人教版七年级数学上册专题09线段上动点问题压轴题的四种考法(原卷版+解析)

专题09线段上动点问题压轴题的的四种考法类型一、线段之间数量关系问题例．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；（2）在（1）的条件下，若，求t的值；（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．【变式训练2】如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点．（1）如图2，当与重合时，，；（2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3．①若，求和的长；②若，则的值是．（3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系．类型二、定值问题例．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，(1)填空：，；(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．(1)当t＝1时，PQ＝cm；(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．（1）求线段，的长；（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．类型三、时间问题例．如图，点A、B都在数轴上，点O为原点，设点A、B表示的数分别是m、n，且m与n满足．（1）若动点P从点A出发，沿数轴向左以每秒4个单位长度的速度运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒6个单位长度的速度运动，已知点P与点Q同时出发，且P、Q两点重合后同时停止运动，设点P运动时间为t秒．①当的长为4时，求t的值；②若点M为的中点，点N为的中点，且，求t的值．（2）点P沿着以每秒4个单位长度的速度往返运动1次，点Q沿着以每秒6个单位长度的速度往返运动1次．若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，当时，求t的值．【变式训练1】如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足．（1）点表示的数是___________，点表示的数是____________．（2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？【变式训练2】如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.

（1）点、在数轴上对应的数分别为______和______.（2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.①经过几秒后，；②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？类型四、求值例．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【变式训练】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，①求线段AM的值，②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值课后训练1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．(1)直接写出：____________，_____________；(2)若，当点C、D运动了，求的值；(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有①A、B两点的中点表示的数为；②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a．【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0（1）求出A、B两点的中点C表示的数；（2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的2倍，求点D的运动速度是每秒多少个单位长度？【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．3．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．(1)填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数．(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．

专题09线段上动点问题压轴题的的四种考法类型一、线段之间数量关系问题例．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据题意表示出和的长度，然后即可求出；（2）根据题意表示出和的长度，再表示出和的长度，即可发现和之间的数量关系；（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出和，即可发现，，三者之间的数量关系．【详解】（1）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，∴．（2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，因为，所以，因为，所以．（3）如图①，当点M在点B的左侧时，，所以；如图②，当点M在点B的右侧时，，所以．综上所述，或．【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；（2）在（1）的条件下，若，求t的值；（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，见解析【分析】（1）由点A表示的数为，AO＝2OB可知，可求出OB，AB长，从而得出结论；（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝6+t，分别代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值；（3））设线段的长为b，则

