备战高考数学一轮复习讲义微专题5　导数中的构造问题

导数中的构造问题根据求导公式解决抽象不等式例1(2022·淮安模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f′(x)，若对任意x∈[0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0恒成立，则下列结论正确的是(C)A.f(0)<0B.9f(－3)<f(1)C.4f(2)>f(－1)D.f(1)<f(2)解析：令x＝0，则2f(0)＋0>0，所以f(0)>0，故A错误；令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，当x>0时，由2f(x)＋xf′(x)>0，可得2xf(x)＋x2f′(x)>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为偶函数f(x)的定义域为R，所以g(x)＝x2f(x)为偶函数，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(－3)＝g(3)>g(1)，即9f(－3)>f(1)，故B错误；g(2)>g(－1)，即4f(2)>f(－1)，故C正确；由题意，不妨假设f(x)＝c>0(c为常数)，符合题意，此时f(1)＝f(2)＝c，故D错误．变式设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(A)A.(－∞，－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1，＋∞)解析：构造新函数g(x)＝eq\f(fx,x)，g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)，当x>0时，g′(x)<0，所以在(0，＋∞)上，g(x)单调递减．又f(1)＝0，即g(1)＝0，所以由g(x)＝eq\f(fx,x)>0可得0<x<1，此时f(x)>0.由g(x)＝eq\f(fx,x)<0可得x>1，此时f(x)<0.又f(x)为奇函数，所以使得f(x)>0成立的x的取值范围为(－∞，－1)∪(0,1)．构造“形似”函数解决比较大小问题例2(多选)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则(CD)A.ea－eb<lna－lnbB.blna<alnbC.eq\f(b,a)<ea－bD.eq\f(sina－sinb,a－b)<1解析：由2a>2b>1，得a>b>0.对于A，若y＝ex－lnx且x∈(0，＋∞)，则y′＝ex－eq\f(1,x)，故y′|x＝eq\f(1,2)＝eq\r(,e)－2<0，y′|x＝1＝e－1>0，即y′在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上存在零点且y′在(0，＋∞)上单调递增，所以y在(0，＋∞)上不单调，则ea－lna<eb－lnb不一定成立，排除A；对于B，若y＝eq\f(lnx,x)且x∈(0，＋∞)，则y′＝eq\f(1－lnx,x2)，当x∈(0，e)时，y′>0，y单调递增；当x∈(e，＋∞)时，y′<0，y单调递减．故y在(0，＋∞)上不单调，则eq\f(lna,a)<eq\f(lnb,b)不一定成立，排除B；对于C，若y＝xex且x∈(0，＋∞)，则y′＝ex(x＋1)>0，即y在(0，＋∞)上单调递增，所以aea>beb，即eq\f(b,a)<ea－b，C正确；对于D，若y＝x－sinx且x∈(0，＋∞)，则y′＝1－cosx≥0，即y在(0，＋∞)上单调递增，所以a－sina>b－sinb，即eq\f(sina－sinb,a－b)<1，D正确．变式(2022·连云港模拟)已知a>b>0，且aeq\f(1,a)＝beq\f(1,b)，则(C)A.0<b<eq\f(1,e) B.0<b<1C.1<b<e D.b>e解析：因为aeq\f(1,a)＝beq\f(1,b)>0，a>b>0，所以lnaeq\f(1,a)＝lnbeq\f(1,b)，即eq\f(lna,a)＝eq\f(lnb,b).设f(x)＝eq\f(lnx,x)(x>0)，由f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)>0，解得0<x<e，由f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)<0，解得x>e，所以函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．因为a>b>0，则当f(a)＝f(b)时，b<e.又因为当x>e时，f(x)＝eq\f(lnx,x)>0，所以f(b)＝f(a)>0.因为f(1)＝0，所以f(b)>f(1)，所以b>1.综上，1<b<e.1.构造可导积函数序号条件构造函数1f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)≥0F(x)＝f(x)g(x)2f′(x)＋f(x)<0F(x)＝exf(x)3f′(x)＋nf(x)<0F(x)＝enxf(x)4xf′(x)＋f(x)>0F(x)＝xf(x)5xf′(x)＋2f(x)≤0F(x)＝x2f(x)6xf′(x)＋nf(x)>0F(x)＝xnf(x)7f′(x)sinx＋f(x)cosx>0F(x)＝f(x)sinx8f′(x)cosx－f(x)sinx>0F(x)＝f(x)cosx2.构造可导商函数(1)eq\f(f′x－nfx,enx)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,enx)))′，特别地eq\f(f′x－fx,ex)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,ex)))′；(2)eq\f(xf′x－nfx,xn＋1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,xn)))′，特别地eq\f(xf′x－fx,x2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,x)))′，eq\f(xf′x－2fx,x3)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,x2)))′；(3)eq\f(f′xsinx－fxcosx,sin2x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,sinx)))′；(4)eq\f(f′xcosx＋fxsin