湖南省长沙市长郡湘府中学2025届高一下数学期末教学质量检测模拟试题含解析

湖南省长沙市长郡湘府中学2025届高一下数学期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线满足，则；④若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量，，若向量与的夹角为，则实数（）A． B． C． D．3．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：指数值0～5051～100101～150151～200201～300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日-20日指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A．这20天中指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱6．平面向量与的夹角为，，，则A． B．12 C．4 D．7．若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（）A． B． C． D．8．若数列满足，，则()A． B． C．18 D．209．在0°到360°范围内，与角－130°终边相同的角是（）A．50° B．130° C．170° D．230°10．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的定义域是________12．已知向量，则________13．如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．14．已知，则____．15．在中,,且,则．16．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数，则______.（精确到）（参考数据）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员在处先看到山顶的俯角为18°30′，经过后又在处看到山顶的俯角为81°（1）求飞机在处与山顶的距离（精确到）；（2）求山顶的海拔高度（精确到）参考数据：，18．如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面．19．在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆.（1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程；（2）过点P的直线l与圆C依次相交于A，B两点.①若，求l的方程；②当面积最大时，求直线l的方程.20．已知,函数.(1)当时,解不等式;(2)若对,不等式恒成立,求a的取值范围.21．正项数列的前项和为，且.（Ⅰ）试求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的前项和为.（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.【详解】①为假命题.可举反例，如a，b，c三条直线两两垂直；②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；③若直线满足，则，是真命题；④是假命题，如图甲所示，c，d与异面直线，交于四个点，此时c，d异面，一定不会平行；当点B在直线上运动（其余三点不动），会出现点A与点B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面且相交.故答案为B【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】

根据坐标运算可求得与，从而得到与；利用向量夹角计算公式可构造方程求得结果.【详解】由题意得：，，，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用向量数量积、模长和夹角求解参数值的问题，关键是能够通过坐标运算表示出向量和模长，进而利用向量夹角公式构造方程.3、C【解析】

根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.4、C【解析】

根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.5、B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.6、D【解析】

根据，利用向量数量积的定义和运算律即可求得结果.【详解】由题意得：，本题正确选项：【点睛】本题考查向量模长的求解，关键是能够通过平方运算将问题转化为平面向量数量积的求解问题，属于常考题型.7、C【解析】

根据三角函数定义结合正弦的二倍角公式计算即可【详解】由题意，∴，，．故选：C.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函数定义是解题关键．8、A【解析】

首先根据题意得到：是以首项为，公差为的等差数列.再计算即可.【详解】因为，所以是以首项为，公差为的等差数列.，.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的定义，熟练掌握等差数列的表达式是解题的关键，属于简单题.9、D【解析】

先表示与角－130°终边相同的角，再在0°到360°范围内确定具体角，最后作选择.【详解】因为与角－130°终边相同的角为，所以，因此选D.【点睛】本题考查终边相同的角，考查基本分析判断能力，属基本题.10、D【解析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．【详解】设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故选D【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据的值域为求解即可.【详解】由题.故定义域为.故答案为：【点睛】本题主要考查了反三角函数的定义域,属于基础题型.12、2【解析】

由向量的模长公式，计算得到答案.【详解】因为向量，所以，所以答案为.【点睛】本题考查向量的模长公式，属于简单题.13、【解析】

取中点为，中点为，连接，则异面直线和所成角为.在中，利用边长关系得到余弦值.【详解】由题意，取中点，连接，则，可得直线和所成角的平面角为，（如图）过作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，结合平面图形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【点睛】本题考查了异面直线的夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14、【解析】

由于，则，然后将代入中，化简即可得结果.【详解】，，，故答案为.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，属于基础题.同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15、【解析】

∵在△ABC中，∠ABC＝60°，且AB＝5，AC＝7，

∴由余弦定理，可得：，

∴整理可得：，解得：BC＝8或−3（舍去）．考点：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形内角和定理及两角和的余弦公式．16、【解析】

根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，结合题意可得，解可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，则有，即，解可得：，故答案为：．【点睛】本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于的方程，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）14981m（2）【解析】

（1）先求出飞机在150秒内飞行的距离，然后由正弦定理可得；（2）飞机，山顶的海拔的差为，则山顶的海拔高度为．【详解】解：（1）飞机在150秒内飞行的距离为，在中，由正弦定理，有，∴；（2）飞机，山顶的海拔的差为，，即山顶的海拔高度为．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．18、（1）见证明；（2）见证明【解析】

（1）设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面；（2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．【详解】证明：（1）设与的交点为，连结，∵四边形为平行四边形，∴为中点，又是的中点，∴是三角形的中位线，则，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵为线段的中点，点是的中点，∴且，则四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．又平面，，且平面，平面，∴平面平面．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19、（1）；（2）①；②或．【解析】

（1）设所求圆的圆心为，而所求圆的圆心与、共线，故圆心在直线上，又圆同时经过点与点，求出圆的圆心和半径，即可得答案；（2）①由题意可得为圆的直径，求出的坐标，可得直线的方程；②当直线的斜率不存在时，直线方程为，求出，的坐标，得到的面积；当直线的斜率存在时，设直线方程为．利用基本不等式、点到直线的距离公式求得，则直线方程可求．【详解】（1）由，得，圆的圆心坐标，设所求圆的圆心为．而所求圆的圆心与、共线，故圆心在直线上，又圆同时经过点与点，圆心又在直线上，则有：，解得：，即圆心的坐标为，又，即半径，故所求圆的方程为；（2）①由，得为圆的直径，则过点，的方程为，联立，解得，直线的斜率，则直线的方程为，即；②当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，，；当直线的斜率存在时，设直线方程为．再设直线被圆所截弦长为，则圆心到直线的距离，则．当且仅当，即时等号成立．此时弦长为10，圆心到直线的距离为5，由，解得．直线方程为．当面积最大时，所求直线的方程为：或．【点睛】本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.20、(1)或;(2)或.【解析】

（1）代入，把项都移到左边，合并同类项再因式分解，即可得到本题答案；（2）等价于，考虑的图象不在图象的上方，利用数形结合的方法，即可得到本题答案.【详解】(1)当时,由得，即,解得,或，所以,所求不等式的解集为或；(2)等价于,所以当时，的图象在图象的下方，所以或所以,,或.【点睛】本题主要考查一元二次不等式以及利用数形结合的方法解决不等式的恒成立问题.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得的表达式,由两式相减,变形即可证明数列为等差数列,进而结合首项与公差求得的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.将与代入即可求得数列的