初中数学组卷

2017年01月10日1511022的初中数学组卷

选择题（共17小题）

1.如图，在AABC中，AB=AC,O是线段AB的中点，线段OC与以AB为直径的0O交

于点D,射线BD交AC于点E,ZBAC=90°,那么下列等式成立的是（）

A.BD=2BCB.AD=ODC.AD=CDD.AE=CD

3

2.如图，P为。O内的一个定点，A为。O上的一个动点，射线AP、AO分别与。。交于

B、C两点.若。。的半径长为3,OP=近，则弦BC的最大值为（）

A.2MB.3C.VsD.3A/2

3.如图，的半径ODL弦AB于点C,连结AO并延长交。O于点E,连结EC.若AB=8,

D.嗜

4.如图所示，点P在圆O上，将圆心角NAOC绕点O按逆时针旋转到NBOD,旋转角为

a(0°<a<180°).若NAOC=0(0°<P<180°),则NP的度数为(用a和0表示)()

D

C

A.a-BB.a+Bc.3-aD.a+3

22

5.如图，点A是量角器直径的一个端点，点B在半圆周上，点P在右上，点Q在AB上,

且PB=PQ.若点P对应140。（40。），则/PQB的度数为（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

6.如图，AB是半圆直径，半径OCLAB于点O,AD平分NCAB交弧BC于点D,连接

CD、OD,给出以下四个结论：①AC〃OD；②CD=DE；（3）AODE^AADO；

（4）2CD2=CE»AB.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.A是半径为5的。O内的一点，且OA=3,则过点A且长小于10的整数弦的条数是（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

8.如图，四边形ABCD为矩形，4ACE为AC为底的等腰直角三角形，连接BE交AD、

AC分别于F、N,CM平分NACB交BN于M,下列结论：（1）BE_LED；（2）AB=AF；（3）

EM=EA；（4）AM平分/BAC

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，PA、PB是。O的两条切线，A、B为切点，直线OP交。O于C、D,交AB于E,

AF为。O的直径，有下列结论：

①NABP=/AOP；@BC=DF；③AC平分/PAB；（4）2BE2=PE»BF,

其中结论正确的有（）

D

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点（异于A,B）,过点

P作半圆。的切线分别交过A,B两点的切线于D,C,AC、BD相交于N点，连接ON、

NP.下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP・PC为定值；④PA为/NPD

的平分线.其中一定成立的是（）

C.①③④D.②③④

11.正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O,Q为CD上任意一点，AQ交BD于M,

过M作MN_LAM交BC于N,连AN、QN.下列结论：

①MA=MN；②NAQD=/AQN；®SAAQN=-15五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB

为半径的圆的切线.

其中正确的结论有（）

AD

3;

O

B

A.①②③④B.只有①③④C.只有②③④D.只有①②

12.已知，RtZXABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,则AABC的外接圆半径和AABC

的外心与内心之间的距离分别为（）

和旄殳口逅

A.5B.FC.D.”和工

2222

13.如图，BC是。A的内接正十边形的一边，BD平分/ABC交AC于点D,则下列结论

正确的有（）

①BC=BD=AD；②BC2=DC・AC；③AB=2AD；④BC=^1]AC.

一一，2

14.如图，I为aABC的内心，AABC的外接圆0,。在BC上，AD、BE、CF都经过I

点分别交。。于点D、E、F,EF交AB于点G,交AC于点H,IMLBC于M.则下列结

论：①EF_LAD；②AB+AC-BC=&AI；

③AD=&（IM+1_BC）；@SABIC：SAEH的值随A点位置变化而变化.其中正确的是（）

A.①②④B.①②C.①②③D.③④

15.如图，半圆的直径AB=10cm,弦AC=6cm,把AC沿直线AD对折恰好与AB重合,

则AD的长为（）

A.4'v®mB.C.S^/jcmD.8cm

16.某地有四个村庄E,F,G,H（其位置如图所示），现拟建一个电视信号中转站，信号

覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域.为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，

且使中转站所需发射功率最小（圆形区域半径越小，所需功率越小），此中转站应建在（）

4”独

E

A.线段HF的中点处B.AGHE的外心处

C.AHEF的外心处D.ZXGEF的外心处

17.如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点E,交AD

边于点F,则匹（）

-------

B.上C.LD.W

348

二.填空题(共13小题)

18.如图，以点P(2,0)为圆心，为半径作圆，点M(a,b)是。P上的一点，则反的

19.如图1〜4,在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一

个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为

20.如图，在平面直角坐标系中，。。的半径为2,AC、BD是。O的两条相互垂直的弦,

垂足为M(1,、历)，则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差为.

