2025届甘肃省白银市会宁县第四中学高一下数学期末学业水平测试试题含解析

2025届甘肃省白银市会宁县第四中学高一下数学期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线过两点，，则的斜率为（）A． B． C．2 D．2．数列的通项，其前项和为，则为（）A． B． C． D．3．某几何体的直观图如图所示，是的直径，垂直所在的平面，且，为上从出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧的长为，的长度为关于的函数，则的图像大致为（）A． B．C． D．4．一组数平均数是，方差是，则另一组数，的平均数和方差分别是（）A． B．C． D．5．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除：（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元.新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级…每月应纳税所得额元（含税）…税率（%）31020…现有李某月收入为19000元，膝下有一名子女，需赡养老人（除此之外无其它专项附加扣除），则他该月应交纳的个税金额为()A．570 B．890 C．1100 D．19006．已知，且，则（）A． B． C． D．7．若等差数列的前10项之和大于其前21项之和，则的值（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定8．设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且、、成等比数列，则等于（）A． B． C． D．9．已知，则点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．圆心为且过原点的圆的一般方程是A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若、是方程的两根，则__________.12．甲、乙两名新战土组成战术小组进行射击训练，已知单发射击时，甲战士击中靶心的概率为0.8,乙战士击中靶心的概率为0.5，两人射击的情况互不影响若两人各单发射击一次，则至少有一发击中靶心的概率是______.13．________14．已知向量，，且，则的值为________.15．设数列的前项和为满足：，则_________.16．从原点向直线作垂线，垂足为点，则的方程为_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，四面体中，，，为的中点.（1）证明：；（2）已知是边长为2正三角形.（Ⅰ）若为棱的中点，求的大小；（Ⅱ）若为线段上的点，且，求四面体的体积的最大值.18．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈(0，).求：(1)cos(α－β)的值；(2)β的值.19．已知函数在上的最大值为3.（1）求的值及函数的单调递增区间;（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.20．在中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，，设，.（1）用，表示；（2）设G是线段BC上一点，且使，求的值.21．如图，在平行四边形中，，，，与的夹角为．（1）若，求、的值；（2）求的值；（3）求与的夹角的余弦值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

直接运用斜率计算公式求解.【详解】因为直线过两点，，所以直线的斜率，故本题选C.【点睛】本题考查了斜率的计算公式，考查了数学运算能力、识记公式的能力.2、A【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得，根据周期公式求出周期为，从而可得结果.详解：首先对进行化简得，又由关于的取值表：123456可得的周期为，则可得，设，则，故选A．点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.3、A【解析】如图所示，设，则弧长，线段，作于当在半圆弧上运动时，，，即，由余弦函数的性质知当时，即运动到点时有最小值，只有选项适合，又由对称性知选，故选A.4、B【解析】

直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.5、B【解析】

根据题意，分段计算李某的个人所得税额，即可求解，得到答案.【详解】由题意，李某月应纳税所得额（含税）为元，不超过3000的部分的税额为元，超过3000元至12000元的部分税额为元，所以李某月应缴纳的个税金额为元.故选：B.【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用与函数值的计算问题，其中解答中认真审题，合理利用分段函数进行求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6、A【解析】

根据，，利用平方关系得到，再利用商数关系得到，最后用两和的正切求解.【详解】因为，，所以，所以，所以．故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式和两角和的正切公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7、C【解析】

根据条件得到不等式，化简后可判断的情况.【详解】据题意：，则，所以，即，则：，故选C.【点睛】本题考查等差数列前项和的应用，难度较易.等差数列前项和之间的关系可以转化为与的关系.8、A【解析】

设等差数列的公差为，根据得出与的等量关系，即可计算出的值.【详解】设等差数列的公差为，由于、、成等比数列，则有，所以，，化简得，因此，.故选：A.【点睛】本题考查等差数列前项和中基本量的计算，解题的关键就是结合题意得出首项与公差的等量关系，考查计算能力，属于基础题.9、B【解析】∵，∴，，，∴，∴点在第二象限，故选B.点睛：本题主要考查了由三角函数值的符号判断角的终边位置，属于基础题；三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.10、D【解析】

根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。【详解】根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，且其半径，则其标准方程为，变形可得其一般方程是，故选．【点睛】本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由题意利用韦达定理求得、的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．【详解】解：、是方程的两根，，，，或，，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题．12、【解析】

利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出至少有一发击中靶心的概率．【详解】甲、乙两名新战土组成战术小组进行射击训练，单发射击时，甲战士击中靶心的概率为0.8，乙战士击中靶心的概率为0.5，两人射击的情况互不影响若两人各单发射击一次，则至少有一发击中靶心的概率是：．故答案为0.1．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．13、【解析】

根据极限的运算法则，合理化简、运算，即可求解.【详解】由极限的运算，可得.故答案为：【点睛】本题主要考查了极限的运算法则的应用，其中解答熟记极限的运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解析】

利用共线向量的坐标表示求出的值，可计算出向量的坐标，然后利用向量的模长公式可求出的值.【详解】，，且，，解得，，则，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】

利用，求得关于的递推关系式，利用配凑法证得是等比数列，由此求得数列的通项公式，进而求得的表达式，从而求得的值.【详解】当时，.由于，而，故，故答案为：.【点睛】本小题主要考查配凑法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16、.【解析】

先求得直线的斜率,由直线垂直时的斜率关系可求得直线的斜率.再根据点斜式即可求得直线的方程.【详解】从原点向直线作垂线,垂足为点则直线的斜率由两条垂直直线的斜率关系可知根据点斜式可得直线的方程为化简得故答案为:【点睛】本题考查了直线垂直时的斜率关系,点斜式方程的应用,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（1）取中点，连接，通过证明，证得平面，由此证得.（2）（I）通过证明，证得平面，由此证得,利用“直斜边的中线等于斜边的一半”这个定理及其逆定理，证得.（II）利用求得四面体的体积的表达式，结合基本不等式求得四面体的体积的最大值.【详解】（1）取的中点，所以，所以.又因为，所以，又，所以面，所以.（2）（Ⅰ）由题意得，在正三角形中，，又因为，且，所以面，所以.∵为棱的中点，∴，在中，为的中点，.∴（Ⅱ），四面体的体积，又因为，即，所以等号当且仅当时成立，此时.故所求的四面体的体积的最大值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查直角三角形的判定，考查三棱锥体积的最大值的求法，考查基本不等式的运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、（1）【解析】

（1）利用同角的平方关系求cos(α－β)的值；（2）利用求出，再求的值.【详解】（1）因为，所以cos(α－β).（2）因为cosα＝，所以，所以，因为β∈(0，)，所以.【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系求值，考查差角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、（1）,函数的单调递增区间为；（2）.【解析】

（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.【详解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函数的单调递增区间为（2）由已知，∴由得，因此所以因为为锐角三角形，所以，解得因此，那么【点睛】本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.20、（1）（2）【解析】

（1）依题意可得、，再根据，计算可得；（2）设存在实数，使得，由因为，所以存在实数，使，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D是线段AB上靠近B的一个三等分点，所以.因为E是线段AC上靠近A的一个四等分点，所以，所以.因为，所以，则.又，.所以.（2）因为G是线段BC上一点，所以存在实数，使得，则因为，所以存在实数，使，即，整理得解得，故.【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.21、（1），；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）根据向量的运算有，可知，由模长即可求得、的值；（2）先求得向量,再根据向量的数量积及便可求得；（3）由前面的求解可得及，可