新九年级数学时期讲义第11讲图形的相似-提高班(学生版+解析)

第11讲图形的相似1.平行线分线段成比例1比例性质：①；②（其中b叫做比例中项）2更比性质(交换比例的内项或外项)：3反比性质(把比的前项、后项交换)：．4合、分比性质：．5等比性质：如果，那么6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。【例题精选】例1(2023•拱墅区校级模拟）如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝1：2，BF＝6，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4例2(2023•拱墅区校级一模）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4【随堂练习】1．(2023秋•长清区期末）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A． B． C． D．2．(2023秋•江干区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（）A．4 B．6 C．7 D．93．(2023秋•龙华区期末）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，AB＝6，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62.相似多边形及性质相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.【例题精选】例1(2023秋•吴江区期末）下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（）A．三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．圆例2(2023秋•松桃县期末）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个矩形 B．都有内角是80°的两个等腰三角形 C．两个菱形 D．都有内角是100°的两个等腰三角形【随堂练习】1．(2023秋•长春期末）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积2．(2023秋•二道区期末）若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（）A．16倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍3．(2023秋•漳州期末）若两个相似五边形的相似比为3：5，则它们的面积比为（）A．3：5 B．5：3 C．9：25 D．25：94．(2023秋•滨湖区期末）若两个相似多边形的面积之比为4：9，则这两个多边形的周长之比为（）A．： B．2：3 C．4：9 D．16：813.相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.

（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.

直角三角形相似判定定理

斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【例题精选】例1(2023秋•兴国县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．例2(2023秋•富平县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是上AB一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．【随堂练习】1．(2023秋•广丰区期末）如图，在△ABC中，D是BC上的点，且AB＝AC＝DC，∠B＝36°．求证：△ABC∽△DBA．4.相似三角形的综合应用【例题精选】例1(2023秋•娄星区期末）如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）A．18m B．15m C．20m D．16m例2(2023秋•和平区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE＝1.2m．测得AB＝1.6m．BC＝18.4m．则建筑物的高CD＝（）A．13.8m B．15m C．18.4m D．20m【随堂练习】1．(2023•延边州二模）如图有一块四边形草地ABCD，AD∥BC，其中AB＝4，BC＝5，由于连续降雨使AD间积满污水，现在BA、CD的延长线的交点P处测得PA＝3，则AD的长度为（）A．2 B． C． D．2．(2023•福田区校级模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米3．(2023秋•行唐县期末）在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A． B． C．2倍 D．3倍4．(2023秋•灯塔市期末）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A．10米 B．9.6米 C．6.4米 D．4.8米综合运用：1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，（1）求AB的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．5.正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．

（1）求AD的长；

（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．第11讲图形的相似1.平行线分线段成比例1比例性质：①；②（其中b叫做比例中项）2更比性质(交换比例的内项或外项)：3反比性质(把比的前项、后项交换)：．4合、分比性质：．5等比性质：如果，那么6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。【例题精选】例1(2023•拱墅区校级模拟）如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝1：2，BF＝6，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：先判断四边形BDEF为平行四边形得到DE＝CF，再利用平行线分线段成比例，由DE∥BC得到＝，然后利用比例性质得到＝，从而可得到DE的长．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝CF，∵DE∥BC，∴＝，∵AE：EC＝1：2，∴AE：AC＝1：3，∴＝，∴DE＝3．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．例2(2023•拱墅区校级一模）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4分析：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，DE＝3.6，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•长清区期末）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：C．2．(2023秋•江干区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（）A．4 B．6 C．7 D．9【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DE＝4．故选：A．3．(2023秋•龙华区期末）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，AB＝6，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AE＝2CE，AB＝6，∴AD＝AB＝4，故选：B．2.相似多边形及性质相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.【例题精选】例1(2023秋•吴江区期末）下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（）A．三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．圆分析：根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．【解答】解：A、两个三角形不一定相似，如等边三角形和直角三角形，故此选项不符合题意；B、两个平行四边形不一定相似，如矩形和菱形，故此选项不符合题意；C、两条抛物线不一定相似，故此选项不符合题意；D、两个圆一定相似，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形定义．例2(2023秋•松桃县期末）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个矩形 B．都有内角是80°的两个等腰三角形 C．两个菱形 D．都有内角是100°的两个等腰三角形分析：根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．【解答】解：A、任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；不符合题意；B、都有内角是80°的两个等腰三角形，不一定相似，B错误；不符合题意；C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；不符合题意；D、都有内角是100°的两个等腰三角形，一定相似，D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•长春期末）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积【解答】解：∵用一个放大镜去观察一个五边形，∴放大后的五边形与原五边形相似，∵相似五边形的对应边成比例，∴各边长都变大，故A选项错误；∵相似五边形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；∵相似五边形的周长得比等于相似比，∴C选项错误．∵相似五边形的面积比等于相似比的平方，∴D选项错误；故选：B．2．(2023秋•二道区期末）若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（）A．16倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍【解答】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4＝16倍．故选：A．3．(2023秋•漳州期末）若两个相似五边形的相似比为3：5，则它们的面积比为（）A．3：5 B．5：3 C．9：25 D．25：9【解答】解：∵两个相似五边形的相似比为3：5，∴它们的面积比为：9：25．故选：C．4．(2023秋•滨湖区期末）若两个相似多边形的面积之比为4：9，则这两个多边形的周长之比为（）A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为4：9，∴两个相似多边形的对应边的比为2：3，∴两个相似多边形的周长的比为2：3，故选：B．3.相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.

