人教版八年级数学上册专题01与三角形的边有关的四种题型(原卷版+解析)

专题01与三角形的边有关的四种题型类型一、利用三边关系简绝对值例．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（

）A． B．C． D．0【变式训练】按要求完成下列各小题．(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．类型二、确定三边的范围例．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有个．【变式训练1】△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是．【变式训练2】在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为．【变式训练3】一个三角形有两边长分为3与2．若它的第三边的长为偶数．则它的第三边长为．类型三、三角形的中线问题例．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是．

【变式训练1】如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为．

【变式训练2】如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为．

【变式训练3】如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则．类型四、三角形的面积综合例．如图①，在平面直角坐标系中，A(a，0)，C(b，2)，且满足(a+2)2+=0，过C作CB⊥x轴于B．(1)直接写出三角形ABC的面积；(2)如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，已知点，，，过点作轴的平行线，一动点从点出发，在直线上以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动．(1)直接写出：运动1秒时，点的坐标为______；运动秒时，点的坐标为______；（用含的式子表示）(2)若点在第三象限，且，求点的坐标；(3)如图2，如果将直线沿轴负半轴向下平移个单位长度，恰好经过点，求的值．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，A(，0)，C(b，2)，且满足，过C作CB⊥轴于B．(1)求三角形ABC的面积．(2)如图2，若过B作BD∥AC交轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数．(3)若AC交轴于点F，在轴上是否存在点P，使得三角形ACP的面积是三角形AOF的面积的4倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．课后训练1．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．已知如图，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点C在y轴上，点B在x轴上方．(1)如图1，点C的坐标是．①若，则______；②若A的坐标是，求点B的坐标．(2)如图2，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点B作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由．3．不等边两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，求第三条高的长.4．三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？5．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴上，若点，点，点，且．(1)求a，b的值；(2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式；(3)在（2）的条件下，点D是直线上一点，点D的横坐标为1，连接，，若的面积为，求点P的坐标．6．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分．(1)a＋b＋c＝；(2)点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值；(3)如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．

专题01与三角形的边有关的四种题型类型一、利用三边关系简绝对值例．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（

）A． B．C． D．0【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a-b-c<0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算．【详解】根据三角形的三边关系，得a-b-c<0，b-a-c<0∴原式=故选B．【点睛】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．【变式训练】按要求完成下列各小题．(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．【答案】(1)的周长为(2)【分析】（1）根据三角形的三边关系以及的长为偶数，即可求得的长，从而即可得解；（2）根据三角形的三边关系可求得的取值范围，从而化简不等式计算即可．【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得：，即．∵为偶数，∴，∴的周长为；（2）解：∵的三边长分别为3，5，a，∴，解得，∴．【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．类型二、确定三边的范围例．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有个．【答案】3【分析】根据周长小于13，三角形三边为互不相等的整数，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定三边可选的数字为2、3、4、5，由此可得这样的三角形以及个数．【详解】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过6.5；根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、4、5；根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5；故这样的三角形共有3个，故答案为：3．【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握．【变式训练1】△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是．【答案】【分析】作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，,∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∴．故答案为．【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.【变式训练2】在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为．【答案】16或8【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16．【详解】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x又知BD将三角形周长分为15和21两部分∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8经验证，这两种情况都是成立的∴这个三角形的底边长为8或16故答案为：16或8【点睛】本题主要考查来了等边三角形的性质以及三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边只差小于第三边），注意求出的结果燕验证三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解题的关键．【变式训练3】一个三角形有两边长分为3与2．若它的第三边的长为偶数．则它的第三边长为．【答案】2或4【分析】根据三角形的边的关系，求得第三边的取值范围，在结合偶数条件，即可确定答案．【详解】解：设第三边长为x根据三角形的边的关系可得：1＜x＜5，又由第三边为偶数，所以第三边长为2或4故答案为2或4【点睛】本题考查了三角形的三边关系，确定第三边的取值范围是关键．也可使用列举，但是容易因遗漏导致错误．类型三、三角形的中线问题例．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是．

【答案】【分析】连接，．由题意中的线段的比和，可推出，，从而可求出，．结合中点的性质即得出，从而可求出，进而得出，最后即得出，最后即可求出．【详解】解：如图，连接，．

∵，，∴，．又∵，∴，．∵点是线段的中点，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即,∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算问题．正确的连接辅助线是解题关键．【变式训练1】如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为．

【答案】【分析】如图:连接，设，，根据“等底同高的三角形面积相等”可得、、、、，进而列出二元一次方程组求解可得；同理：连接，设，，可得，最后根据即可解答．【详解】解：如图:连接，设，，

