仿照此法计算：

(1)1+2+22+23+24+...+210

(2)1+3+32+33+34+...+311(其中n为正整数)

考点分析：同底数暴的乘法

思路意图：考查同底数暴的乘法，弄清题中的技巧是解本A

题的关键/

解答过程：解：(1)设S=l+2+22+23+24+...+2?M—\/N

将等式两边同时乘以2得A/F

2S=2+22+23+24+...+2I0+211,/

将下式减去上式得：2S-S=2”-1,即S=2"BC.D

-1,

则1+2+22+23+24+...+2|0=2"-1；

(2)设S=l+3+32+33+34+...+3，

两边乘以3得：3S=3+32+33+34+...+3n+3n+l,

下式减去上式得：3S-5=3田-1,即S=-(3n+l-I),

2

贝I」l+3+32+33+34+...+3n=-(3n+1-I).

2

23.(10分)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNIIBC.设MN

交NACB的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE=12,CF=5,求OC的长；

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时•，四边形AECF是矩形？并说明理由.

考点分析：矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中

线

思路意图：此题主要考查矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据

已知得出NECF=90。是解题关键

解答过程：

(1)证明：・•,MN交NACB的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F,

Z2=Z5,4=Z6,

,/MNIIBC,

zl=z5,3=z6,

Z1=Z2,Z3=Z4,

/.EO=CO,FO=CO,

OE=OF；

（2）解：；N2=N5,N4=N6,

Z2+Z4=Z5+Z6=90°,

CE-12,CF=5,

EF=V122+52=I3,

OC=EF=6.5；

（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.

证明：当。为AC的中点时，AO=CO,

EO=FO,

四边形AECF是平行四边形，

ZECF=90°,

.­•平行四边形AECF是矩形.

24.（14分）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax?+bx（axO）

（1）对于这样的抛物线：

当顶点坐标为（1,1）时，a=；

当顶点坐标为（m,m）,mwO时，a与m之间的关系式是

（2）继续探究，如果bM,且过原点的抛物线顶点在直线丫=1«（k*0）上，请用含k的代

数式表示b；

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点Ai，A2,…，An在直线y=x上，横坐标依次为1,2,

n（为正整数，且展12）,分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为Bi,B2,…，Bn,以线

段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的

正方形边长.

考点分析：二次函数综合题

思路意图：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二

次函数的顶点坐标公式以及正方形的性质.解答（3）题时，要注意n的取值范

围

解答过程：解：（1）•.・顶点坐标为（1,1）,

/1

解得,｛蓼,

即当顶点坐标为（1,1）时，a=l；

.b_

当顶点坐标为（m,m）,mxO时，，

-b2

4a7

fA-__-1-

解得，ID

b=2

则a与m之间的关系式是：a=-1或am+l=O.

IT

故答案是：-1；a=-3或am+l=O.

IT

(2)a*0,

2

/.y=ax2+bx=a(x+—)2-—,

2a4a

・•・顶点坐标是(-至，-也2).

2a4a

又二.该顶点在直线y=kx(kxO)上，

k(-A)=--

2a4a

,/b#0,

/.b=2k；

(3),顶点Ai，A2，…，An在直线y=x上,

・・・可设An(n,n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t).

由(1)(2)可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=-&2+2x.

t

四边形AnBnCnDn是正方形,

..•点Dn的坐标是(2n,n),

(2n)2+2«2n=n,

t

4n=3t.

；t、n是正整数，且t412,n<12,

n=3,6或9.

.・・满足条件的正方形边长是3,6或9.

数学命题双向细目表

初中数学原创题命题比赛双向细目表（样张）

数学思想方法、数考试要求难度

题序知识点学活动经验、数学题型分值估计试题来源

abc

能力、

规律型：数字的变化类

数字的变化b

10选择30.82013山东日照

逻辑推理能力

勾股定理的逆定理；

弧长的计算；函数思想b

数形结合思想

16解直角三角形c填空40.582013•福州

数学建模能力

数学运算能力

同底数幕的乘法c

数据处理能力

22解答80.78

数值计算能力c

矩形的判定；c

数形结合思想

平行线的性质；c

等腰三角形的判定与性质；分类讨论思想