贵州省剑河县第二中学2025届高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析

贵州省剑河县第二中学2025届高一数学第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A． B．C． D．2．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．3．若是的重心，，，分别是角的对边，若，则角（）A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为()A．（−3，4，5） B．（−3，−4，5）C．（3，−4，−5） D．（−3，4，−5）5．设，则()A． B．C． D．6．已知a,,且,若对,不等式恒成立,则的最大值为()A． B． C．1 D．7．函数的图像与函数，的图像的交点个数为（）A． B． C． D．8．函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若为偶函数，则的值为（）A． B． C． D．9．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，则A∩B中元素的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边落在射线上，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．把函数的图像上各点向右平移个单位，再把横坐标变为原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的函数的对称中心坐标为________12．已知向量，，则在方向上的投影为______.13．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．14．已知角的终边经过点，若，则______.15．某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是16．已知的圆心角所对的弧长等于，则该圆的半径为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，且（1）求的定义域.（2）判断的奇偶性，并说明理由.18．已知圆：.（1）过的直线与圆：交于，两点，若，求直线的方程；（2）过的直线与圆：交于，两点，直接写出面积取值范围；（3）已知，，圆上是否存在点，使得，请说明理由.19．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．20．在中，角、、的对边分别为、、，为的外接圆半径.（1）若，，，求；（2）在中，若为钝角，求证：；（3）给定三个正实数、、，其中，问：、、满足怎样的关系时，以、为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情兄下，用、、表示.21．已知圆圆心坐标为点为坐标原点，轴、轴被圆截得的弦分别为、.（1）证明：的面积为定值；（2）设直线与圆交于两点，若，求圆的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．考点：古典概型及其概率的计算．2、B【解析】由题可知，直线：，设，，得，又，解得，所以双曲线方程为，故选B。3、D【解析】试题分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案为D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.4、A【解析】

由关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解.【详解】关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为（−3，4，5）．故选A．【点睛】本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题.5、A【解析】

先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.6、C【解析】

由，不等式恒成立，得，利用绝对值不等式的定理，逐步转化，即可得到本题答案.【详解】设，对，不等式恒成立的等价条件为，又表示数轴上一点到两点的距离之和的倍，显然当时，，则有，所以，得，从而，所以的最大值为1.故选：C.【点睛】本题主要考查绝对值不等式与恒成立问题的综合应用，较难.7、A【解析】

在同一坐标系中画出两函数的图象，根据图象得到交点个数.【详解】可得两函数图象如下图所示：两函数共有个交点本题正确选项：【点睛】本题考查函数交点个数的求解，关键是能够根据两函数的解析式，通过平移和翻折变换等知识得到函数的图象，采用数形结合的方式得到结果.8、B【解析】f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位，得到g（x）=2sin（2x-2φ﹣）．为偶函数，故得到，故得到2sin（-2φ﹣）=-2或2，．因为，故得到，k=-1,的值为.故答案为B．9、C【解析】

求出A∩B即得解.【详解】由题得A∩B={2,3,4},所以A∩B中元素的个数是3.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.10、D【解析】

在的终边上取点,然后根据三角函数的定义可求得答案.【详解】在的终边上取点,则,根据三角形函数的定义得.故选:D【点睛】本题考查了利用角的终边上的点的坐标求三角函数值,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、，【解析】

根据三角函数的图象变换，求得函数的解析式，进而求得函数的对称中心，得到答案.【详解】由题意，把函数的图像上各点向右平移个单位，可得，再把图象上点的横坐标变为原来的一半，可得，把函数纵坐标扩大到原来的4倍，可得，令，解得，所以函数的对称中心为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的对称中心的求解，其中解答中熟练三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、【解析】

由平面向量投影的定义可得出在方向上的投影为，从而可计算出结果.【详解】设平面向量与的夹角为，则在方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量投影的计算，熟悉平面向量投影的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.13、1【解析】

由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．【详解】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案为1．【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．14、【解析】

利用三角函数的定义可求.【详解】由三角函数的定义可得，故.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的定义，注意根据正弦的定义构建关于的方程，本题属于基础题.15、3【解析】试题分析：，解得.考点：球的体积和表面积16、【解析】

先将角度化为弧度，再根据弧长公式求解．【详解】解：圆心角，弧长为，，即该圆的半径长．故答案为：．【点睛】本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）偶函数，理由见解析.【解析】

（1）根据对数的真数大于零可求得和的定义域，取交集可得定义域；（2）整理可得，验证得，得到函数为偶函数.【详解】（1）令得：定义域为令得：定义域为的定义域为（2）由题意得：，为定义在上的偶函数【点睛】本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断；求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必须大于零，且需保证构成函数的每个部分都有意义.18、（1）或；（2）；（3）存在，理由见解析【解析】

求得圆的圆心和半径.（1）设出直线的方程，利用弦长、勾股定理和点到直线距离列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）利用三角形的面积公式列式，由此求得面积取值范围.（3）求得三角形外接圆的方程，根据圆和圆的位置关系，判断出点存在.【详解】圆心为，半径为.（1）直线有斜率，设：，圆心到直线的距离为，∵，则由，得，直线的方程为或（2）依题意可知，三角形的面积为，由于，所以，所以.（3）设三角形的外接圆圆心为（），半径为，由正弦定理得，，所以，所以圆的圆心为,所以圆的方程为，圆与圆满足圆心距：，∴圆与圆相交于两点，圆上存在两个这样的点，满足题意.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19、（1），，；（2）线段的长度分别为；（3）不垂直，理由见解析【解析】

（1）由已知条件，利用长方体的结构特征，能求出点的坐标．

（2）直接利用两点间距离公式公式求解．（3）求出，，计算数量积即可判断是否垂直.【详解】解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，由得：，因为点N是AB的中点，点M是的中点，，；（2）由两点距离公式得：，；（3）直线与直线不垂直，理由：由（1）中各点坐标得：，，与不垂直，所以直线与直线不垂直.【点睛】本题考查空间中点的坐标的求法，考查线段长的求法，以及利用向量的坐标运算判断垂直，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20、（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】

（1）利用正弦定理求出的值，然后利用余弦定理求出的值；（2）由余弦定理得出可得证；（3）分类讨论判断三角形的形状与两边、的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可.【详解】（1）由正弦定理得，所以，由余弦定理得，化简得.，解得；（2）由于为钝角，则，由于，，得证；（3）①当或时，所求不存在；②当且时，，所求有且只有一个，此时；③当时，都是锐角，，存在且只有一个，；④当时，所求存在两个，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，因此所求存在，当时，，，，，；当时，，，，，.【点睛】本题综合考查了三角形形状的判断，考查了解三角形、三角形的外接圆等知识，综合性较强，尤其是第三问需要根据、两边以及直径的大小关系确定三角形的形状，再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强，难度较大.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）利用几何条件可知，为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，求得面积；（2）由及原点O在圆上，知OCMN，所以,求出的值，再利