上海市崇明区2025届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

上海市崇明区2025届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0 B．C．2 D．2．为了治疗某种疾病，研制了一种新药，为确定该药的疗效，生物实验室有只小动物，其中有3只注射过该新药，若从这只小动物中随机取出只检测，则恰有只注射过该新药的概率为()A． B． C． D．3．以点为圆心，且经过点的圆的方程为()A． B．C． D．4．已知数列的通项公式为，则72是这个数列的（）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项5．已知在中，，那么的值为（）A． B． C． D．6．计算：的结果为（）A．1 B．2 C．-1 D．-27．菱形ABCD，E是AB边靠近A的一个三等分点，DE=4，则菱形ABCD面积最大值为（）A．36 B．18 C．12 D．98．为了得到函数，(x∈R)的图象，只需将(x∈R)的图象上所有的点（）.A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位9．设是△所在平面上的一点，若，则的最小值为A． B． C． D．10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知原点O（0，0），则点O到直线x+y+2=0的距离等于．12．如图所示，E，F分别是边长为1的正方形的边BC，CD的中点，将其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三点重合.则所围成的三棱锥的体积为___________.13．已知等差数列的前项和为，若，则_____14．已知圆锥的底面半径为3，体积是，则圆锥侧面积等于___________.15．在，若，，，则__________________．16．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．现从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.18．若，解关于的不等式.19．如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，平面，，点在底面上的射影为棱的中点，点在平面内的射影为证明：为的中点：求三棱锥的体积20．已知不经过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且点在直线上.（1）求直线的方程；（2）过点作直线，若直线，与轴围成的三角形的面积为2，求直线的方程.21．设一元二次不等式的解集为．（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）当时,求的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由题得z=x2+4y2-3xy≥4xy-3xy=xy(x,y,z>0),即z≥xy,≥1.当且仅当x=2y时等号成立,则x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.当y=1时,x+2y-z有最大值2.故选C.2、B【解析】

将只注射过新药和未注射过新药的小动物分别编号，列出所有的基本事件，并确定事件“恰有只注射过该新药”所包含的基本事件的数目，然后利用古典概型的概率计算公式可该事件的概率．【详解】将只注射过新药的小动物编号为、、，只未注射新药的小动物编号为、、，记事件恰有只注射过该新药，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，其中事件所包含的基本事件个数为个，由古典概型的概率公式得，故选B．【点睛】本题考查古典概型的概率公式，列举基本事件是解题的关键，一般在列举基本事件有枚举法和数状图法，列举时应注意不重不漏，考查计算能力，属于中等题．3、B【解析】

通过圆心设圆的标准方程，代入点即可．【详解】设圆的方程为：，又经过点，所以，即，所以圆的方程：．故选B【点睛】此题考查圆的标准方程，记住标准方程的一般设法，代入数据即可求解，属于简单题目．4、B【解析】

根据数列的通项公式，令，求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，数列的通项公式为，令，即，解得或（不合题意），所以是数列的第8项，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5、A【解析】

，不妨设，,则，选A.6、B【解析】

利用恒等变换公式化简得的答案.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.7、B【解析】

设出菱形的边长，在三角形ADE中，用余弦定理表示出cosA【详解】设菱形的边长为3a，在三角形ADE中，AD=3a,AE=a,DE=4，有余弦定理得cosA=10a2-166a故选：B【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查菱形的面积公式，考查二次函数最值的求法，属于中档题.8、D【解析】

根据函数的平移原则，即可得出结果.【详解】因为，，所以为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点向左平移个单位.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记左加右减的原则即可，属于基础题型.9、C【解析】分析：利用向量的加法运算，设的中点为D，可得，利用数量积的运算性质可将原式化简为，为AD中点，从而得解.详解：由，可得.设的中点为D，即.点P是△ABC所在平面上的任意一点，为AD中点.∴.当且仅当，即点与点重合时，有最小值.故选C.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10、D【解析】

由正弦定理及余弦定理可得，，然后求解即可.【详解】解：由可得，则，①又，所以，即，所以②由①②可得：，由余弦定理可得,故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了两角和的正弦公式，属中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由点到直线的距离公式得：点O到直线x+y+2=0的距离等于，故答案为.12、【解析】

根据折叠后不变的垂直关系，结合线面垂直判定定理可得到为三棱锥的高，由此可根据三棱锥体积公式求得结果.【详解】设点重合于点，如下图所示：，，又平面，平面，即为三棱锥的高故答案为：【点睛】本题考查立体几何折叠问题中的三棱锥体积的求解问题，处理折叠问题的关键是能够明确折叠后的不变量，即不变的垂直关系和长度关系.13、1．【解析】

利用等差数列前项和公式能求出的值．【详解】解：∵等差数列的前项和为，若，

．

故答案为：．【点睛】本题考查等差数列前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14、【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，，，，．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．15、【解析】

由,故用二倍角公式算出,再用余弦定理算得即可.【详解】,又，,又,代入得,所以.故答案为【点睛】本题主要考查二倍角公式与余弦定理,属于基础题型.16、．【解析】试题分析：从中任取3个不同的数，有，，，，，，，，，共10种，其中只有为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．考点：用列举法求随机事件的概率．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②联立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵，即，，∴，，又∵，，∴.18、当0<a<1时，原不等式的解集为，当a<0时，原不等式的解集为；当a=0时，原不等式的解集为⌀.【解析】

试题分析：（1），利用，可得，分三种情况对讨论的范围：0<a<1，a<0，a=0，分别求得相应情况下的解集即可.试题解析：不等式>1可化为>0.因为a<1，所以a-1<0，故原不等式可化为<0.故当0<a<1时，原不等式的解集为，当a<0时，原不等式的解集为，当a=0时，原不等式的解集为⌀.19、（1）详见解析（2）【解析】

（1）先证平面平面，说明平面且，根据菱形的性质即可说明为的中点．（2）根据，即求出即可．【详解】（1）证明：因为面，平面，所以平面平面；交线为过作，则平面，又是菱形，，所以为的中点（2）由题意平面【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，利用等体积转换法求三棱锥的体积，属于基础题．20、（1）；（2）或.【解析】

（1）根据直线在两坐标轴上的截距相等列出直线方程，然后代入点即可求出直线方程；（2）首先根据直线过点设出直线方程，然后列出三角形的面积公式，根据面积等于2求出直线的方程.【详解】（1）因为直线在两坐标轴上的截距相等，设直线：，将点代入方程，得，所以直线的方程为；（2）①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，直线，直线和轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程为符合题意，②若直线的斜率，则直线与轴没有交点，不符合题意，③若直线的斜率，设其方程为，令，得，由（