，分两种情况去绝对值，求出t的值，即可解决问题．【详解】（1）∵点A表示的数为，AO＝2OB，∴AO＝12，OB＝6，∴AB＝18，∴线段中点表示的数为3．故答案是：6；﹣3；（2）当P､Q相遇时，（秒），∴．当点P在上时，，∵，∴，，符合；当点P在原点O右侧时，，∵，，，符合．综上所述，若，t的值为或13.（3）设线段的长为b，则．∵点P在线段上运动，∴．．若，则，∴，∴，解得．∴，又∵，∴；若，则，∴，∴，解得．∴．∵．∴．综上所述，线段与线段之间的数量关系为或．【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．【变式训练2】如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点．（1）如图2，当与重合时，，；（2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3．①若，求和的长；②若，则的值是．（3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系．【答案】（1）5，2.5；（2）①=2，=1；②1；（3）AM=2BC．【分析】（1）当与重合时，AM=MN-NA=5,由点是的中点．由，可得AC=BC=；（2）①由线段沿直线向左移动个单位长度,可得BN=可求=MN-AN=2，由点是的中点．NC=AC=，可求；②由，解方程即可；（3）又线段沿直线向由移动个单位长度,BN=，可得AN=5-b，可求=MN-AN=5+b，由点是的中点．可求NC=AC=，可求=CN+BN=即可．【详解】解：（1）当与重合时，AM=MN-NA=MN-BA=10-5=5，∵点是的中点．∴点是的中点，∵，∴AC=BC=，故答案为：5，2.5；（2）①∵线段沿直线向左移动个单位长度，∵，∴BN=，∴AN=AB+BN=5+=8，∴=MN-AN=MN-（AB+BN）=10-（5+3）=2，∵点是的中点．∴NC=AC=，=CN-BN=4-3=1；②∵，，即，，=1，故答案为：１；（3）∵线段沿直线向由移动个单位长度，∴BN=，∴AN=AB-BN=5-b，∴=MN-AN=10-（5-b）=5+b，∵点是的中点．∴NC=AC=，∴=CN+BN=，∴AM=2BC．故答案为：AM=2BC．【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差列方程，理解线段和差是解题关键．类型二、定值问题例．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，(1)填空：，；(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．【答案】(1)8，；(2)；(3)的值不会发生变化，详见解析【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解；（2）先求出，可得，即可求解；（3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案为：8，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴点C表示的数为；（3）解：的值不会发生变化，依题意得：，∴，，∴，∴的值不会发生变化．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．(1)当t＝1时，PQ＝cm；(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)3.5(2)t为2或时，点C为线段PQ的中点(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长；（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可．（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．【详解】（1）解：当时，∵∴，∴．故答案为：3.5．（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，∴．∵∴．①当Q由C往B第一次运动时，即时，此时，，∴，∵点C为线段PQ的中点，∴，即，解得：；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，此时，，∴，解得：，不符合题意舍；③当Q由C往B第二次运动时，即时，此时，，∴，解得：；综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点；（3）根据（2）可知．∵点M是线段CQ的中点，∴．①当Q由C往B第一次运动时，即时，此时，．∵，∴，∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．②当Q由B往C点第一次返回时，即时，此时，，∴，∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；③当Q由C往B第二次运动时，即时，此时，，∴，∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．综上可知PM的长度为3cm或1cm．【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键．【变式训练2】如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．（1）求线段，的长；（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求，即可；（2）分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时，利用中点可求AM，DN，利用线段和差求AD，可求MN=AD-AM-DN即可；（3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可．【详解】解：（1）由，，，得，，所以，；（2）当点在点的右侧时，如图，因为点，分别为线段，的中点，，所以，，又因为，所以，当点在点的左侧时，如图，因为点，分别为线段，的中点，所以，，所以所以．综上，线段的长为9；（3）②正确，且．理由如下：因为点与点重合，所以，所以，所以，所以．【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC．【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5DE的值为定值，且定值为0．【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=AC，DN=BN=BD∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC+CD+BD+CD=(AC+CD+BD)+CD=(AB+CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：解得：a=2在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点∴CE=BE=BC=2+t；Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC5DE的值为定值，且定值为0．【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．类型三、时间问题例．如图，点A、B都在数轴上，点O为原点，设点A、B表示的数分别是m、n，且m与n满足．（1）若动点P从点A出发，沿数轴向左以每秒4个单位长度的速度运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒6个单位长度的速度运动，已知点P与点Q同时出发，且P、Q两点重合后同时停止运动，设点P运动时间为t秒．①当的长为4时，求t的值；②若点M为的中点，点N为的中点，且，求t的值．（2）点P沿着以每秒4个单位长度的速度往返运动1次，点Q沿着以每秒6个单位长度的速度往返运动1次．若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，当时，求t的值．【答案】（1）①2；②无解；（2）或0.9或2.3或2.5【分析】（1）①由题意易得点A表示的数为-6，点B表示的数为2，则有点表示的数为，点表示的数为，进而可得，然后问题可求解；②由①可得，，由点M为的中点，点N为的中点，可得，，然后由可求解，最后结合点P、Q两点重合后同时停止运动可求解；（2）由题意得点、第一次相遇时的时间为秒；点、第二次相遇时的时间为2.4秒，则可分①当点、在第一次相遇前相距1个单位长度时，即，则有；②当点、在第一次相遇后相距1个单位长度时，即，；③当点、在第二次相遇前相距1个单位长度时，即，；④当点、在第二次相遇后相距1个单位长度时，即，，然后求解即可．【详解】解：（1）①∵，∴，∴点A表示的数为-6，点B表示的数为2，由题意可得点运动的路程为，点运动的路程为，∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，∴，∵，∴，解得：；②由①可得，，，当点、重合时，则有，即，∵点M为的中点，点N为的中点，∴，，∴，∵，∴，解得：，∵5＞4，∴不符合点P、Q两点重合后同时停止运动，∴当时，t无解；（2）由题意得：点、第一次相遇时的时间为，解得：；∴此时点离点B的距离为6×0.8=4.8，点离点A的距离为4×0.8=3.2，∴点到达点B的时间为4.8÷4=1.2秒，此时点与的距离为6×1.2-3.2=4，∴点、第二次相遇时的时间为0.8+1.2+4÷10=2.4秒，①当点、在第一次相遇前相距1个单位长度时，即，如图所示：∴，解得：；②当点、在第一次相遇后相距1个单位长度时，即，如图所示：∴，解得：；③当点、在第二次相遇前相距1个单位长度时，即，如图所示：∴，解得：；④当点、在第二次相遇后相距1个单位长度时，即，如图所示：∴，解得：；综上所述：当时，或0.9或2.3或2.5．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题，熟练掌握一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题是解题的关键．【变式训练1】如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足．（1）点表示的数是___________，点表示的数是____________．（2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或秒．【分析】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；（2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；（3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵满足，∴a+2＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣2，b＝5，即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5；故答案为：﹣2，5；（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，列方程得，7﹣3x﹣x＝3，解得：x＝1，答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度；（3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，∵AP的中点为M，BQ的中点为N，∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，如图1，当点P、M都在点B的左侧时，BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，∵BM+AN＝3PB，∴7﹣t+7﹣t＝3（7﹣3t），解得：t＝1；如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时，BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，∵BM+AN＝3PB，∴7﹣t+7﹣t＝3（3t﹣7），解得：t＝；③如图3，当点P、M都在点B的右侧时，BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，∵BM+AN＝3PB，∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7），解得：t＝（舍去）；综上所述，当t为1秒或秒时，BM+AN＝3PB．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程．【变式训练2】如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.

