2024届广东省高三年级第二次调研考试模拟卷03（广东专用）【含答案】

2024届广东省高三年级第二次调研考试模拟卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再按交集的定义求即可.【详解】由题意：，所以.故选：A2．（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知复数，则复数（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接将代入中计算即可.【详解】因为，所以，故选：C.3．（2023·贵州黔东南·统考一模）若某等差数列的前3项和为27，且第3项为5，则该等差数列的公差为（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由等差数列的性质求解即可.【详解】设该等差数列为，则，则，所以公差.故选：B.4．（2022上·贵州·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】向量在向量上的投影为，投影向量为，其中为与同向的单位向量，分别计算，代入即可.【详解】因为，，所以.向量在向量上的投影为设为与同向的单位向量，则向量在向量上的投影向量为故选：C5．（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知集合，集合，则集合的元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由集合的元素个数为圆与直线的交点个数求解.【详解】解：表示以为圆心，以为半径的圆，表示一条直线，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，所以有两个交点，所以集合的元素个数为2，故选：B6．（2023下·贵州六盘水·高二统考期末）第八届中国凉都·六盘水夏季马拉松将于2023年7月16日在六盘水市开跑．本次赛事以“清凉马拉松·激情六盘水”为主题，设有马拉松（42.195公里）、半程马拉松（21.0975公里）、大众健身跑三个项目．现从六盘水市某中学选出4名志愿者，每名志愿者需要去服务一个项目，每个项目至少安排一个志愿者，则不同的分配方案有（

）种．A．12 B．24 C．36 D．72【答案】C【分析】按先分组再分配的方法求解即可.【详解】可将这4名志愿者先分成3组，每组至少1个志愿者，共有种分法，再将这3组志愿者分配给三个项目，每个项目分配1组志愿者，共有种分配法，故不同的分配方案有种.故选：C7．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（

）①的图象关于直线对称②的图象关于点对称③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象④若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论．【详解】解：由函数的图象可得，由，解得，又函数过点，所以，，又，得，所以函数，当时，，即的图象关于点对称，故②正确；当时，，故①错误；将函数的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；当，则，令，解得，此时，即，令，解得，此时，即，所以在上单调递减，在上单调递增，因为方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交点，所以，故④正确；故选：B8．（2023上·贵州六盘水·高一统考阶段练习）已知函数，则满足的a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性求解即可.【详解】当时，，则，故无解；当时，，故无解；当时，要使，有两种情况，第一种情况，，即时，此时由于函数在上单调递增，则，解得；第二种情况，，即时，此时，则，解得，综上所述，a的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点睛：根据分段函数解析式，找到临界点，从而分，和三种情况讨论，是解决本题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）一组互不相等的样本数据，其平均数为，方差为，极差为，中位数为，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列选项一定正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的定义逐项分析判断可得答案.【详解】对于A，中位数是把数据从小到大依次排列后，排在中间位置的数或中间位置的两个数的平均数，因为是对称的同时去掉最小值和最大值，故中间位置的数相对位置保持不变，故新数据的中位数保持不变，故A正确；对于B，平均数受样本中每个数据的影响，故去掉最小值和最大值后，余下数据的平均数可能会改变，故B不一定正确；对于C，方差反映数据的离散程度，当去掉数据中的最小值和最大值后，数据的离散程度减小，故方差减小，故C正确；对于D，极差为最大值与最小值之差，是原来数据里面任意两个数据差值的最大值，，故去掉最小值和最大值后，新数据的极差必然小于原数据的极差，故D正确.故选：ACD10．（2022上·贵州·高一校联考阶段练习）已知、为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出，利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项.【详解】令可得，则直线与函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标分别为、，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，设，则，由，可得，解得，由，可得，解得，所以，，对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，则，C对；对于D选项，取，则，，D错.故选：ABC.11．（2023上·贵州黔南·高二校考阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形上的动点，则（

