商用数学作业1

第9章趣限舆速^8LimitsandContinuity

在微稹分之前，数^是静熊居多；有了微稹分之接，数擘燮成勤熊居多。由静

熊居多的数擘演化到微稹分，需^^限（limit）的遇程。一元函数火幻的趣限就是富自

燮数xj1近於某一数值日寺，函数人防所切感的值。火》）的微分是金十螯寸卡氏平面上所有

的名泉脩，在某一黠:的走向及燮化率，作数擘上的^算。微分的存在须以趣限的觐念

作基磁。式x）的微分就是鹰燮数的微燮量dy舆自燮数的微燮量dx之比值，可以用分

数的方式，/'（©=隼，表逵之。火x）的稹分是在卡氏平面上^算某些曲《泉是度，直

dx

a泉或曲名泉所圉^的面稹。自燮数微燮量dx的ig念是稹分的基碘。火X）的稹分可言己

F（x）=£/（x）dx，言己虢J有姆艮加^的意羲，其加冬恩的靶圉（稹分域）由x=a到。。

微稹分是微分和稹分的合耦。微分是用来研究燮化率，而稹分是用来求加^的，

例如：算曲《泉是、面稹舆It稹等。类直似乘法和除法，微分和稹分雨者之^有互^反

算的密切^^，所以必须合起来一起探音寸，因而合耦悬微稹分。本章先介貂作悬

微稹分基磁的趣限，以彼再分别介貂微分及稹分。

9.1趣限

在数擘中，趣限可以用来描述一彳固函数的情5兄：即其自燮数愈来愈靠近某彳固特

定值或愈来愈大（小）的日寺候，函数的燮化趣势。趣限也可以用来描述一彳固序列的指

襟（index）愈来愈大畤，序列元素燮化的状5兄。趣限是微稹分和数擘分析的其他分支

最基本的概念之一，如微分和速^的概念都是通谩趣限来定羲的。

9.1.1趣限的定羲

一彳固函数y=火口在x=与的郝近任一黠i都有刈感的y值，但在x=/虑加不一

定有刈感值；若符x逐渐由左（或右）移向飞，此日寺函数可能曾有一彳固封）1的值L存

在）即穗人功在虑的趣限存在，加不再L悬火X）在X=X0的趣限（值），言己之悬：

lim/（x）=L（9-1）

90第9章趣限舆^^

若x逐渐由左(或右)移向与日寺函数没有一彳固螯寸J1的值L存在，即用神火》)在x=为虑的

趣限不存在。例如：/(%)=-+1

X

lim/(x)=l)趣限存在；

%—»8

limy(x)-»8，趣限不存在。

X—>0

Remark9.1.1:以Excel的例子探言寸上述趣限存在典否的冏题。

在A1到G1维入科擘言己数法的数，例如1.00E+08=100,000,000。在A2维入

=(1/A1)+1>、贴上到G2。自C2之彼其趣限值都等於1，故其趣限存在。在

A4到G4维入科擘言己数法的数，例如L00E_08=0.00000001°在A5维入=(1/A4)+1，

[WW]'[fe±]直到G5。常第4列的数自左向右越来越小，第5列的数越来越大，

辗法知道最彼的数，故言忍;M函数火乃在x超近於0日寺，其趣限不存在。

ABCDEFGH

11.00E+001.00E+021.00E+041.00E+081.00E+161.00E+321.00E+6400

22.00E+001.01E+001.00E+001.00E+001.00E+001.00E+001.00E+001

3

41.00E+001.00E-021.00E-041.00E-081.00E-161.OOE-321.OOE-640

52.00E+001.01E+021.00E+041.00E+081.00E+161.00E+321.00E+6400

屡缩定理(SqueezeTheorem)可判定一彳固函数的趣限是否存在，玄玄叙述於下：

在所有x的中包含c>若/z(x)</(x)<g(x)，且若

lim/?(x)=L=limg(x)，期」lim/(x)存在且等於L°

x—>cx—>c]—>c

9.1.2趣限的性^舆定理

(1)若limf(x)=£，且limf(x)=MjL=M°(9-2)

%—>%0%—%o

(2)若/(x)=c，CGR5lim/(x)=c°(9-3)

(3)若危)=%，即lim/(x)=x0°(9-4)

(4)若CER'且lim/(x)=£，即limcf(x)=cL°(9-5)