（1）点、在数轴上对应的数分别为______和______.（2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.①经过几秒后，；②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？【答案】（1）-2和4；（2）①经过秒或秒，；②经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点.【分析】(1)设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b.根据题意确定a、b的正负,得到关于a、b的方程，求解即可;(2)①设t秒后OA=3OB.根据OA=3OB，列出关于t的一元一次方程，求解即可;②根据中点的意义，得到关于t的方程，分三种情况讨论并求解:点P是AB的中点;点A是BP的中点;点B是AP的中点.【详解】（1）设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,则OA=-a，OB=b∵，∴OA+OB=6∴-a+b=6∵.∴b=-2a∴∴∴点A在数轴上对应的数为-2,点B在数轴上对应的数为4故答案为：-2和4；（2）①设秒后，，则点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t，故OA=2+t情况一：当点在点右侧时，故OB=4-2t∵则，解得：.情况二：当点在点左侧时，，故OB=2t-4∵则，解得：.答：经过秒或秒，.②设经过秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点，此时点P在数轴上对应的数为t,点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t当点是的中点时，则，解得：.当点是的中点时，则.解得：.当点是的中点时，则解得：（不合题意，舍去）答：经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点.【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程、线段的中点及分类讨论的思想.题目综合性较强.掌握数轴上两点间的距离公式是解决本题的关键.数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数.类型四、求值例．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．（2）解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM故答案为：．（3）解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB，∴=1,即=．综上所述＝或【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答．【变式训练】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，①求线段AM的值，②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值【答案】（1），；（2）①；②或1【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得；（2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以；（3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得．【详解】解：（1）根据题意知，，，，，，，，故答案为：，；（2）①根据、的运动速度知：，，，即，，，；②当点在线段上时，如图，，又，，，；当点在线段的延长线上时，如图，，又，，；综上所述：或1．【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解．课后训练1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．(1)直接写出：____________，_____________；(2)若，当点C、D运动了，求的值；(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．【答案】(1)1，3；(2)8cm；(3)或【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；（2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可；（3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可．【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0∴a-1=0，b-3=0，∴a=1，b=3，故答案为：1；3；（2）当C、D运动时，，，∴．（3）当点N在线段上时，∵，又∵，∴，∴．当点N在线段的延长线上时，∵，又∵，∴．综上所述，或．【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键．2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有①A、B两点的中点表示的数为；②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a．【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0（1）求出A、B两点的中点C表示的数；（2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的2倍，求点