新人教版高二暑期数学衔接第01讲平面向量的数量积(主干知识复习)讲义(学生版+解析)

第01讲平面向量的数量积【学习目标】1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.【基础知识】一．平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2.平面向量的数量积(1)设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。解读：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．二、投影向量1.向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．2.向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).3.注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).三、平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则1.e·a＝a·e＝|a|cosθ.2.a⊥b⇔a·b＝0.3.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.四、平面向量数量积满足的运算律1.a·b＝b·a；2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到1.若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3.设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4.若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).六、平面向量数量积运算的常用公式1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.七、平面向量与三角函数的综合问题的解题思路1.题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．2.给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．八、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3.把运算结果“翻译”成几何关系.【考点剖析】考点一：利用定义求平面向量的数量积例1．(2022学年陕西省榆林市绥德中学、府谷中学高一下学期期中)已知向量，满足，，则(

)A．4 B．3 C．2 D．1考点二：向量的投影向量例2．(2022学年天津市河北区高一下学期期中)已知，，与的夹角为135°，则在方向上的投影向量为(

)A．－ B． C． D．考点三：利用数量积的性质求向量的模例3．(2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试)已知，是平面内的两个向量，，且，则(

)A． B． C． D．考点四：利用数量积性质求向量的夹角例4．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)已知在方向上的投影向量为，则与夹角的正弦值为___________.考点五：利用数量积求解垂直问题例5．(2022学年河南省商丘市一高高一下学期五月月考)已知向量，满足，，，若，则实数的值为(

)A．2 B． C．9 D．考点六：数量积的坐标运算例6．(2022学年福建省莆田第一中学高一下学期期中)已知向量，点，，则向量在上的投影向量的模长为(

)A． B． C． D．考点七：建立坐标系求解几何图形中的数量积问题例7．(2022学年河南省安阳市高一下学期联考)已知正方形的边长为2，为正方形的内部或边界上任一点，则的最大值是(

).A．1 B．2 C．3 D．4【真题演练】1．(2020年高考全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足，，，则 ()A． B． C． D．2．(2019年高考全国卷Ⅱ卷)已知，，，则 ()A． B． C． D．3．(2018年高考全国卷Ⅱ)已知向量，满足，，则 ()A．4 B．3 C．2 D．04．(2021年高考全国卷Ⅱ)已知向量．若，则________．5．(2021年高考全国卷Ⅰ)已知向量，若，则__________．6．(2020年高考全国卷Ⅰ)设为单位向量，且，则______________．7．(2020年高考全国卷Ⅱ)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．8．(2019年高考全国卷Ⅲ)已知，为单位向量，且，若，则___________．【过关检测】1．(2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期期中)已知点，则向量在方向上投影向量为(

)A． B． C． D．2．(2022学年江苏省常州市第二中学高一下学期5月学情调研)已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为(

)A． B． C． D．3．(2022学年河南省南阳市六校高一下学期第二次联考)已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是(

)A． B．C． D．4.(2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中)如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为(

)A． B． C． D．5．(2022学年山东省菏泽市高一下学期期中)已知正方形ABCD的边长为1，向量，满足，，则(

)A． B．C． D．6.(2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中)如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是(