%—>%0x—>x0

(5)若lim/(x)=L-lim/(%)=M，期」

lim[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)=L±M°(9-6)

%—x—>xoX710

lim[/(%)•g(x)]=lim/(x)-limg(尤)=L1M°(9-7)

X—>xo%—

f(r\hm/(x)

=——=%”)。(9-8)

f。g(x)limg(x)

⑹若limf(x)=L悬正整数,lim[f(x)]"=Ln°(9-9)

x—>x0x—>x0

⑺若lim/(x)=L，且"正整数,

x—>x0

富n悬奇数，期」limNf(x)=Jlim/(x)=VZ°(9-10)

%7%()y%—两

常n焉偶萋攵>ML>0>limf(x)=Jlimf(x)=VZ°(9-H)

x—>x0Yx—>x0

J_

(8)自然指数基底e的定羲'lim(l+xy=e>e=2.71828...。(9-12)

以上定理JI用於求取趣限值，符出现在雪题中。

例题9.1.2-1若/=-2,0,2，求下列函数的趣限。

X

(i)/w

x—2

1

(2)g(x)

x+2

Y-2_1

解：⑴期二

-2-2-2

0

0

a。x-20^2

2

lim=。=不存在

-2x-2

⑵㈣士=士=不存在

lim------=-------]_

工一°x+20+22

1_1

lim—

-

x■—^2x+22+24

92第9章趣限舆^^

例题9.122若x°=0，求下列&且合函数的趣限，彳固别函数定羲於例题9.121。

(i)y(x)+g(x)

⑵/(x>g(x)

⑶

"(X)

解：禾U用公式(9-6)，(9-7)舆(9-8)可得答案悬(1)0.5>(2)0，(3)s。

9.2速^函数舆趣限

速^函数(ContinuousUnction)是指一彳固函数螯寸於输入的任意小的燮化；1生输出

的任意小的燮化。若输入的微小燮化；t生输出燮化一彳固突然的差昇，即造彳固函数被

不再悬是不速^的。玄玄聚例^明，富描述一枝随日寺^成是的榭枝的高度的函数力⑺，

道彳固函数是^^的(除非榭枝中途被折断)。另外一彳固例子，如果。⑴表示在高度悬x

的地方的大氧屋力，即道彳固函数也是速^的。典前二例相敕，如果/⑺表述在日寺

/的日寺候金艮行时户上的^^金客直，即造彳固函数辗^在存^或者取^的日寺候都曾有差

昇(我彳眇攵有辨法把元的罩位作任意小的分割)，因此函数是不^^的。

9.2.1罩遏趣限

趣限(limit)的左趣限(x♦xj)典右趣限(x一x；)是罩遏趣限的雨要项。一彳固函数

的趣限L是否存在，其充要脩件悬

limf(x)=lim/(x)=L(9-13)

X—>A：o%—>环

此充要脩件可由例题9.121的趣限不存在登之。

x22

Remark9.2.1将虢登lim——=------=—趣限不存在。

-2%―22-20

在Excel的A1到D1及A4到D4打入左趣限及右趣限%；渐近值，在A2打

=A9/(A9-2)，、贴上到第2列及第5列其他信者存格。D2和D5的值相差甚巨，

不可能有一彳固L存在，故函数趣限不存在。

ABCD

11.9000001.9900001.9999001.999999

2-19-199-19999-1999999

3

42.1000002.0010002.0001002.000001

5212001200012000001

9.2.2逋^函数

有昌昌建^函数的定羲如下所列：

⑴函数加)在^^部名。)内所有黠避1，即M再加)在3。海^内速^。

(2)函数於)在^国脉风。)内所有黑占邂1且a的右趣限lim/(x)=f(a)及b的左趣

x-^a+

限limf(x)=，3)存在，期糜危)在朗国fW口,切内^。

x-^b~

最大值舆最小值的定羲如下：

^函数人外的定羲域悬。，若X。e。，使得螯寸於D内任何X都有/(x)</(x0)之^

保，即穗z是函数人x)在定羲域上的最大值。若％e。，使得螯寸於。内任何x都有

y(x)2/(%)之［X系>即M再飞是函数人大)在定羲域上的最小值。

最大值舆最小值定理：由速^函数及最大值舆最小值的定羲可推^如下：

函数火制的定羲域在口切内速^,即段)在口,切内必有最大值舆最小值。

聚例：/(X)=3/在(—8,8)内有最小值0>没有最大值。

g(x)=」；在(1,2)内没有最小值也没有最大值。在右半朗^(0,2］内有

最小值0.25，没有最大值。在左半朗［0,2)内没有最小值，有最大值0.5。在朗

顺［0,2］内有最小值0.25，也有最大值0.5。

9.2.3辗鳄趣限舆渐近^

辗鳄趣限是富X趣端j!近於某值X。，左趣限元或右趣限X；曰寺，函数的值成悬

辗限大或负辗限大，薪:

limf(x)=8，lim/(x)=-oo(9-14)