21.如图，AB是。O的直径，弦BC=4cm,F是弦BC的中点，ZABC=60°.若动点E以

2cm/s的速度从A点出发沿着A玲B-A的方向运动，设运动时间为t(s)(0Wt<6),连接

EF,当4BEF是直角三角形时，t的值为.

22.如图，P为圆外一点，PA切圆于A,PA=8,直线PCB交圆于C、B,且PC=4,连接

AB、AC,NABC=a,ZACB=p,则显吧_=___.

sinP

23.如图，合是以边长为6的等边AABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为会上一动

点，当BP经过弦AD的中点E时，四边形ACBE的周长为—.（结果用根号表示）

24.如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD

上任意一点，若AC=5,则四边形ACBP周长的最大值是.

C

25.如图，一个半径为r的。0与矩形ABCD的两边AB、BC都相切，BC=4.若将矩形的

边AD沿AE对折后和OO相切于点D，，折痕AE的长为5,则半径r的值为.

26.如图，AB为。O的直径，PQ与0O相切于T,过A点作AC_LPQ于C点，交0O于

点D.若AD=2,TC=J3则。O的半径为.

27.在正方形ABCD中，E为AD中点，AF_LBE交BE于G,交CD于F,连CG延长交

AD于H.下列结论:

①CG=CB；②胆=L；③理_=L；④以AB为直径的圆与CH相切于点G,其中正确的

一BC4GF3

是

28.如图，AB是。0的直径，BD交。0于点C,AE平分NBAC,ZD=ZCAB.若sinD=A,

29.如图，EIABCD中，ACXCD,以C为圆心，CA为半径作圆弧交BC于E,交CD的延

长线于点F,以AC上一点0为圆心0A为半径的圆与BC相切于点M,交AD于点N.若

AC=9cm,OA=3cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

30.如图，正AABC的面积是8,取正AABC的内心01，以为边长作正△OiBPi，再

取正△OiBPi的内心。2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△

O2009BP200%则△O2009BP2009的面积是.

2017年01月10日1511022的初中数学组卷

参考答案与试题解析

—.选择题（共17小题）

1.（2016•镇海区一模）如图，在AABC中，AB=AC,O是线段AB的中点，线段OC与以

AB为直径的。O交于点D,射线BD交AC于点E,ZBAC=90°,那么下列等式成立的是

（）

A.BD=2BCB.AD=ODC.AD=CDD.AE=CD

3

【考点】圆的认识.

【专题】探究型.

【分析】设。。的半径为a,则AB=2a,AC=2a,根据勾股定理得到

OC=VoA2+AC2=Va2+（2a）a-求得作DM,AC于点M'DN±AB

于点N,根据相似三角形的性质得到毁』^型，得到DN=%,ON=，a于是得到

OCAC0AV5V5

BN=^+1a,求得AE=J^a-a,即可得到结论.

5

【解答】解：设。O的半径为a,贝ljAB=2a,AC=2a,

ZOAC=90°,

OC=V0A2+AC2=7a2+（2a）2=V5

VOD=a,

，CD=\^a-a,

作DM_LAC于点M,DN±AB于点N,

•/ZBAC=90°,

；.DN〃AC,

.•.△ODN^AOAC,

­,0D_DN-ON；

"oc^A^OA)

.-.DN=-La,ON=-La,

V5V5

,,.BN=^+1.a,

5

VABDN^ABAE,

-BN_DN；

"AB^AE)

/.AE=V5a-a,

；.CD=AE,

故选D.

【点评】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构

造相似三角形是解题的关键.

2.（2016•江汉区二模）如图，P为。。内的一个定点，A为。。上的一个动点，射线AP、

AO分别与。O交于B、C两点.若。O的半径长为3,OP=V3＞贝U弦BC的最大值为（）

【考点】垂径定理；三角形中位线定理.

【分析】过点O作OELAB于E,由垂径定理易知E是AB中点，从而OE是4ABC中位

线，即BC=20E,而OEWOP,故BCW20P.

