哈密顿正则方程课件

哈密顿正则方程一、勒襄特变换

在方程中,把一组独立自变量变为另一组独立自变量的变换,叫勒襄特变换.

定义广义动量则由拉氏方程,得如果把广义动量和广义坐标作为独立变量,则从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数

当认为L是广义坐标,广义速度和时间的函数时考虑广义动量的定义,得二、正则方程对于哈密顿量可得H作为广义动量,广义坐标和时间的函数,又有由于动量,坐标和时间都是独立的,所以——哈密顿正则方程相应的广义动量,坐标叫做正则变量,它们组成的2s维空间叫相空间,一组数值对应相空间中一点,叫相点.

哈密顿量H=Ep+Ek动量定义牛顿第二定律p…广义动量x…广义位移即：

哈密顿正则方程：一维弹簧振子的运动因为三、守恒定理只要H不显含时间,它就是守恒的,即不随时间变化.1能量守恒H中不显含t时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情况来讨论。1、稳定约束T＝T2H=T＋V=h=const

对于完整的保守力学体系来说，若H不显含t，而且体系受稳定约束时，体系的H是能量积分，这时体系的机械能守恒。2、不稳定约束

H=T2

－T0

＋V=h=const

可见，对于完整的保守力学体系来说，若H中不显含t，而且体系受不稳定约束时，体系的H是广义能量积分。2循环积分

若H=H（q1，…，qs；p1，…，ps；t）中不显含某个pi或某个qi，即pi，qi

为循环坐标，则由哈密顿方程立即得到qi=const

pi=const

例1质量为M的楔子置于光滑的水平桌面上.楔子底面也是光滑的,斜面却是粗糙的,质量为m,半径为R的圆柱体沿着楔子斜面无滑动地滚下.求解楔子和圆柱体的运动.

解楔子可在水平方向运动.取桌面上的固定点O为原点,把楔子的质心(其实不一定要质心，改为楔子的任一点也行)相对于O点的水平坐标记作X.圆柱体可在楔子的斜面上滚动.把圆柱轴相对于楔子斜面上端并沿斜边计算的坐标记作q,把圆柱某根半径与竖直向下之间的夹角记作

,无滑动这个约束条件可写为这个运动约束可以积分为故,这是一个完整约束,q和

不独立.这个系统有两个自由度,可以选x和

是两个独立的广义坐标.

主动力都是重力.圆柱体的势能楔子的动能为圆柱的动能包括质心的平动动能和绕质心转动的转动动能所以按定义,广义动量所以得到广义速度于是,系统的哈密顿函数哈密顿函数不含有广义坐标X,所以X是循环坐标,相应的广义动量守恒此时对

的正则方程为:所以这是匀加速转动,积分一次简单推导,可得例2：写出粒子在中心势场V=-α/r中哈密顿函数和正则方程。解：自由度是2，广义坐标r、θ。广义动量：中心势场粒子的能量守恒，因此粒子的哈密顿函数为：可以解得正则方程：该题还可解得

粒子的径向运动方程．

角动量守恒定律．[例3]分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个自由质点在势场V()中的哈密顿函数H。解:

体系为质点，自由度数s＝3。（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，则拉格朗日函数L为（2）在柱面坐标系中L=T－V（3）在球面坐标系中,V=V（r，

，

）V（r，

，

）V（r，

，

）[例4]求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设两原子之间相互作用的弹性力为

F=－k（r－r0）其中r为两原子间距离，r0为两原子处在平衡时的距离。解:

为了求出拉格朗日函数，应先求分子的动能。T=Tc＋T

两原子相对质心的动能质心动能

把两原子相对质心的动能转换为m2相对于m1的运动。L=T－V

[例5]一质量为m的自由质点，受力为位矢，k为大于零的常数。求在直角坐标系中质点的运动微分方程。解:

取x，y，z为广义坐标。动能为[例6]应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子的电量为－e，原子核带电为Ze，Z为原子序数。

是循环坐标:

p

=C

可见电子的运动与无关，可令，则。

在拉格朗日动力学中,从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即拉格朗日方程.在哈密顿动力学中,必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数,才可写出动力学方程即哈密顿正则方程,从哈密顿正则方程消去广义动量的结果其实不过是从另一条路径达到拉格朗日方程,所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便.

哈密顿动力学的优点之一是便于量子化.另一个优点在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采用的变量广义坐标和广义动量并不对等,只能对广义坐标进行变换,而广义速度也随之而变.哈密顿动力学采用的变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进行变换,而且可以坐标和动量一起变换,这个到下面正则变换时进一步分析.哈密顿介绍

哈密顿，W.R.

WilliamRowanHamilton(1805～1865)英国数学家、物理学家、力学家。1805年8月4日生

于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林。10岁入大学，在大学期间学过12种语言。12岁时，读完拉丁文欧几里得《几何原本》,13岁开始研究I.牛顿和P.-S.拉普拉斯的著作，22岁被聘为都柏林大学天文学教授，兼任学校天文台台长。哈密顿发展了分析力学。1834年，建立了著名的哈密顿原理，使各种动力学定律都可以从一个变分式推出。根据这一原理，力学与几何光学有相似之处。后来发现，这一原理又可推广到物理学的许多领域，如电磁学等。他把广义坐标和广义动量都作为独立变量来处理动力学方程获得成功，这种方程现称哈密顿正则方程。他还建立了一个与能量有密切联系的哈密顿函数。他解释了锥形折射现象，对现代矢量分析方法的建立作出了贡献。他还创立了四元数。这些成果在现代物理学中都有广泛应用。

哈密顿在数学上的成就，以微分方程和泛函分析两个领域最为突出，如哈密顿算符、哈密顿－雅可比方程等；此外，他对波形曲面的研究，对伽罗瓦理论的补充以及在数学中引入结合律等也都是他的功绩。哈密顿提出变分原理和正则方程的两篇长论文的题名是《论动力学中的一个普