XT%。x—>x0

lim/(x)=8，lim/(x)=-oo(9-15)

%-»石1->石

lim/(x)=8，lim/(x)=-oo(9-16)

x—

94第9章趣限舆^^

若公式(9-14)至(9-16)的式中有任一式成立，即垂直&泉x=x0是函数y=/(x)的垂直

渐近《泉。圈9-1有一脩垂直条泉x=-2是y=——的垂直渐近余泉；另一彳1条垂直条泉x=

(x+2)2

2是y=—三的垂直渐近女泉。

x-2

H9-1函数圈形典渐近a泉

9.2.3超向瓢翳大典渐近^

富xj1向辗鳄大或负辗鳄大日寺，函数可能超向某一值L，言己悬：

lim/(x)=L(9-17)

X—>oo

lim/(x)=L(9-18)

X—>—oo

若公式(9-17)或(9-18)有任一式成立，即直《泉y=L是函数人月的水平渐近名泉°H9-1

有一脩水平《泉y=0(x/由)是y=-一1T的水平渐近《泉；另一彳I条水平东泉y=1是

y=—=的水平渐近《泉。

x-2

若lim[/(x)-(ax+砌=0舆lim"(x)-3+&)]=0其中有一彳固成立，即直余泉

%—»8X—^—oo

y=ax+。是函数加)之圈形的斜渐近女泉。例如：/(x)=V+\"6，

x+1

,./”、\.x+x—6),.厂+x—6—.(一6、

hm(/(x)-x)=lim--------------x=hm-----------------------=hm-----=0

X―8工―8(X+1jX+1Xf8(x+]j

故可知y=/(x)IH形的斜渐近a泉^y=X。参考IH9-2。

9.3箍必逵法即(口HospitalsRule)

此法即提供富幽艮呈现未硅定的型式(Indeterminateform)日寺，即辗法直接求出趣

限日寺，需迤一步求出醇函数，以算出趣限(值)的方法。

^。^^^^(。,3内的一黠；，且函数/(X)舆g(x)在^^^伍力)内，除了c黠

之外，均可微分，即簿函数r(x)及g‘(x)皆存在，若分式写等於［或把等不能

g(c)0±oo

硅定的商，且若公式(9-19)等虢右遏的趣限存在或等於±8，MIJ

/(x)/'(x).

hrm=rhmz(9n-19)

a。g(©fg'(X)

上式之C若等於±8，此法即仍成立。但须注意的是需符原分式已整理到不能硅

定的商之日寺才遹用。其他不硅定的形式或待定型遢可有

0-OO>OO-OO>00，］8,80

等各不重^型箍必逵法十算道类前寺定型提供了一槿方法。

96第9章趣限舆^^

例题9.3.1求下列趣限

Q

(l)lim—+5%

%78%

Q

(2)lim-+5x

-o+x

(3)lim一+5%

—o-x

ex-1

(4)lim-----

1°x

(5)limx2ex

(6)limx2ex

XT-8

解：

(l)lim—F5x=—F5x©o=oo

尤—8xoo

H9-3函数y=8/x+5%

QQ

(2)lim-+5x=—+5x0+=+oo

-o+x0+

QQ

(3)lim—+5x=—+5x0-=—g

3一X0.