【解答】解：过点O作OELAB于E,如图：

；.AE=BE,

.♦.OEJBC,

2

VOE<OP,

.♦.BCW2OP,

...当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，

最大值为20P=2a.

故答案选A.

【点评】本题主要考查了垂径定理的基本应用、三角形三边关系，难度适中；过圆心作弦的

垂线是运用垂径定理的常用技巧和手段，要熟练掌握.

3.(2016•杭州校级二模)如图，。。的半径OD，弦AB于点C,连结AO并延长交。。于

点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则sin/ECB为()

513313

【考点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义.

【分析】根据垂径定理得到AC=BC=LAB=4,设AO=X,贝!JOC=OD-CD=x-2,RtA

2

ACO中根据勾股定理得到X2=4?+(x-2)2,解得x=5,贝UAE=10,OC=3,再由AE是直

径，根据圆周角定理得到/ABE=90。，利用OC是4ABE的中位线得到BE=2OC=6,然后

在RtACBE中利用勾股定理可计算出CE,由三角函数的定义求出sinZECB即可.

【解答】解：连结BE,如图，

VODXAB,

AC=BC=LAB=LX8=4,

22

设AO=x,贝！JOC=OD-CD=x-2,

在RtAACO中，,/AO2=AC2+OC2,

：.X2=42+(x-2)2,

解得：x=5,

；.AE=10,OC=3,

：AE是直径，

ZABE=90°,

：OC是AABE的中位线，

，BE=2OC=6,

在RtACBE中,CE=^CB2+BE^42+62=2V13-

sinZECB=^l=_

CE2A/1313

故选：B.

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考

查了勾股定理、圆周角定理、三角函数；由勾股定理求出半径是解决问题的突破口.

4.（2016•丹棱县模拟）如图所示，点P在圆O上，将圆心角/AOC绕点O按逆时针旋转

到NBOD,旋转角为a<00<a<180o）.若NAOC邛（00<p<180°）,则NP的度数为（用

a和0表示）（）

B.丁+。C.p-aD.a+p

2

【考点】圆周角定理；旋转的性质.

【专题】探究型.

【分析】根据圆心角/AOC绕点。按逆时针旋转到/BOD,旋转角为a（0。<。<180。）可

知NAOB=a,再由/AOC邛可求出/COB的度数，根据圆周角定理即可求出/P的度数.

【解答】解：：圆心角NAOC绕点。按逆时针旋转到NBOD,旋转角为a（0-<a<180。）,

AZAOB=a,

VZAOC=p,

ZCOB=a-B，

.../p_NC0B_a-B

故选A.

【点评】本题考查的是圆周角定理及图形的旋转，解答此题的关键是弄清旋转角即为NAOB

的度数.

5.（2016•石家庄二模）如图，点A是量角器直径的一个端点，点B在半圆周上，点P在第

上，点Q在AB上，且PB=PQ.若点P对应140。（40。），则NPQB的度数为（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

【考点】圆周角定理.

【分析】根据圆周角定理求出/ABP=70。，根据等腰三角形的性质解答即可.

【解答】解：•..点P对应140。，

；./ABP=70。，

VPB=PQ,

.•.ZPQB=ZABP=70°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，

都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.

6.（2013•慈溪市校级一模）如图，AB是半圆直径，半径OCLAB于点O,AD平分NCAB

交弧BC于点D,连接CD、OD,给出以下四个结论：①AC〃OD；②CD=DE；（3）AODE

/△ADO；④2CD?=CE・AB.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证NCAD=/ADO

即可；

②作ON_LCD,根据AD平分/CAB交弧BC于点D,求出NCOD=45。，再求出NOCD=

ZODC=67.5°,

得至（JCD=DE；

③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③^ODEs

△ADO；

④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出/COD=45。，再利用等腰三角

形的性质和三角形内角和定理求出NCDE=45。，再求证△CEDs^cOD,利用其对应变成比

例即可得出结论.

【解答】解：①「AB是半圆直径，

.•.AO=OD,

ZOAD=ZADO,

VAD平分NCAB交弧BC于点D,

ZCAD=ZDAO=J-ZCAB,

2

ZCAD=ZADO,

.•.AC//OD,

...①正确.