（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.

直角三角形相似判定定理

斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【例题精选】例1(2023秋•兴国县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．分析：（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝9∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5；∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴＝，∴CD＝＝＝，（2）证明：∵＝＝，＝＝∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．例2(2023秋•富平县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是上AB一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．分析：由角平分线的定义可得出∠DBE＝∠CBD，结合BD2＝BC•BE（即），即可证出△BCD～△BDE．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD．∵BD2＝BC•BE，∴，∴△BCD～△BDE．【点评】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•广丰区期末）如图，在△ABC中，D是BC上的点，且AB＝AC＝DC，∠B＝36°．求证：△ABC∽△DBA．【解答】证明：∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠C＝36°．又∵AC＝DC，∴∠DAC＝＝72°．∴∠DAB＝180°﹣2×36°﹣72°＝36°，∴∠DAB＝∠C．又∵∠B是公共角，∴△ABC∽△DBA．4.相似三角形的综合应用【例题精选】例1(2023秋•娄星区期末）如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）A．18m B．15m C．20m D．16m分析：利用镜面对称，注意寻找相似三角形，根据比例求出AB．【解答】解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE，∴＝，∴＝，∴AB＝15米．故选：B．【点评】考查了相似三角形的性质，运用镜面对称性质，得到三角形相似，再由相似比三角形对应边成比例得出最后结果，比较简单．例2(2023秋•和平区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE＝1.2m．测得AB＝1.6m．BC＝18.4m．则建筑物的高CD＝（）A．13.8m B．15m C．18.4m D．20m分析：先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.2，AB＝1.6，BC＝18.4，∴AC＝20，∴，∴CD＝15．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．【随堂练习】1．(2023•延边州二模）如图有一块四边形草地ABCD，AD∥BC，其中AB＝4，BC＝5，由于连续降雨使AD间积满污水，现在BA、CD的延长线的交点P处测得PA＝3，则AD的长度为（）A．2 B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD中，AD∥BC，∴△PAD∽△PBC，∴PA：PB＝AD：BC，∵PA＝3，AB＝4，BC＝5，∴3：7＝AD：5，解得：AD＝，故选：C．2．(2023•福田区校级模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得：BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．故选：D．3．(2023秋•行唐县期末）在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A． B． C．2倍 D．3倍【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．∵AB∥CD，∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，∴＝＝＝（相似三角形的对应高的比等于相似比），∴CD＝AB，故选：A．4．(2023秋•灯塔市期末）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A．10米 B．9.6米 C．6.4米 D．4.8米【解答】解：设树高为x米，因为＝，所以＝，解得：x＝9.6．答：这棵树的高度为9.6米．故选：B．综合运用：1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．解析：解：设=x，得a=4x，b=5x，c=7x．∵a+b+c=48，∴4x+5x+7x=48，解得x=3，∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．解析：解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴则==+1①．∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴==代入①，=+1，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．