(4)未符分子的函数典分母的函数各自微分

x

lime-1=e-0-1=一1-1=《0(呈垣未硅定的型式)

a。x000

符分子的函数典分母的函数各自微分，再代入x=0

1.ex—1.e-%c0、

hm-------=l1im—=—=1

%―0X%―011

[Remark:f(x)=ex,f\x)=ex;g(x)=x,g'(x)=l)]

H9-4函数兀x)=(eJ1)/尤

(5)limx2ev=02e°=0x1=0

1->0

(6)未符分子的函数典分母的函数各自微分

__ooOO

lim/e，=(-8>.e-8=y=—(呈琨未石卷定的型式)

X—»—ooeCXO

符分子的函数典分母的函数各自微分，再代入彳=-8

22x22

limx2ex=limr=lim———=lim==0

X—»-ooX—>—oox——Q~Xx—>-oo^-xC-~(一8)

[Remark:/(x)=e-x,f\x)=-ex-,g(x)=x2,g，(x)=2x)]

98第9章趣限舆^^

H9-5函数＜x)=f/

第9章曾题

9.1若4=3,0,-3)求下列趣限

x

(l)/(x)

x+3

1

(2)g(x)

x—3

9.2若x°=0，求下列名且合函数的趣限,彳固别函数定羲於雪堰9』。

（i）y（x）+g（x）

(2)f(x)-g(x)

(3)^-

/(x)

9.3求下列趣限

(l)lim^^

—2x—2

⑵蚂追

(1+x)2-4

⑶慢

X

(4)limxjl十二

—o+\/

(5)lim%+

D-VX

小「％?+%+1

(6)lim-------------

182x-4%+5

+2

(7)lim

X—»—oo4x-5

⑻期M[Remark;g(x)=e%g，(%)=2e力]

(9)lim晔

Je

1-1

(10)lim-----

%—i+Inx

9.4簿裂y^形，企求所有渐近余泉。

（X+1）-

2_[

9.5at®y=AIH形，企求所有渐近余泉。

x-1

100第9章趣限舆^^

9.6存管理的成本C典数量Q之C=1,0°^000+6.52(H9-5)，若(a)Q♦0，

(b)Q-8其成本各^何？

H9-5康存管理的成本C典数量Q之^保

9.71施生筐的歆料之每年名恩成本悬。(%)=10%+2,000,000，常(a)x=1+>(b)x=

1,000,000，(c)x-8其每瓶(x)平均成本各^何？

9.8我阈粽合所得税97年度级距如表9-1。⑶簿圈呈现出各彳固级距，(b)在圈上襟示

各级距的趣限值，(c)各级距之^是否速

表9-1粽合所得税级距

97年度粽合所得浮额初估97年度^税级距

(覃位:元)遹用累迤税率幺内税额

370,001<%<410,0006%22,200+6%x

990,001<%<1,090,00013%100,000+13%%

1,980,001<%<2,180,00021%299,900+21%%

3,720,001<%<4,090,00030%803,900+30%%

第10章簿函数Derivative

以趣限的ft念作基磁，簿函数及微分(differential)才可能存在。上一章的趣限

(limit)是静熊居多的数擘演化成勤熊居多的微稹分(calculus)必^的暹辑上及方法上

的遇程。函数人用的簿函数是在探制超向(增加或减少)及燮化率(增量或减量的大小

比率)。例如供)1量封僵格的黠;需求弹性要用厚函数来探言寸；股票加才瞿指数在某彳固口寺

黑占的趣向及燮化率可用其屣史曲名泉函数的簿函数而得知。

10.1定羲

直a泉的斜率，加=半，可表示直条泉相螯寸於X1由上升，下降或水平的情况°H10-1

Ax

:M直女泉的燮化率即斜率机=电，每一黑占都相同。圈中Ay=100-60=40，Ax=600-

Ax

200=400，斜率m=0］。因;M斜率是正值,道表示僵格愈高供)1量曾愈多。但是如

102第9章趣限舆^^

果要知道一脩曲女泉在某黑占与的燮化情况或超势，需用通谩^黑占切女泉的斜率表逵之，

而此斜率及切条泉方程式需以厚函数舆微分求出。

供《合量vs.售^

H10-1直女泉的燮化率即斜率，每一黠i都相同。

H10-2是一脩供女合量相螯寸於售僵的二次曲a泉，供余合量函数y=Hx）在某彳固特

定^^内有定羲（售僵0到1000），X。及x。+Ax在此内，即供《合量函数的燮量表

示^Ay=/（x0+Ax）-/（x0）1而若脚艮lim，=lim八%+,）7小）存在,即再

函数y=Hx）在X。黠i（圈上的^格^400）可微分。若函数Hx）在X定羲域。[0,1000]