②作ON_LCD,

VAD平分NCAB交弧BC于点D,

...NCAD=LX45°=22.5°,

2

ZCOD=45",

VAB是半圆直径，

.•.OC=OD,

ZOCD=ZODC=67.5°,

ZAEO=90°-22.5°=67.5°,

.•.ZDCE=ZCED=67.5°,

；.CD=DE,

.,.②正确.

③：在AODE和△ADO中，只有NADO=NEDO,

ZCOD=2ZCAD=2ZOAD,

AZDEO#ZDAO,

，不能证明和△ADO相似，

③错误；

④VAD平分NCAB交弧BC于点D,

；./CAD=LX45°=22.5°,

2

.•.ZCOD=45°,

VAB是半圆直径，

.•.OC=OD,

.•.ZOCD=ZODC=67.5°

VZCAD=ZADO=22.5°（已证），

.•.ZCDE=ZODC-ZADO=67.5°-22.5。=45。，

.•.△CED^ACOD,

•CD=CE；

"ODCD）

.•.CD2=OD«CE=XAB«CE,

2

.•.2CD2=CE»AB.

...④正确.

综上所述，只有①②④正确.

故选C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰

三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易

程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目.

7.（2012•洪湖市模拟）A是半径为5的。。内的一点，且OA=3,则过点A且长小于10的

整数弦的条数是（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【考点】垂径定理；勾股定理.

【专题】压轴题.

【分析】连接0A,作弦CDLOA,则CD是过点A的最短的弦.运用垂径定理和勾股定理

求解.

【解答】解：连接OA,作弦CDLOA,则CD是过点A的最短的弦.

连接OC,运用垂径定理和勾股定理求得弦长是8.

...8W弦＜10,即过点A的最短整数弦有8、9（2条对称的）共三条.

所以过点A且长小于10的弦有3条.

故选C.

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，正确作出过圆内一点的最短的弦，结合勾

股定理和垂径定理进行计算.

8.（2012•洪山区校级模拟）如图，四边形ABCD为矩形，4ACE为AC为底的等腰直角三

角形，连接BE交AD、AC分别于F、N,CM平分/ACB交BN于M,下列结论：（1）BE

±ED；（2）AB=AF；（3）EM=EA；（4）AM平分NBAC

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质.

【专题】证明题；压轴题.

【分析】连接DE,由NABC=/AEC=/ADC=90。，根据圆周角定理的推论得到点A、B、

C、D、E都在以AC为直径的圆上，再利用矩形的性质可得AE=ME,即①正确；再根据

圆周角定理得到NAEB=/ACB,ZDAC=ZCED,ZEAD=ZECD,易证△AEFgZiCED,

即可得到AB=AF,即②正确；由②得到NABF=/AFB=45。，求出NEMC=NMCB+45。，

而/ECM=NNCM+45。，即③正确；根据等腰三角形性质求出NEAM=NAME,推出/

EAM=45°+ZMAN,/AME=45°+NBAM,即可判断（4）.

【解答】解：连接DE.

,/四边形ABCD为矩形，4ACE为AC为底的等腰直角三角形,

AZABC=ZAEC=ZADC=90°,AB=CD,AD=BC,

...点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，

VAB=CD,

.,.弧AB=<CD,

；./AEB=/CED,

.•.ZBED=ZBEC+ZCED=ZBEC+ZAEB=90",

ABEXED,故⑴正确；

:点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，

；./AEF=/CED,ZEAF=ZECD,

又•；AACE为等腰直角三角形,

；.AE=CE,

在4AEF和阵CED中，

fZAEF=ZCED

<AE=CD，

，/EAF=/ECD

AAEF^ACED,

；.AF=CD,

而CD=AB,

；.AB=AF,即（2）正确;

.•.ZABF=ZAFB=45°,

.•.ZEMC=ZMCB+45°,

而NECM=NNCM+45。，

VCM平分NACB交BN于M,

.•.ZEMC=ZECM,

；.EC=EM,

；.EM=EA,即（3）正确；

VAB=AF,ZBAD=90°,EM=EA,

.•.ZABF=ZCBF=45°,ZEAM=ZAME,

VAAEC是等腰直角三角形，

；./EAC=45。，

ZEAM=45°+ZMAN,ZAME=ZABM+ZBAM=45°+ZBAM,

；./BAM=/NAM,（4）正确；

故选D.

【点评】本题考查了圆周角定理以及推论：同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的

弦为直径；也考查了等腰三角形和矩形的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，通

过做此题培养了学生的推理能力，此题综合性比较强，有一定的难度.

