新八年级数学讲义第7讲乘法公式-满分班(学生版+解析)

第7讲乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【例题精选】例1(2023•镇江模拟）计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝___________．例2(2023秋•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝______．【随堂练习】1．(2023秋•长葛市期末）计算：20202﹣2019×2021＝________．2．(2023•东台市一模）计算：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）＝________．2完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：【例题精选】例1(2023秋•新宾县期末）已知x+y＝4，xy＝3，求下列各式的值：（1）2x2y+2xy2；（2）x﹣y例2(2023春•丹徒区期中）用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝_______．【随堂练习】1．(2023秋•德州期末）若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝________．2．(2023秋•东湖区期末）已知a+b＝5，ab＝3．则（a﹣b）2的值为___________．3．(2023春•雁塔区校级期末）若n满足（n﹣2019）2+(2023﹣n）2＝1，则（n﹣2019）(2023﹣n）＝__________．4．(2023春•金华期中）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．3完全平方式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：【例题精选】例1(2023秋•日照期末）下列各式是完全平方式的是（）A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1例2(2023秋•武安市期末）若x2﹣2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）A．﹣1 B．7 C．7或﹣7 D．7或﹣1【随堂练习】1．(2023秋•连山区期末）如果关于x的二次三项式9x2﹣mx+4是完全平方式，那么m的值是________．2．(2023秋•勃利县期末）已知：x2+16x﹣k是完全平方式，则k＝_______．3．(2023秋•大安市期末）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是________．综合练习一．选择题（共4小题）1．如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．302．已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．123．若x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值应是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣24．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab二．填空题（共2小题）5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，则xy的值为．6．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝．三．解答题（共3小题）7．计算：（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|；（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．8．化简：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2．9．（1）计算：（﹣2）2+﹣（2）0．（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣4）．第7讲乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【例题精选】例1(2023•镇江模拟）计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝___________．分析：根据平方差公式解答即可．【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝（﹣3y）2﹣（2x）2＝9y2﹣4x2．故答案为：9y2﹣4x2【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．例2(2023秋•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝______．分析：首先把2020×2018化成(2023+1）(2023﹣1），然后应用平方差公式计算即可．【解答】解：2020×2018﹣20192＝(2023+1）(2023﹣1）﹣20192＝20192﹣12﹣20192＝﹣1故答案为：﹣1．【随堂练习】1．(2023秋•长葛市期末）计算：20202﹣2019×2021＝________．【解答】解：20202﹣2019×2021＝20202﹣(2023﹣1）×(2023+1）＝20202﹣20202+12＝1故答案为：1．2．(2023•东台市一模）计算：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）＝________．【解答】解：原式＝4a2﹣b2+2ab+b2＝4a2+2ab，故答案为：4a2+2ab2完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：【例题精选】例1(2023秋•新宾县期末）已知x+y＝4，xy＝3，求下列各式的值：（1）2x2y+2xy2；（2）x﹣y分析：（1）提取公因式2xy，原式可化为2xy（x+y），再把x+y＝4，xy＝3代入计算即可；（2）运用完全平方公式解答即可．【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，∴2x2y+2xy2＝2xy（x+y）＝2×4×3＝24；（2）∵x+y＝4，xy＝3，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣4×3＝4．∴．【点评】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握完全平方公式以及整体代入的方法是解答本题的关键．例2(2023春•丹徒区期中）用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝_______．分析：利用完全平方公式解答．【解答】解：原式＝（10.1﹣0.1）2＝102＝100．故答案是：100．【点评】本题考查了完全平方公式，能够把已知式子变成完全平方的形式，求得（10.1﹣0.1）的值．【随堂练习】1．(2023秋•德州期末）若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝________．【解答】解：∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣4＝4．故答案为：4．2．(2023秋•东湖区期末）已知a+b＝5，ab＝3．则（a﹣b）2的值为___________．【解答】解：∵a+b＝5，ab＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．故答案为：13．3．(2023春•雁塔区校级期末）若n满足（n﹣2019）2+(2023﹣n）2＝1，则（n﹣2019）(2023﹣n）＝__________．【解答】解：∵（n﹣2019）2+(2023﹣n）2＝1，∴[（n﹣2019）+(2023﹣n）]2＝（n﹣2019）2+2（n﹣2019）(2023﹣n）+(2023﹣n）2＝1+2（n﹣2019）(2023﹣n）＝1，∴（n﹣2019）(2023﹣n）＝0．故答案为：0．4．(2023春•金华期中）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．【解答】解：（1）∵a+b＝6，ab＝﹣3，∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42；（2）原式＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×（﹣3）＝48．3完全平方式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：【例题精选】例1(2023秋•日照期末）下列各式是完全平方式的是（）A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1分析：完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方．【解答】解：A、x2﹣x+是完全平方式；B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式．故选：A．【点评】本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键．例2(2023秋•武安市期末）若x2﹣2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）A．﹣1 B．7 C．7或﹣7 D．7或﹣1分析：这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍．【解答】解：依题意，得m﹣3＝±4，解得m＝7或﹣1．故选：D．【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【随堂练习】1．(2023秋•连山区期末）如果关于x的二次三项式9x2﹣mx+4是完全平方式，那么m的值是________．【解答】解：∵9x2﹣mx+4是一个完全平方式，∴这两个数是3x和2，∴mx＝±2×2×3x，解得k＝±12；故答案是：±12．2．(2023秋•勃利县期末）已知：x2+16x﹣k是完全平方式，则k＝_______．【解答】解：∵x2+16x﹣k是完全平方式，∴﹣k＝64，∴k＝﹣64．故答案为：﹣643．(2023秋•大安市期末）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是________．分析：利用完全平方公式化简即可求出m的值．【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，∴m＝±12，故答案为：±12综合练习一．选择题（共4小题）1．如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．30【解答】解：∵9x2﹣kx+25是一个完全平方式，∴﹣kx＝±2×3x×5，则k＝±30．故选：C．2．已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．12【解答】解：把a+b＝6两边平方得：（a+b）2＝36，整理得：a2+b2+2ab＝36，将ab＝3代入得：a2+b2＝30，则原式＝15﹣3＝12，故选：D．3．若x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值应是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣2【解答】解：∵（x±2）2＝x2±4x+4＝x2﹣mx+4，∴m＝±4．故选：C．4．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【解答】解：阴影部分的面积是：（a+b）2﹣（a﹣b）2；4个长方形的面积是：4ab，∴验证的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．故选：D．二．填空题（共2小题）5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，则xy的值为．【解答】解：∵（x﹣y）2＝7，∴x2﹣2xy+y2＝7①，∵x+y＝5，∴（x+y）2＝25，∴x2+2xy+y2＝25②，∴②﹣①得：4xy＝18，则xy＝．6．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