的每一黑占都可微分，即耦次X）悬一可微函数，加且耦/'（X）=lim以X+一）一“X）是

心一°Ax

函敷段）的厚函期derivative）,亦可言陶y，序或=/（x）。比较圈10-1舆10-2可

axax

知厚函数可余悸寸非a泉性函数某特定黠i作燮量比率的探究。

供东合量VS.售僵

X(售置

W10-2曲条泉的燮化率由通遇各黠切a泉的斜率来言十算。

以圈10-2悬例，想要算x=490到500日寺，y螯寸x的燮化情形，可言十以

Ay=为一%

Axx2-xx

_(0.0003x5002-0.035x500+21)-(0.0003x4902—0.035x490+21)

500-490

=0.262

但是如果要言十算%=490日寺或x=500日寺，y螯寸x的燮化情形，上式的言十算即辗能悬

力。但是用微分的方法，可以很快的算出其结果。函数y的厚函数

y=/'(x)=0.0006%-0.035

/,(490)=0.0006x490-0.035=0.259

/((500)=0.0006x500-0.035=0.265

造雨彳固值和0262都不同。^了求簿函数，我优优下面的微分法^^始介貂。

10.2微分法期(differentiationrules)

常数，M(X)和V(X谭寸於X都是可微分函数，基本的微分法列示如下：

104第9章趣限舆^^

/[c]=0

(10-1)

dx

—\cxn\—cnxn~x(10-2)

dx

d「i

——ex=c(10-3)

dx

—[cu]=cu'(10-4)

dx

-[u±v\=w*±v*(10-5)

dx

—\uv\=u^v+uv1(10-6)

dx

duuv-uv

(10-7)

dxvv2

(10-8)

dx

—Ln]=nun~xu)(10-9)

dx

—[lnw]=—w*(10-10)

dxu

什-eUuI(10-11)

dx

—[logu]=---u(10-12)

dxfl(Ind)u

—[aM]=(lno)Q">(10-13)

dx

u.八

----U,MW。(10-14)

l«l

一[sin〃]二(cosw)w*(10-15)

dx

—[cosu]=(-sinw)w*(10-16)

dx

—[tanu]=(sec2u)u'(10-17)

dx

—[cotw]=(-esc2u)W(10-18)

dx

—[secz/]=(secw)(tariM)M'(10-19)

dx

—[cscw]=<-CSCM)(COtM)M'(10-20)

dx

10.3醇函数聚例

以下就上一ffli10.2的微分公式分别聚例^明。

例题10.3.1/(x)=4^3-3x2+2x-5，求/'(x)

解：使用公式(10-D，(10-2)舆(10-3)解之如下:

/'(X)=3x4x2-2x3x+2=12x2-6x+2

H10-3三次曲名泉的醇函数

Remark:10-3可知道反S形的三次曲余泉的簿函数是一彳固反抛物名泉的二次曲

冬泉。因悬dy和dx都是正值(增量)，故厚函数曲名泉^^正。二次曲《泉的最小值位

於x=0.25。在x<0.25的显域，增量燮化率逐渐^。在x=0.25的位置，燮化率

^零。在x>0.25的国域,增量燮化率逐渐加速。丽曲《泉的交叉黠悬(3.30,113)。

例题10.3.2M(X)=4x3-3x2+2x-5，c=6，求g[cM(X)]

dx

解:使用公式(10-D)(10-2)，(10-3)舆(10-4)解之如下:

106第9章趣限舆^^

dc。

一[c〃(％)]=cu\x)-6•(12x2-6x+2)=72x2-36x+12

dx

例题10.3.3w(x)=4x3-3x2+2x-5,v(x)=x5+x，求@[M+V]及己[K-V]

dxdx

解：使用公式(10-5)解之如下：

—[w+v]=/+M=(12x2-6%+2)+(5,+1)=5x4+12x2-6x+3

dx

—[u-v]=/-M=(12x2-6x+2)-(5x4+1)=-5x4+12x2-6x+l

dx

H10-4函数的加减及其函数相加之厚函数(+y，)或相减之厚函数(-V)

例题10.3.4z/(x)=-3x2+2x-l,v(x)=2x2+3，求一[uv]

dx

解：使用公式(10-6)解之如下：

—[uv]=u^v+uV

dx

2

(-6x+2)(2/+3)+(-3x+2%-1)(4元)

(-12x3+4x2-18x+6)+(-12x3+8x2-4x)