9.（2012・高新区一模）如图，PA、PB是。O的两条切线，A、B为切点，直线OP交。O

于C、D,交AB于E,AF为。O的直径，有下列结论：

①NABP=/AOP；@BC=DF；③AC平分/PAB；（4）2BE2=PE»BF,

其中结论正确的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.

【专题】压轴题；推理填空题.

【分析】首先连接0B,根据切线长定理得PA=PB,ZAPO=ZBPO；易证得△APO四△BPO,

得NAOP=/BOP,即於前；再根据这些基础条件进行判断.

【解答】解：连接0B；

：PA、PB都是。O的切线，

，PA=PB,ZAPO=ZBPO；

又PO=OP,

.•.△APO^ABPO,

ZAOP=ZBOP,

•1.AC=BC；

①：PB切。O于点B,

.•.ZPBA=ZAFB,

由於命得/AFB=/AOP，

ZPBA=ZAOP；

故①正确；

②•；ZAOC=ZBOC=ZFOD,

•••AC=BC=FD；

故②正确；

③同①，可得/PAB=/AOC；

VAC=BC.

，ZAOC=ZBOC,

NEAC=L/BOC=L/AOC,

22

NEAC=L/PAB,

2

...AC平分NPAB；故③正确；

④在APEB和AABF中，

fZPEB=ZAPF=90°,

(ZPBE=ZAFB

.•.△PEB^AABF,

ABE：PE=BF：AB=BF：2BE,即2BE?=PE・BF,

故④正确；

综上所述，正确的结论共有4个;

故选D.

【点评】此题主要考查的是切线的性质，涉及的知识点有：圆周角定理，全等三角形的判断

和性质，切线长定理，圆心角、弧、弦的关系等.

10.（2012•黄陂区校级模拟）已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意

一点（异于A,B）,过点P作半圆。的切线分别交过A,B两点的切线于D,C,AC、BD

相交于N点，连接ON、NP.下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP・PC

为定值；④PA为/NPD的平分线.其中一定成立的是（）

C.①③④D.②③④

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】综合题；压轴题.

【分析】①由DA,DP,CP,CB为圆O的切线，根据切线性质得到DA与AB垂直，CB

与AB垂直，根据同旁内角互补得到AD与BC平行，由两直线平行得到两对内错角相等，

进而得到三角形AND与三角形BCN相似，根据相似得比例，等量代换后得到CP：DP=BN：

DN,运用比例线段得到NP与BC平行，又BC与AD平行，故NP与AB平行，又DP与

AN不平行，根据梯形定义可得ANPD为梯形；

②没有依据；

③连接OP,OD,OC,利用"HL"得到直角三角形AOD与POD全等，同理三角形BOC与

三角形POC全等，进而得到对应角相等，由平角定义，利用等量代换得到/COD为直角，

又根据切线性质得到OP与CD垂直，根据两三角形相似得到Op2=DP・PC,而OP为圆O

的半径，为定值，故DP・PC为定值；

④由选项①得到的NP与AD平行，得到内错角相等，再根据切线长相等及等边对等角得

到一对角相等，等量代换得/APN=NAPD,故PA为/NPD的角平分线.

【解答】解：①因为DA、DP、CP、CB为。O切线，故DA_LAB,CB±AB.

于是AD〃BC,AD=DP,CB=CP.

AZCAD=ZNCB,ZADN=ZDBC,

AAAND^ACNB,

•CB_CN_CP

"AD^NADP'

，NP〃BC,

故NP〃AD,又AN与DP相交，

四边形ANPD是梯形，本选项正确;

②不能确定；

③连接OP,OD,0C,如图所示：

由DA,DP为圆。的切线，

.•.ZOAD=ZOPD=90°,

在直角三角形OAD和OPD中，

DA=DP,OD=OD,

.'.△OAD^AOPD,

ZAOD=ZPOD,

同理NPOC=/BOC,

ZAOD+ZDOP+ZPOC+ZBOC=180°,

AZCOD=ZDOP+ZCOP=90°,又OP_LCD,

.•.ZPOD+ZPOC=90°,ZPOD+ZODP=90",

.•.ZODP=ZPOC,同理/POD=NPCO,

.'.△OPD^ACPO,又AD=DP,CB=CP,

AOP_DP_；即op2=DP,pc,

PCOP

：OP为圆。的半径，为定值，故DP・PC为定值，本选项正确；

④因为DA=DP,所以/DAP=/DPA.