E、F分别是边上的三等分点，的面积为90，∴，，，∵D是边的中点，∴，∵,即，，即∴，解得：，即；如图:连接，设，，

∴，∵,即，，即∴，解得：；∴,.．故答案为．【点睛】本题主要考查了三角形中线、三角形的等分点、解二元一次方程组等知识点，通过做辅助线、明确各三角形之间的面积关系是解答本题的关键．【变式训练2】如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为．

【答案】5【分析】如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可．【详解】解：如图：连接，过点C作于点H，

∵点D、E分别是的中点，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，又∵点到直线的距离垂线段最短，∴，∴的最小值为．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键．【变式训练3】如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则．【答案】84【分析】根据为的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答．【详解】解：为的中线，，，，，，，，设，则，，，根据，列方程，解得，．故答案为：84．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键．类型四、三角形的面积综合例．如图①，在平面直角坐标系中，A(a，0)，C(b，2)，且满足(a+2)2+=0，过C作CB⊥x轴于B．(1)直接写出三角形ABC的面积；(2)如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4(2)45°(3)P(0，-1)或(0，3)【分析】（1）先依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点C的坐标，接下来，再求得点B的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可；（2）过E作，首先依据平行线的性质可知∠ODB＝∠6，∠CAB＝∠5，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到∠1＝∠3，∠2＝∠4，然后，依据角平分线的性质可得到∠3＝∠CAB，∠4＝∠ODB，最后，依据∠AED＝∠1＋∠2＝∠3＋∠4求解即可；（3）①当P在y轴正半轴上时，设点P（0，t），分别过点P，A，B作MNx轴，ANy轴，BMy轴，交于点M，N，然后，用含t的式子表示出AN，CM的长，然后依据S△APC=S梯形MNAC-S△CMP-S△ANP=4列出关于t的方程求解即可；②当P在y轴负半轴上时，分别过点P，A，B作MNx轴，ANy轴，BMy轴，交于点M，N，设点P（0，a），然后用含a的式子表示出AN、CM的长，最后，依据S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4列方程求解即可．【详解】（1）解：∵(a+2)2+=0，∴a+2=0，b-2=0，∴a=-2，b=2，∵CB⊥AB，∴A(-2，0)，B(2，0)，C(2，2)，∴△ABC的面积为：×2×4=4．故答案为：4．（2）∵CBy轴，BDAC，∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，过E作EFAC，如图所示：∵BDAC，∴BDACEF，∵AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，∴∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，∴∠AED=∠1+∠2=(∠CAB+∠ODB)=45°．（3）①当P在y轴正半轴上时，如图所示：设P(0，t)，过P作MNx轴，ANy轴，BMy轴，∵S△APC=S梯形MNAC-S△CMP-S△ANP=4，∴-t-(t-2)=4，解得：t=3；②当P在y轴负半轴上时，如图所示：设P(0，a)，过P作MNx轴，ANy轴，BMy轴，∵S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4，∴+a-(2-a)=4，解得：a=-1；∴P(0，-1)或(0，3)．【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于a和t的方程是解题的关键．【变式训练1】如图1，已知点，，，过点作轴的平行线，一动点从点出发，在直线上以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动．(1)直接写出：运动1秒时，点的坐标为______；运动秒时，点的坐标为______；（用含的式子表示）(2)若点在第三象限，且，求点的坐标；(3)如图2，如果将直线沿轴负半轴向下平移个单位长度，恰好经过点，求的值．【答案】(1)，(2)(3)10【分析】（1）每运动1秒，点向右移动1个单位长度，向上移动2个单位长度，由此可解；（2）连接OP，，由此可解；（3）由平移的性质和规律即可得出结论．【详解】（1）解：由题意可知，每运动1秒时，点向右移动1个单位长度，向上移动2个单位长度．运动1秒时，点的坐标为，即；运动秒时，点的坐标为，故答案为：，；（2）解：如图，连接OP．∵点，，∴，，∵点，在第三象限，∴，，∴点P到y轴的距离为，点P到x轴的距离为，∵，∴，解得：，∴，，∴点的坐标为；（3）解：如图，设直线m与y轴交于点D．∵，∴，∵，，∴直线沿轴负半轴向下平移2个单位长度时经过点，由（2）知，，，∴直线沿轴负半轴每向下平移2个单位长度，直线与直线m的交点向左平移1个单位长度，∵点向左平移4个单位长度到达点C，∴将直线沿轴负半轴向下平移个单位长度，恰好经过点时，，即的值为10．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形的特点、三角形面积、平移的性质等知识点，综合性较强，熟练掌握三角形面积公式和平移的性质是解题的关键．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，A(，0)，C(b，2)，且满足，过C作CB⊥轴于B．(1)求三角形ABC的面积．(2)如图2，若过B作BD∥AC交轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数．(3)若AC交轴于点F，在轴上是否存在点P，使得三角形ACP的面积是三角形AOF的面积的4倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4(2)45°(3)P坐标为(0，3)或(0，-1)【分析】（1）根据非负数的性质可列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b，即得出A、B、C三点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；（2）过E作EF∥AC，根据平行线的性质结合角平分线定义即可求解；（3）连接OC．根据和，即可求出，从而可求出．分类讨论①当P点在x轴上方时，作轴，轴，轴，分别交于点M、N．设P(0，m)，根据，即可求出m的值，即得出答案；②当P点在x轴下方时，作轴，轴，轴，分别交于点、．设设P(0，n)，根据，即可求出n的值，即得出答案．【详解】（1）解：∵，∴，解得：．∴A(-2，0)，C(2，2)．∵CB⊥AB，∴B(2，0)，∴AB=4，CB=2，∴；（2）如图，过E作EF∥AC．∵CB⊥x轴，∴CB∥y轴，∠CBA=90°，∴∠ODB=∠6．又∵BD∥AC，∴∠CAB=∠5，∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=180°-∠CBA=90°．∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠3=∠CAB，∠4=∠ODB，∴∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4=(∠CAB+∠ODB)=45°；（3）如图，连接OC．∵，，∴．∵，，∴．∵，∴．分类讨论：①当P点在x轴上方时，如图，作轴，轴，轴，分别交于点M、N．设P(0，m)则AM=m，MP=2，NP=2，NC=m-2，MN=4，∴，∴，解得：．∴此时点P坐标为(0，3)；②当P点在x轴下方时，如图，作轴，轴，轴，分别交于点、．设P(0，n)，则=-n，=2，=2，=2-n，，∴，∴，解得：．∴此时点P坐标为(0，-1)．综上可知点P坐标为(0，3)或(0，-1)．【点睛】本题考查非负数的性质，解二元一次方程组，坐标与图形，角平分线的定义，三角形的面积公式，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．课后训练1．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积．【详解】解：如图，连接、，设的面积为，