—24%3+12%2—22%+6

例题10.3.5M(X)=-3x2+2x-l，v(x)=lx1+3，求色

dx[^v

解：使用公式(10-7)解之如下：

duuv-uv

dx

(—6x+2)(2/+3)一(_3》2+2x-l)(4x)

(2-+3)2

(-12/+4/-18x+6)-(-12/+8/-4x)

4/+12/+9

12/一14x+6

4x4+12x2+9

例题10.3.6M(x)=X2-1'/(M)=+M(x)，求&[/(M(X))]

解：使用公式(10-8)及(10-9)解之如下：

=2M(X)M'(X)+M'(X)

=2(x2-l)(2x)+2x

=4x3-2x

Remark:本题亦可先代入M(X)到成^/(x)=---再求醇函数吉果相同。

例题10.3.7y=ln(/+l)，求y。

解：^M(X)=V+1加参考公式(10-10)解之如下：

%2+1

2

例题10.3.8y=log2(x+1)，求y。

解：

108第9章趣限舆^^

^M(X)=/—1旋参考公式(10/2)解之如下：

y'=—[logu]=---«'

dxa(lna)M

12x

—______________________)Y-_______________________

"(In2)(x2+1)--(In2)(x2+1)

Remark:在圈9-5中的第二象限，原函数曲《泉的dy悬It值，但公悬正值，故其醇

函数皆悬H。在IH中的第一象限，原函数曲《泉的dy舆dx皆悬正值，故其厚函数皆

^正。粗《泉是原函数曲《泉，《联泉是厚函数曲女泉。

H10-5自然封数函数(yl=Ln)，一般封数函数(y2=Log)及簿函数脩田缴的圈形。

例题10.3.9y=e(2/T)，求y。

解：

^心)=2--1旋参考公式(10-11懈之如下：

-eUu

dx

e2~4x=4

例题10.3.10y=1.5(2/T)，求y。

解：^M(X)=2——1加参考公式(10/3)解之如下：

y'=—[aM]=(Ina)。，'

dx

=(lnl.5)1.52x2T4x=4(lnl.5)xl.52?-1

Remark:在|ffl10-6中的第二象限，原函数曲《泉的dy悬H值，但dx悬正值，故其

簿函数皆悬K。在圈中的第一象限，原函数曲《泉的cfy典dx皆悬正值，故其簿函数

皆^正。粗《泉是原函数曲余泉，东联泉是簿函数曲余泉。

H10-6自然指数函数(yl=e)，一般指数函数(y2)及其厚函数脩期泉)的圈形。

例题10.3.11u(x)=-3x2+2x-l,求一心|]

dx

解：使用公式(10-14)解之如下：

u

3M1]=—U

dx|«|

(-3/+21)

(-6x+2)

|-3x2+2x-l|

110第9章趣限舆^^

18%3—6x~—12x~+4x+6x—2

|-3x2+2x-11

_18——18—+10x-2

一|-3/+2x—1|-

H10-7《色封值函数及其簿函数脩联泉)的圈形。

Remark:《色封值函数是正值函数，其IH形都在X1由之上。但其簿函数II示曲女泉的最

小值在%=0.333。在x<0.333的显域，增量燮化率逐渐超&爰。在x=0.333的黠;，

燮化率悬零。在x>0.333的显域，增量燮化率逐渐加速。

例题10.3.12y=sin(2x+1)，求y'

解：M=2x+1使用公式(10-15)解之如下:

y'=-[sinu]=(cosM)M'

dx

=(cos(2x+l))2

=2cos(2x+1)

例题10.3.13y=cos(3x-1)，求y'

解：^M=3X-1使用公式(10-16)解之如下：

y'=-[COSM]=(-sinM)w'

dx

=(-sin(3x-l))3

=-3sin(3x-1)