因为NP〃AD,所以/NPA=NDAP.

所以NDPA=NNPA.

PA为/NPD的平分线.

则一定成立的选项有：①③④.

故答案为：①③④.

【点评】此题难度较大，综合考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质及平行线分线段

成比例定理，对同学们的推理能力有较高要求.要求学生多观察，多分析，把所学融会贯通,

灵活运用，培养了学生分析问题，解决问题的能力.

11.（2012•武汉模拟）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O,Q为CD上任意一点,

AQ交BD于M,过M作MNJ_AM交BC于N,连AN、QN.下列结论：

①MA=MN；②NAQD=/AQN；③SAAQN=>^S五边形ABNQD;④QN是以A为圆心，以AB

为半径的圆的切线.

其中正确的结论有（）

BNC

A.①②③④B.只有①③④C.只有②③④D.只有①②

【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；确定圆的条件.

【专题】证明题；压轴题.

【分析】延长CD到F,使DF=BN,连接AF,过A作AHLNQ于H,证ABNM四点共

圆，推出NANM=/NAM即可判断①；ffiAABN^AADF,推出AF=AN,ZFAD=ZBAN,

证ANAQ之△FAQ,

推出/AQN=NAQD即可判断②；证△ADQgZXAHQ,即可推出③；根据AH=AD=AB,

AH_LNQ,即可判断④.

F

【解答】解:

延长CD到F,使DF=BN,连接AF,过A作AHJ_NQ于H,

:正方形ABCD,NMXAQ,

.•.ZAMN=ZABC=90°,

...ABNM四点共圆，

.•.ZNAM=ZDBC=45°,ZANM=ZABD=45",

ZANM=ZNAM=45°,

；.MA=MN,...①正确；

:正方形ABCD,

.•.ZABN=ZADF=90°,AD=AB,

在AABN和4ADF中

，AD=AB

•­,<ZABN=ZADF>

BN=DF

.•.AABN^AADF,

ZFAD=ZBAN,AF=AN,

VZNAM=ZBAC=45°,

ZFAQ=ZFAD+ZDAQ=45°=ZNAQ,

在4NAQ和AFAQ中

'AF=BN

；NFAQ=/NAQ，

,AQ=AQ

.•.△NAQ^AFAQ,

；.NAQN=/AQD,...②正确；

在AADQ和aAJIQ中

'NAQD=NAQN

,•,<ZADQ=ZAHQ=90°>

,AQ=AQ

.•.△ADQ^AAHQ,

•'•SAADQ=SAAQH>

SANAQ=SAFAQ=SAFAD+SAADQ=^S五边形ABNQD，

③正确；

VAH=AD=AB,AH±NQ,

；.QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线，

.••④正确.

故选A.

【点评】本题考查了确定圆的条件和圆的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质,

切线的判定的应用，主要培养学生综合运用性质和定理进行推理的能力,本题综合性比较强,

有一定的难度，对学生提出较高的要求.

12.（2012•杭州模拟）已知，RtZXABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,则△ABC的外

接圆半径和AABC的外心与内心之间的距离分别为（）

A.5和旄B.就口器C.氏口述D.郛工

【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心.

【专题】压轴题.

【分析】首先运用勾股定理求出斜边AB=5cm,因为直角三角形的外心是斜边的中点，则外

接圆的半径是斜边的一半，即为刍m.直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为

2

r=a+b~C（a,b为两直角边，c为斜边）可求的r.再运用勾股定理求外心与内心之间的

2

距离即可.

【解答】解：（1）：/C=90°,AC=3cm,BC=4cm,

AB=5cm（勾股定理）.

AABC的外接圆半径长R=AB=^<;m；

22

（2）连接ID,IE,IF,

是AABC的内切圆，

AIDIBC,IE±AC,IF1AB,

ZCDI=ZCEI=ZC=90°,

又：DI=EI,

.,•四边形CDIE是正方形.

；.CD=CE=DI=IE；

'/AC=3cm,BC=4cm,由（1）知AB=5cm,

.,.△ABC的内切圆半径长『弛二£,

2

_3+4-5

~~2~

=lcm.

即DI=EI=FI=lcm；

/.CD=lcm.

