新八年级数学讲义第2讲全等三角形-满分班(学生版+解析)

第2讲全等三角形

1全等三角形一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2.找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.四、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【例题精选】例1(2023秋•松滋市期中）已知△ABC的三边分别是6，8，10，△DEF的三边分别是6，6x﹣4，4x+2，若两个三角形全等，则x的值为________．例2(2023秋•诸暨市期末）如图，点P在BC上，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，△ABP≌△PCD，其中BP＝CD，则下列结论中错误是（）A．∠APB＝∠D B．∠A+∠CPD＝90° C．AP＝PD D．AB＝PC【随堂练习】1．(2023秋•梁园区期中）如图，已知△ABO≌△CDO，则下列结论不正确的是（）A．AB＝OD B．∠A＝∠C C．AD＝BC D．∠AOB＝∠COD2全等三角形的判定与性质全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS【例题精选】例1(2023秋•西宁期末）如图，△ABC≌△DBC，连接AD，延长CB交AD于点E．（1）若∠CAB＝35°，∠ACD＝76°，求∠CBD的度数；（2）求证：△ABE≌△DBE．例2(2023秋•江津区期末）如图，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．【随堂练习】1．(2023秋•黑河期末）下列所给的四组条件，能作出唯一三角形的是（）A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°2．(2023秋•曾都区期末）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A． B． C． D．3．(2023秋•东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90° C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°4．(2023秋•鲤城区校级期末）如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．BD＝CE D．BE＝CD3直角三角形全等除了前面所学的全等条件外，直角三角形还有一种判定是HL即两个直角三角形中，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形也全等。【例题精选】例1(2023春•合浦县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．例2(2023秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝_______时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．【随堂练习】1．(2023春•来宾期末）如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝_________．2．(2023春•汉寿县期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是_________________________．（不添加字母和辅助线）4全等三角形的应用会利用三角形全等的判定与性质来解决实际问题【例题精选】例1(2023春•郑州期中）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道这艘游艇距离他多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．此时他位于D点．那么C、D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离，你知道这是为什么吗？例2(2023春•雁塔区校级期末）如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A．300m B．400m C．500m D．700m【随堂练习】1．(2023秋•陵川县期末）如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS2．(2023秋•大荔县期末）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使得CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL2．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30° B．15° C．25° D．20°二．填空题4．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝．三．解答题（共3小题）5．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：∠EDC＝∠C．6．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．7．问题情境：小明和小丽共同探究一道数学题：如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD＝65°，∠DAC＝50°，AD＝2，求AC的长为多少．探索发现；小明的思路是：延长AD至点E，使DE＝AD，构造全等三角形．小丽的思路是：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造全等三角形．选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．类比应用：如图②，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，AB⊥AC．若∠CAD＝45°，∠ADC＝67.5°，AO＝2，则BC的长为．第2讲全等三角形