HI10-8正弦函数(yl=sin)＞食余弦函数(y2=cos)及簿函数的H［形。

Remark:ffl10-8粗a泉频率低(波晨率交房，即相舜B刖波峰或波谷的距离隹较晨)的曲《泉函

数是y=sin(2x+1)，其厚函数曲^的波幅(以水平冬泉悬襟举，往上或往下的距离隹)悬

2。另一粗名泉步真率高的曲名泉函数是y=cos(3x-l)＞其厚函数曲《泉的波幅悬3。由上述

可知角度内的数字影警频率，函数前的数字影警振幅。

第10章雪题

10.1y=x3-2x2+3%-4，求y^^出y及旷之IH形。

^的方法如下：

(1)在Excel的第1列维入资料x,y及歹。在A2及A3/建入资料-6.5及-6，同

112第9章趣限舆^^

日寺逗A2及A3，符滑鼠遁檄置A3右下角，富避襟傅燮成^心「+」，按住左

维向下拉，直到6.5出现。

(2)在B2JT=A2A3-2*A2A2+3*A2-4，向下^^、贴上到B#n。

(3)在C2打=3*A2人2-4*A2+3，向下^^、贴上到C#n。

(4)M［插入］、［HI表］、［XY散伟圈|］，逗中^右遏的平滑曲女泉圈，［下一步］。

(5)资料靶圉:Al:C#n，数列资料取自。楠，［下一步］。

(6)用俞入H］表襟题及x年由y年由，［下一步］。

(7)。工作表中的物件:Sheetl、园画。

(8)在圈的遏?彖黠:一(此勤作是illH)，21［格式］，［逗定圈表II域］，可I0整字型、

IH檬等项。(簿出圈形之^似H10-3)

ABC

1Xyy

2-6.5-382.63155.75

3-6-310.00135.00

4-5.5-247.38115.75

i---

#n6.5205.63103.75

10.2w(x)=x2+2，v(x)=2/+九一1，求

(a)^-[w+v]，

ax

(b)^-[z/-v]，

ax

(c)3"v】，

ax

10.3求下列函数之厚函数(y')，加且仿效第1题之方法，簿出y典之圈形：

(a)y=ln(3x2一元+1)，

(b)y=e('+i)，

(c)y=2("+D,

(d)y=sin(3x一1)，

(e)y=cos(3x-1)°

10.4求下列函数之醇函数(了)，加且彳放效第i题之方法，^出y舆y之圈形：

(a)y=ln(3x2-x+1)+e('+i)，

(b)y=2(/+D_2(*T)，

(c)y=sin(3x-1)+cos(3x+1)，

第11章厚函数的愿用ApplicationsoftheDerivative

上一章已^^簿函数及微分的原理作精曾的介貂，探言寸醇函数及其中一些基本

114第9章趣限舆^^

微分法即典例题。本章揩J1用上一章的知，做迤一步的)1用。道些J1用包括在定

羲域中的趣大值和趣小值，曲名泉在x=c的斜率，最佳化的取得及曲名泉性^迤一步的

探言寸。

11.1趣值(Extrema)

趣值是^^函数人功在X等於某特定值日寺所呈现的趣大或趣小的数值，通常可

以用^出圈形或求出醇数(derivatives)或厚函数值来取得。函数人功的厚函数/'(x)在

c的厚数,即r©,亦可言招H,半或3°

axx=caxx=c

11.1.1趣大值舆趣小值

在其定羲域I［a,0中包括c>若所有的x在/中，有/(c)</(%)之旅帆系>MQ

/(c)是/在定羲域I中的趣小值(minimum)或《色基寸趣小值(absoluteminimum)。

在其定羲域I［a,0中包括c，若所有的x在/中，有/(c)>/(%)之信昌保，MIJ

/(c)是/在定羲域I中的趣大值(maximum)或《色堂寸趣大值(absolutemaximum)°

定理11.1趣值定理

若/在［«,b］中速^，即/在此^^中有趣小值典趣大值。

的自燮数X在其^放^^3。)中包括C，若/(C)是^放^^中的趣小值，

MflW/(c)^相封趣小值(relativeminimum)°

的自燮数x在其^放^^3。)中包括c，若/(c)是^放^^中的趣大值，

MQW/(c)卷相当寸趣大值(relativemaximum)。

Remark:《色螯寸趣值典相封趣值存在的基本脩件是函数须要^^，趣值的分辨在

於定羲域是封朗或^放。

例题11.1.1求f(x)=x3-3x2-x+2.5的趣值。

解：参考圈11-1,在封朗［-1.344,3,4205］，富x=-1.344，函数/有《色封趣小值

-4.00；富龙=3.4205，函数/有《色螯寸趣大值4.00。若^^放(-1.344,3.4205)>

<x=-0.15,函数，有相封趣大值2.58；常尤=2.15,函数/有相封趣小值-3.58。

11.1.2陶界值

定羲：在。可定羲。若r(c)=o或不能定羲r(c)之值，期」人。)悬函数/的

陶界值(criticalnumber)。下述雨定理是求出簿函数加瞬言登簿数广⑹是否^^界值的

根操。

定理11.2陶界值定理

若/在X=c曰寺有相螯寸趣小值或相螯寸趣大值，MQc悬/的陶界值。

定理11.3箍勒定理(Rolle'sTheorem)