VBC=4cm,

.*.BD=3cm.

・・・。1是AABC的内切圆，

.*.BD=BF=3cm.

VBO=-^-cm,

2

/.OF=-l_cm.

2

在RtZ\IFO中，IO=返2m（勾股定理）.

2_

.,.△ABC的外心与内心之间的距离为近cm.

2

故选B.

【点评】本题考查了三角形的外心和内心的性质.直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆

的半径是斜边的一半；直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为厂三包工（a,b为两

2

直角边，C为斜边）.

13.（2011•黄州区校级二模）如图，BC是0A的内接正十边形的一边，BD平分/ABC交

AC于点D,则下列结论正确的有（）

①BC=BD=AD；@BC2=DC«AC；③AB=2AD；④BC="^一」AC.

、—一'2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】正多边形和圆；相似三角形的判定与性质.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】先易证△ABCs^BCD,再利用相似三角形的性质计算.

【解答】解：①BC是0A的内接正十边形的一边

由AB=AC,ZA=36",得/ABC=NC=72°,

又BD平分NABC交AC于点D,

ZABD=ZCBD=1-ZABC=36°=ZA,

2

；.AD=BD,

ZBDC=ZABD+ZA=72°=ZC,

；.BC=BD,

；.BC=BD=AD,正确；

②易证△ABCsZ\BCD,

ABC_CD；又AB=AC,故②正确，

ABBC

根据AD=BD=BC

即BC_AC-BC

AC=BC

解得BC=^I二LAC,故④正确，

2

故选c.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等.

14.（2010•武汉模拟）如图，I为AABC的内心，ZSABC的外接圆O,O在BC上，AD、

BE、CF都经过I点分别交。O于点D、E、F,EF交AB于点G,交AC于点H,IM1BC

于M.则下列结论：①EF_LAD；②AB+AC-BC=&AI；

③AD=M（IM+LBC）；@SABIC：SAEH的值随A点位置变化而变化.其中正确的是（）

、一2一

A

G

A.①②④B.①②C.①②③D.③④

【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外角性质；勾股定理；正方形的判定与性质；圆

周角定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质.

【专题】证明题；压轴题.

【分析】根据内心的定义得到NABE=/CBE,ZACF=ZBCF,NBAD=/CAD,求出/EAD+

NAEF=90。即可判断①；求出三角形内切圆的半径是工(AC+AB-BC),根据勾股定理求

2

出即可判断②；求出AD=AI+ID=Y1(AC+AB),求出加(IM+LBC)=返

222

(AC+AB),即可判断③；根据相似三角形的性质即可判断④.

【解答】解：,・・1为aABC的内心,

AZABE=ZCBE,ZACF=ZBCF,NBAD=NCAD,

・•・弧AE+弧AF+弧CD=180°,

ZAGF=ZEAD+ZAEF=90°,・••①正确；

TO在BC上，

・•・ZBAC=90°,

VIABC的内心，

・'•CM=BM,CQ=CM,BM=BH,

AZIQA=ZCAB=ZIHA=90°,IQ=IH,

・•・四边形QIHA是正方形，

.•.IQ=AQ=AI=IH,

AAC-IH+AB-IH=BC,

.*.IH=L(AC+AB-BC),

2_

由勾股定理得：AI=V2IH,

...②正确；_

AD=AI+ID=-1=-(AC+AB-BC)+返BC,

V22

=2Z1AC+返AB,

22_

V2(IM+工BC)=V2t—(AC+AB-BC)+1,BC]=2^1AC+返AB,

22222

...③正确；

VZF=ZEBC,ZFEI=ZICM,

.•.△EFI^ACBL

2

•S%ic_fBC..

・《△EIF瓯

：BC一定，

④错误;

故选c.

【点评】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外角性质，相似三角形的性质，

圆周角定理，切线长定理，正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质

进行推理是解此题的关键.

15.（2009・余姚市校级模拟）如图，半圆的直径AB=10cm,弦AC=6cm,把AC沿直线AD

对折恰好与AB重合，则AD的长为（）

A.B.3j^cmC.5j^cmD.8cm

【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理.

【专题】压轴题.

【分析】设圆的圆心是O,连接OD,作DELAB于E,OFLAC于F,运用圆周角定理,

可证得NDOB=/OAC,即证△AOFgZkOED,所以OE=AF=3cm,根据勾股定理，得

DE=4cm,在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长.

