六年级奥数走停、变速问题

走停与变速问题

显澳倒我

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于

这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；

折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；

方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程

转化成了计算.

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括

公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推

知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图

示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中，画图分析

往往也是最有效的解题方法；

(3)比例法

行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值.更重要的是，在一

些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能

用比例解题；

⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，

在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；

⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知

数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.

S3咫凝

学会画线段图解决行程中的走停问题

能够运用等式或比例解决较难的行程题

能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点

能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

一'走停问题

【例11一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如

果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城

相距多少千米？

【巩固】一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达.但汽车行驶到路程的狗时,

出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每

分钟必须比原来快多少米？

【例2】甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A,B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲

在途中休息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC,那么AB两地相距多

少千米？

【巩固】一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍.已知大轿车

比小轿车早出发17分钟，它在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途

没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从

甲地出发.求小轿车追上大轿车的时间.

【例3】甲、乙两人分别从相距35.8千米的两地出发，相向而行.甲每小时行4千米，但每行30分

钟就休息5分钟；乙每小时行12千米，则经过小时分的时候两人相遇.

【巩固】甲乙两人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进。甲每行5分钟休息2分钟；乙每行210

米休息3分钟。甲出发后50分钟到达B地，乙到达B地比甲迟了10分钟。己知两人最后一次

的休息地点相距70米，两人的速度是每分钟行多少米？

【例4】甲乙二人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米.出发一段时间

后，二人在距离中点120米处相遇.如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点

120米处相遇.问：甲在途中停留了多少分钟？

【巩固】甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，

两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处

相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？

【例5】某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车两种，快车车速是慢车车速的1.2倍。慢车每

站都停，快车则只停靠中间1个站，每站停留时间都是3分。当某次慢车发出40分后，快车从

同一始发站开出，两车恰好同时到达终点。问：快车从起点到终点共用多少时间？

【巩固】甲、乙两地铁路线长1000公里，列车从甲行驶到乙的途中停6站（不包括甲、乙），在每站停车

5分钟，不计在甲乙两站的停车时间，行驶全程共用1L5小时。火车提速10%后，如果停靠车站

及停车时间不变，行驶全程共用多少小时？

【例6】龟兔赛跑，全程6千米，兔子每小时跑15千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑，但兔子

边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑2分钟后玩20分钟，再跑3分钟后玩20分钟......

问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？

【巩固】龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米.乌龟不停地跑；但兔

子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩

15分钟，.......那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？

二、变速问题

［例7］甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑

完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2.甲跑

3

第二圈的速度比第一圈提高了工，乙跑第二圈的速度提高了!，已知沿跑道看从甲、乙两人第

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二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？

【巩固】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲

比原来速度增加4米/秒，乙比原来速度减少4米/秒，结果都用25秒同时回到原地.求甲原来

的速度.

【例8】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高

50%。出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、

乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？

【巩固】甲、乙两地间平路占1由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的7士，一辆汽车从甲地

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到乙地共行了10小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢20%,行下山路的速度比平路快

20%,照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？

【例9】某校在400米环形跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持

不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第18分钟时甲

追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。那么，

乙跑完全程所用的时间是多少分钟？

【巩固】甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度

为每秒8米，乙的速度为每秒6米.当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每

秒减少0.5米.这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒

增加。.5米，直到终点.那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米？

【例10】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路.小芳上

学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度

的多少倍？

【巩固】王老师每天早上晨练，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分钟；第二天跑步2000

米，散步800米，共用20分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。求：⑴王老

师跑步的速度；⑵王老师散步800米所用的时间。

【例11】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙

第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少20%,并且乙第一次追上甲的

地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是米.

【巩固】如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右半部分（粗线部分）

道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞

道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还

有米。

【例12】丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐

乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原

来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此

类推，按第N次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的NxlO%倒退1分钟，然后再按原来的速

度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按次遥控器。

【巩固】唐老鸭和米老鼠进行5000米赛跑.米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100

米.唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入"麻痹"状态1分

钟，1分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要1分钟恢复能量才能再使用.米老鼠对"麻痹"状

态也在逐渐适应，第1次进入"麻痹"状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第2次进入"麻痹"状态

时，就会有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度......，第20次进入"麻痹"状态时

已有原速度95%的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了.唐老鸭与米

老鼠同时出发,如果唐老鸭要保证不败,它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使用遥控器?

【例13］如图所示，有A、B、C、。四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路AB、BC、CD上,

汽车行驶的最高时速限制分别是120千米、40千米和60千米。一辆大巴车从A景点出发驶向。

景点，到达。点后立刻返回；一辆中巴同时从。点出发，驶向3点。两车相遇在C景点，而当

中巴到达3点时，大巴又回到了。点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许

的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具

有的最高时速比相遇前提高了12.5%,求大巴客车的最高时速。

ABCD

1111

【巩固】从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上,

汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米.己知第一段公路的长恰好

是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二

段从甲到乙方向的工处相遇.那么，甲、乙两市相距多少千米？

3

IIIII

ABECD

【例14］甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山

速度的2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山

脚到山顶的距离。

【巩固】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速

度的2倍。开始后1时，甲与乙在离山顶400米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。

问：乙比甲晚多少时间回到山脚？

【例15］如图21-/,A至B是下坡，B至C是平路，C至。是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时

4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米.小张和小王分别从

4和。同时出发，1小时后两人在E点相遇.已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离

的」.当小王到达A后9分钟，小张到达0.那么A至。全程长是多少千米?

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图21-1

【巩固】游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行400米，下坡每分行600米。已知从A点到B点

需3.7分，从B点到A点只需2.5分。问：AC比BC长多少米?

【随练1】快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5时相遇。已知慢车从乙地到甲地用

12.5时，慢车到甲地停留1时后返回，快车到乙地停留2时后返回，那么两车从第一次相遇到

第二次相遇共需多长时间？

【随练2】小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是

上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？

【随练3】甲、乙两车分别从4B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点.如果甲车速度不变,

乙车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千

米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米.甲车原

来每小时行多少千米？

【随练4】甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时

间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？

【作业1】一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的羽前进，最终到达目的地晚1.5小

时.若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的利前进，则到

达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里？

【作业2】甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同

时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时

80千米，汽车曾在途中停驶10钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?.

【作业3】甲、乙两站相距420千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车

每小时行40千米.客车到达乙站后停留1小时，又以原速返回甲站.则两车迎面相遇的地点离乙

站有多少千米？

【作业4】甲、乙两人同时从A地到B地去。甲骑车每分行250米，每行驶10分后休息20分；乙不间歇

地步行，每分行100米。结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问：A,B两地相距多远?

【作业5】A、B两地间有一座桥（桥的长度忽略不计），甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上

相遇.如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇.如

果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇.则小B两地相距多少千

米？

【作业6】甲、乙两车从4B两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前1小时出发，则差13

千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1小时出发，则过中点37千米后与乙车相遇，那么

甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？

【作业7】上午8点整，甲从