，的面积为，的面积为，的面积为，,的面积为，的面积为，的面积为，，，即的面积为2故选：B【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键．2．已知如图，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点C在y轴上，点B在x轴上方．(1)如图1，点C的坐标是．①若，则______；②若A的坐标是，求点B的坐标．(2)如图2，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点B作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)①；②(2)；理由见解析【分析】（1）①根据直角三角形的性质即可得到结果；②过点B作轴，证明，求得，，即可得到点B的坐标（2）延长、交于点H，证明，得到，再证明，即可得到【详解】（1）①∵点C的坐标是，∴，∵，且，∴，∴②过点B作轴，∵，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴（2），理由如下：延长、交于点H，∵，∴，∵x轴平分，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∵，，∴，∴【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及角平分线的定义，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形3．不等边两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，求第三条高的长.【答案】第三条高的长为5.【分析】可设高为12时对应边长x，则利用等面积法可求得长度为4的高对应的边长为3x，设第三边y，根据三边关系有，即，第三边上的高（设为），利用等面积法可知满足，求得z取值，再利用z为整数和三角形不等边可求得z.【详解】设长度为12的高对应的边长为则长度为4的高对应的边长为则第三边（设为）满足即故第三边上的高（设为）满足即∵为整数∴或5当时，三角形为等腰三角形，不符合题意故.第三条高的长为5.【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解本题的关键是灵活利用等面积法将三边长度联系起来，并注意结果一定要符合题意，4．三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？【答案】18【分析】不妨设三角形三边为、、，且，由三角形三边关系定理及题设条件可确定的取值范围，以此确定的值，再确定、的值．【详解】解：设三角形三边为、、，且，∵，，∴，即，∴，，∴，∴，又∵为整数，∴为、、、、，∵①当为时，有1个三角形，，，；②当为时，有2个三角形，，，；，，；③当为时，有4个三角形，，，；，，；，，；，，；④当为时，有5个三角形，，，；，，；，，；，，；，，；⑤当为时，有7个三角形，，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；都是整数的三角形共有19个，其中不等边三角形共有18个．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系以及周长正确确定边的范围是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴上，若点，点，点，且．(1)求a，b的值；(2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式；(3)在（2）的条件下，点D是直线上一点，点D的横坐标为1，连接，，若的面积为，求点P的坐标．【答案】(1)；；(2