【解答】解：设圆的圆心是O,连接OD,AD,作DE_LAB于E,OF_LAC于F.

根据题意知，ZCAD=ZBAD,

•,CD=BD>

二点D是弧BC的中点.

/DOB=/OAC=2NBAD,

.•.△AOF^AOED,

OE=AF=3cm,

DE=4cm,

AD=^/^3=4V^cm.

【点评】在圆的有关计算中，作弦的弦心距是常见的辅助线之一.熟练运用垂径定理、圆周

角定理和勾股定理.

16.（2009•慈溪市模拟）某地有四个村庄E,F,G,H（其位置如图所示），现拟建一个电

视信号中转站，信号覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域.为了使这四个村庄的居民都

能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（圆形区域半径越小，所需功率越小），

此中转站应建在（）

G

班、/至。50)53名

5

E

A.线段HF的中点处B.Z^GHE的外心处

C.△HEF的外心处D.ZXGEF的外心处

【考点】三角形的外接圆与外心.

【专题】应用题；压轴题.

【分析】根据已知角的度数，知AJIFG是钝角三角形，所以只需画出的外接圆，则

点G一定在圆内.

【解答】解：只需画出三角形EFH的外接圆，则点G一定在圆内.

故选C.

【点评】考查了三角形的外心.能够分析比较出最小的半径是解题关键.

17.如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点E,交AD

)

kD.1

48

【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形；正方形的性质.

【专题】压轴题；推理填空题.

【分析】连接OE、OF、OC,根据切线长定理证明/COF=90。；根据切线的性质得OELCF.则

△EOF^AEOC,得EF与EC的关系式，然后求解.

【解答】解：连接OE、OF、OC.

：AD、CF、CB都与。O相切，

，CE=CB；OE±CF；OF平分/AFC,OC平分/BCF.

：AF〃BC,

.•.ZAFC+ZBCF=180",

.•.ZOFC+ZOCF=90°,

.•.ZCOF=90°.

.'.△EOF^AEOC,得OE2=EF»EC.

设正方形边长为a,则OE=L,CE=a.

2

.•.EF=Jla.

4

.EF=1

"E^T

【点评】此题考查切线的性质和切线长定理及相似三角形的判定与性质，综合性较强，有相

当的难度.

二.填空题(共13小题)_

18.(2016•宁阳县模拟)如图，以点P(2,0)为圆心，«为半径作圆，点M(a,b)是

OP上的一点，则k的最大值是

【考点】切线的性质；坐标与图形性质.

【专题】压轴题.

【分析】当k有最大值时，得出tan/MOP有最大值，推出当OM与圆相切时，tan/MOP

a

代入求出即可.

a

也就是当OM与圆相切时，tan/MOP有最大值,

此时tanZMOP=^.,

OM

在RtaOMP中，由勾股定理得：OM=Jop2-22-电）臼，

则tanZMOP=-^=-^^^-5.=-\/3'

aON1

故答案为：V3.

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、坐标与图形性质、切线的性质等知识点，关

键是找出符合条件的M的位置，题目比较典型，但是有一定的难度.

19.（2016•龙岩模拟）如图1〜4,在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜

边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它

们的面积分别记为Si，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+...+SM兀.

【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：图形的变化类.

【分析】（1）图1,作辅助线构建正方形OECF,设圆O的半径为r,根据切线长定理表示

出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径『独二（a、b是直角边，c为斜边）,

运用圆面积公式=口2求出面积=兀；

（2）图2,先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD,利用半径尸弛工

（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=兀；

（3）图3,继续求高DM和CM、BM,利用半径片史如二£（a、b是直角边，c为斜边）

求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=71；

综上所述：发现Si+S2+S3+...+Sio=n.

【解答】解：（1）图1,过点O做OE_LAC,OF±BC,垂足为E、F,贝|NOEC=NOFC=90。

ZC=90°

・・・四边形OECF为矩形

VOE=OF

・・・矩形OECF为正方形

设圆O的半径为r,贝!JOE=OF=r,AD=AE=3-r,BD=4-r

.,<3+4-51

..3Q-r+4A-r=5，r=------------

SI=RX1=R

(2)图2,由SAABC=LX3X4=LX5XCD

由勾股定理得：ADMJB_瞪）'，BD=5-二■善

与-311-4

由（1）得