)A． B． C． D．7．(2022学年上海交通大学附属中学高一下学期线上教学反馈)点O在所在的平面内，则下列说法正确的是(

)A．若，则点O是的外心B．若，则点O是的内心C．若，则点O是的外心D．若，则点O是的垂心E．若，则点O是的内心F．若，则点O是的垂心8.(2022学年江苏省淮安市淮安区高一下学期期中)如图，平面向量，的夹角是60°，||＝4，||＝2，平面内任意一点E关于点B对称点为F，点F关于点C的对称点为点G，则＝______．9.(2022学年浙江省A9协作体高一下学期期中联考)已知平面向量，，，满足，，，，则的最小值为________.10.(2022学年河北省保定市部分学校高一下学期第二次月考)已知向量，，，则____________.第01讲平面向量的数量积【学习目标】1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.【基础知识】一．平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2.平面向量的数量积(1)设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。解读：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．二、投影向量1.向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．2.向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).3.注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).三、平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则1.e·a＝a·e＝|a|cosθ.2.a⊥b⇔a·b＝0.3.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.四、平面向量数量积满足的运算律1.a·b＝b·a；2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到1.若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3.设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4.若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).六、平面向量数量积运算的常用公式1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.七、平面向量与三角函数的综合问题的解题思路1.题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．2.给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．八、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3.把运算结果“翻译”成几何关系.【考点剖析】考点一：利用定义求平面向量的数量积例1．(2022学年陕西省榆林市绥德中学、府谷中学高一下学期期中)已知向量，满足，，则(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因为．故选D．考点二：向量的投影向量例2．(2022学年天津市河北区高一下学期期中)已知，，与的夹角为135°，则在方向上的投影向量为(

)A．－ B． C． D．【答案】A【解析】因为，，与的夹角为135°，所以在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为－，故选A.考点三：利用数量积的性质求向量的模例3．(2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试)已知，是平面内的两个向量，，且，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则，所以.故选D考点四：利用数量积性质求向量的夹角例4．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)已知在方向上的投影向量为，则与夹角的正弦值为___________.【答案】【解析】因为，，且在方向上的投影向量为，设与的夹角为，则，即，又因为，且，故．考点五：利用数量积求解垂直问题例5．(2022学年河南省商丘市一高高一下学期五月月考)已知向量，满足，，，若，则实数的值为(

)A．2 B． C．9 D．【答案】C【解析】由，可得，由，可得，又，，则有，故，故选C考点六：数量积的坐标运算例6．(2022学年福建省莆田第一中学高一下学期期中)已知向量，点，，则向量在上的投影向量的模长为(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】，故在上的投影向量的模长为.故选D考点七：建立坐标系求解几何图形中的数量积问题例7．(2022学年河南省安阳市高一下学期联考)已知正方形的边长为2，为正方形的内部或边界上任一点，则的最大值是(

).A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，因为正方形的边长为2，所以，设，，因为，所以，因为，所以，因此，当且仅当时取等号，故选D【真题演练】1．(2020年高考全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足，，，则 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，．，因此，．故选D．2．(2019年高考全国卷Ⅱ卷)已知，，，则 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴,∴，解得，即，则．3．(2018年高考全国卷Ⅱ)已知向量，满足，，则 ()A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】，故选B．4．(2021年高考全国卷Ⅱ)已知向量．若，则________．【答案】．【解析】,，解得,故答案为．5．(2021年高考全国卷Ⅰ)已知向量，若，则__________．【答案】【解析】因为，所以由可得，，解得．6．(2020年高考全国卷Ⅰ)设为单位向量，且，则______________．【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以。解得：所以7．(2020年高考全国卷Ⅱ)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：．8．(2019年高考全国卷Ⅲ)已知，为单位向量，且，若，则___________．【答案】．【解析】因为，，所以，，所以，所以．【过关检测】1．(2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期期中)已知点，则向量在方向上投影向量为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】，则向量在方向上投影向量为，故选B2．(2022学年江苏省常州市第二中学高一下学期5月学情调研)已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因为与垂直，故，解得，则,，设与夹角为，则.故选A.3．(2022学年河南省南阳市六校高一下学期第二次联考)已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.故选D.4.(2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中)如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】，，三点共线，，，又，故选C5．(2022学年山东省菏泽市高一下学期期中)已知正方形ABCD的边长为1，向量，满足，，则(

)A． B．C． D．【答案】BCD【解析】∵，，∴，又正方形ABCD的边长为1，∴，故A错误；∴，，即，故BC正确；∴，即，故D正确.故选BCD.6.(2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中)如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是(

)A． B． C． D．【答案】AC【解析】依题意，是两个单位向量，单位向量方向不一定相同，所以A选项结论错误.单位向量的模为，所以，所以BD选项结论正确.当时，，所以C选项结论错误.故选AC7．(2022学年上海交通大学附