在朗国［a,b］中速旋且在中/'存在。若/(a)=/s)，刖

至少有一数c在伍,。)中使r(c)=o。

例题11.1.2

求〃%)=2尤一3，,+2在封［-1,3］及^放11孰-1,3)中的趣值。

解：符函数微分得

f'(x)=2---3x(2/3H=2-2%-1/3=2--1―

J、'2丫1/3

J人

若X=1，刖/'(I)=0。若X=0，即不能定羲/'(0)之值。根撼陶界值的定羲，X=1

或x=0是趣值可能存在的黠i。若^封，需要舆左右雨端黠做比较，由Iffl1L2

116第9章趣限舆^^

可知解答。若是封朗，解螯寸腌小在(-1,-3)，脩色封腌大在(0,2)。若是^放，

(相勤趣小在(1,1)，(相螯寸)趣大在(0,2)。

H11-2封朗^之趣值

11.2一F皆簿函数横瞬

函数(值)在某^的增量或减量可根操一睹簿函数横瞬之，其定理如下所述：

定理11.4增量或减量函数的横瞬

^函数)在封Ic=[a,b]，且在^放^^Io=(a,b)可微分(可求出

醇函矍攵)°

1.若所有在Io的X可有f\x)>0>期」/在Ic尉曾量。

2.若所有在Io的x可有((%)<0，即」/在Ic葡咸量。

3.若所有在Io的X可有r(x)=0，即/在Ic焉常数。

定理11.5相螯寸趣值之横瞬

1.以x=c^型，若函数/由减量^^增量，即《潟/之相和亟小。

2.以x=c；M型，若函数/由增量燮悬减量，即之相封趣大。

例11.2.1求函数/(x)=(%2-4)2/3一3的相封趣值。

74

解：一B皆簿函数焉/3)=3(1-4尸32%=3式/—4尸3。IH11.3的粗玄泉圈形是函

数，余熊泉圈形是簿函数。

H11-3由簿函数可找出趣值

根撼定理11.4®11.5得下列女吉辛病：

一8<x<一2-2<x<00<x<22<X<OO

横瞬值X=-3-113

r之正或K—+—+

，之增或;咸量M增增

函数相堂寸趣大值的黠1(0,-0.48)，相封趣小值的黠1(-2,-3)舆(2,-3)。雨脩渐近/泉^X=

-2舆x=2°

11.3二E皆簿函数横瞬

函数在某^放的向上凹(concaveupward)「H」或向下凹(concavedownward)

「U」可根操二隋簿函数横瞬之，其定理如下所述：

定理11.5向上凹或向下凹的横瞬

函数/在^放可微分丽次,即可求出二B皆簿函数了”。

1.若所有在I。的x可有/”(x)>0，即」/在1。^向上凹。

118第9章趣限舆^^

2.若所有在I。的x可有/”(x)<0，即」/在1。悬向下凹。

定理11.6反曲黑占(inflectionpoint)的椀瞬

在c可定羲。若(。,"))悬/的反曲黠，即广(。)=0或不能定羲尸⑹之值。

定理11.7二卜皆簿函数相螯寸趣值之椀瞬

假如/的/'(c)=0>且在C所在^放^^Io=伍,。)可微分甬次>

L若/(c)>0，即《潟相和1小。

2.若/(%)<0，即上潟相封趣大。

3若r5)=0，即相封趣值辗法横瞬，而(c，Hc))可能悬反曲黠；。

例题11.3.1求/(x)=/—3/—x+2.5之画直及反曲黑占。

解:/'(X)=3X2-6X-1

f'(%)=3x2-6x-1=0，

得Xi=-0.15»X2=2.15

/(-0.15)=(-0.15)3-3-(-0.15)2-(-0.15)+2.5=2.58

/(2.15)=2.153-3X2.152-2.15+2.5=-3.58

/"(x)=6x-6

/"(-0.15)=6-(-0.15)-6=-6.9<0，向上凹，相螯寸趣大黑占(—0.15,2.58)

/"(2.15)=6x2.15-6=6.9>0，向下凹>相封趣小黑占(2.