）A．满足平面的点的轨迹长度为B．满足的点的轨迹长度为C．存在唯一的点满足D．存在点满足【答案】AC【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，为正方形上的点，可设，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，由正方体的性质知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故点的轨迹为线段，故A正确；以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，设，且，，，，对于B，，即，又，，则点的轨迹为线段，,且，故B错误；对于C，显然，只有时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确；对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，故，故不存在点满足，故D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2021上·贵州贵阳·高三统考期末）在中，角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数，且，则.【答案】8【解析】根据大边对大角，可得,可设,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可.【详解】由题意可得,,又角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数，故可设由,,由余弦定理得.所以,即解得,故.故答案为：.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.13．（2023·贵州·高三阶段练习）三棱锥的四个顶点点在同一球面上，若底面，底面是直角三角形，，则此球的表面积为.【答案】【分析】根据给定条件，确定出三棱锥外接球球心，进而求出球半径作答.【详解】在三棱锥中，底面，平面，则，，由是直角三角形，，得，而，平面，于是平面，又平面，因此，取中点，连接，如图，

从而，点是三棱锥外接球球心，则，所以三棱锥外接球的表面积.故答案为：14．（2022·贵州遵义·统考三模）斜率为的直线过椭圆的焦点，交椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为．【答案】【分析】设，，由可知；令，将方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用可得关于的齐次方程，由此可求得离心率.【详解】设，，由得：，，即；不妨令，则直线，由得：，，，即，，；由椭圆对称性可知：当时，；椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解问题，解题关键是能够根据向量共线得到的关系，从而结合韦达定理，利用构造关于的齐次方程来进行求解.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）记锐角的内角的对边分别为，已知的面积为，且．(1)求；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形面积公式以及向量数量积的定义，结合同角关系即可求解，（2）根据正弦定理结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）因为的面积为，所以，即，因为，所以，所以，得，因为，所以（2）设的外接圆的半径为，结合（1）可得，而，则，根据正弦定理有，得，故，而，故，又，因为为锐角三角形，则有，得，故，故，故，故.16．（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，且，，，，.(1)证明：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到线线垂直，证明出线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得到面面角的余弦值.【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以，，又，由余弦定理得，故，所以，由勾股定理逆定理得⊥，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）由（1）知，⊥，又，所以⊥，因为平面，平面，所以，，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，由得，故，解得，故，设平面的法向量为，故，令，则，故，设平面的法向量为，故，令，则，故，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.17．（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用于数学学习时间的分布情况，做了全区8000名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷中满时长为12小时），将调查所得学习时间分成，，，，，6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

(1)求a的值；(2)以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间近似服从正态分布，试估计该地区高三学生数学学习时间在内的人数；(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在，内的学生随机抽取8人，并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析，设3人中学习时间在内的人数为变量X，求X的期望．【答案】(1)(2)1087人(3)0.75【分析】（1）由概率之和为1计算即可得；（2）根据正态分布的性质计算即可得；（3）结合分层抽样的性质与期望计算公式计算即可得.【详解】（1）由题意得，解得；（2）则，所以估计该地区高三学生数学学习时间在(8，9.48]内的人数约为1087人；（3），对应的频率比为，即为3∶1，所以抽取的8人中学习时间在，内的人数分别为6人，2人，设从这8人中抽取的3人学习时间在内的人数为，则的所有可能取值为0，1，2，，，，所以.18．（2023下·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知点，在双曲线E：上．(1)求双曲线E的方程；(2)直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当时，证明：直线l过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解的值，进而得双曲线方程；（2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得的关系，进而可得直线过定点.【详解】（1）由题知，，得，所以双曲线E的方程为．（2）由题意知，当l⊥x轴时，与重合，由可知：是的中点，显然不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为，联立，消去y得，则，即，且，设，，，，AB方程为，令，得，AN方程为，令得，由，得，即，即，即，将，代入得即，所以，得或，当，此时由，得，符合题意；当，此时直线l经过点A，与题意不符，舍去所以l的方程为，即，所以l过定点．19．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析