1全等三角形一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2.找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.四、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【例题精选】例1(2023秋•松滋市期中）已知△ABC的三边分别是6，8，10，△DEF的三边分别是6，6x﹣4，4x+2，若两个三角形全等，则x的值为________．分析：根据全等三角形对应边相等，分两种情况求出x的值，再根据x的值作出判断即可．【解答】解：由全等三角形对应边相等得，①4x+2＝10，解得x＝2，6x﹣4＝8，解得x＝2，由于2＝2，所以，此种情况成立；②4x+2＝8，解得x＝，6x﹣4＝10，解得x＝，由于≠，所以该情况不成立综上所述，x的值为2．故答案是：2．【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，要注意两个方程求出的x的值必须相同．例2(2023秋•诸暨市期末）如图，点P在BC上，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，△ABP≌△PCD，其中BP＝CD，则下列结论中错误是（）A．∠APB＝∠D B．∠A+∠CPD＝90° C．AP＝PD D．AB＝PC分析：根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABP≌△PCD，∴∠APB＝∠D，AP＝PD，AB＝PC，∠A＝∠CPD，∴∠A+∠CPD＝90°是错误的，故选：B．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边和对应角相等是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•梁园区期中）如图，已知△ABO≌△CDO，则下列结论不正确的是（）A．AB＝OD B．∠A＝∠C C．AD＝BC D．∠AOB＝∠COD【解答】解：∵△ABO≌△CDO，∴AO＝OC，AB＝CD，OB＝OD，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOB＝∠COD，故选：A．2全等三角形的判定与性质全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS【例题精选】例1(2023秋•西宁期末）如图，△ABC≌△DBC，连接AD，延长CB交AD于点E．（1）若∠CAB＝35°，∠ACD＝76°，求∠CBD的度数；（2）求证：△ABE≌△DBE．分析：（1）直接利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DCB＝38°，进而得出答案；（2）利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】（1）解：∵△ABC≌△DBC，∠CAB＝35°，∴∠CAB＝∠CDB＝35°，∠ACB＝∠DCB（全等三角形的对应角相等），∵∠ACD＝76°，∴∠ACB＝∠DCB＝38°，∴∠CBD＝180°﹣35°﹣38°＝107°（三角形的内角和是180°）．（2）证明：∵△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，AB＝DB（全等三角形的对应边相等），∴△ACD是等腰三角形，又∵∠ACB＝∠DCB，∴CE是AD边上的中线（三线合一），即AE＝DE，在△ABE与△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（SSS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质和判定，正确掌握相关性质是解题关键．例2(2023秋•江津区期末）如图，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．分析：由平行线得出∠CBA＝∠FED，证出BC＝EF，由SAS即可得出△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠CBA＝∠FED，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•黑河期末）下列所给的四组条件，能作出唯一三角形的是（）A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°【解答】解：A、符合三角形的三边关系定理，能作出唯一的三角形，故本选项符合题意；B、不符合三角形的三边关系定理，不能作出三角形，故本选项不符合题意；C、能作出多个等边三角形，故本选项不符合题意；D、能作出多个直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．2．(2023秋•曾都区期末）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A． B． C． D．【解答】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣58°﹣72°＝50°，根据“SAS”可判断图甲的三角形与△ABC全等．故选：A．3．(2023秋•东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90° C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°【解答】解：∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，∴当添加EB＝BD时，则可根据“HL”判定△EAB≌△BCD；当添加AE＝BC，即AC＝AE+CD，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD；当添加∠ABE＝∠D时，此时∠D+∠E＝90°，∠EBD＝90°，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD，．故选：D．4．(2023秋•鲤城区校级期末）如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．BD＝CE D．BE＝CD【解答】解：A、添加∠B＝∠C可利用ASA定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；B、添加∠ADC＝∠AEB可利用AAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；C、添加BD＝CE可得AD＝AE，可利用利用SAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；D、添加BE＝CD不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；故选：D．3直角三角形全等除了前面所学的全等条件外，直角三角形还有一种判定是HL即两个直角三角形中，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形也全等。【例题精选】例1(2023春•合浦县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．分析：在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB＝CB，AE＝CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF．【解答】证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握HL．例2(2023秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝_______时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．分析：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC＝8可得CP＝6，进而可得AB＝CP，BP＝CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B＝∠C＝90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．【解答】解：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案为：2．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握SAS定理．【随堂练习】1．(2023春•来宾期末）如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝_________．【解答】解：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠D＝∠A＝50°，∴∠DFE＝90°﹣∠D＝90°﹣50°＝40°．故填40．2．(2023春•汉寿县期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是_________________________．（不添加字母和辅助线）【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．故答案为：AB＝DC（答案不唯一）4全等三角形的应用会利用三角形全等的判定与性质来解决实际问题【例题精选】例1(2023春•郑州期中）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道这艘游艇距离他多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．此时他位于D点．那么C、D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离，你知道这是为什么吗？分析：根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：在△ABS与△CBD中，，∴△ABS≌△CBD（AAS），∴AS＝CD．【点评】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，能根据题意画出图形是解答此题的关键．例2(2023春•雁塔区校级期末）如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A．300m B．400m C．500m D．700m分析：由于BC∥AD，那么有∠DAE＝∠ACB，由题意可知∠ABC＝∠DEA＝90°，BA＝ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE＝BC＝300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【解答】解：如图所示，设老街与平安路的交点为C．∵BC∥AD，∴∠DAE＝∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC＝∠DEA＝90°，在△ABC和△DEA中，∴△ABC≌△DEA（AAS），∴EA＝BC＝300m，在Rt△ABC中，AC＝＝500m，∴CE＝AC﹣AE＝200m，从B到E有两种走法：①BA+AE＝700m；②BC+CE＝500m，∴最近的路程是500m．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．【随堂练习】1．(2023秋•陵川县期末）如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．故选：B．2．(2023秋•大荔县期末）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使得CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABD＝∠EDC＝90°，在△EDC和△ABC中，，∴△EDC≌△ABC（ASA）故选：C．综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解答】解：由作图可知，OE＝OD，DC＝EC，在△ODC与△OEC中，∴△ODC≌△OEC（SSS），故选：A．2．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵BE＝BC，利用SAS可得△ABC≌△DBE；∵∠D＝∠A，利用ASA可得△ABC≌△DBE；∵∠B＝∠E，利用AAS可得△ABC≌△DBE；故选：C．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30° B．15° C．25° D．20°【解答】解：证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠CAD＝∠FBD，在△BDF和△ACD中，∴△BDF≌△ACD（AAS）∴∠DBF＝∠CAD＝25°，∵DB＝DA，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBF＝20°故选：D．二．填空题（共1小题）4．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝35°．【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠DAB＝35°，故答案为：35三．解答题（共3小题）5．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：∠EDC＝∠C．【解答】证明：∵∠ADE＝∠1+∠DCE＝∠2+∠BDE，且∠1＝∠2，∴∠DCE＝∠BDE，且∠A＝∠B，