备战高考数学一轮复习讲义微专题13　空间几何体的外接球

微专题13空间几何体的外接球能还原成长方体的锥体的外接球例1(1)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(,2),2)，eq\f(\r(,3),2)，eq\f(\r(,6),2)，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为(A)A.eq\r(,6)π B.2eq\r(,6)πC.3eq\r(,6)π D.4eq\r(,6)π解析：设AB，AC，AD的长度分别为a，b，c，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(,2)，,bc＝\r(,3)，,ca＝\r(,6)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(,2)，,b＝1，,c＝\r(,3).))因为三条侧棱两两垂直，所以以a，b，c为边长的长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径长，所以R＝eq\f(1,2)eq\r(,2＋1＋3)＝eq\f(\r(,6),2)，故所求外接球的体积为eq\f(4π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,6),2)))3＝eq\r(,6)π.(2)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(C)A.8π B.12πC.20π D.24π解析：如图，由于三棱锥P－ABC的四个面都为直角三角形，则△ABC是直角三角形，且∠ABC＝eq\f(π,2)，所以BC＝eq\r(,AC2－AB2)＝2eq\r(,3).又PA⊥平面ABC，且△PAC是直角三角形，所以球O的直径为PC＝2R＝eq\r(,PA2＋AB2＋BC2)＝eq\r(,20)＝2eq\r(,5)，所以R＝eq\r(,5)，故球O的表面积为S＝4πR2＝20π.(例1(2))一般锥体的外接球例2(1)已知正四棱锥P－ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，那么球O的表面积为(C)A.2π B.4πC.8π D.16π解析：如图，连接AC，BD，交于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，且OA＝OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，OP＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以O是球心，其半径为r＝eq\r(2)，所以球O的表面积为S＝4πr2＝8π.(例2(1))(2)已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面ABCD，那么球O的体积为(A)A.eq\f(64\r(2)π,3) B.eq\f(16\r(2)π,3)C.16eq\r(2)π D.16π解析：如图，取BC的中点E，连接AE，DE，BD.因为AD∥BC且AD＝eq\f(1,2)BC＝EC＝BE，所以四边形ADCE，四边形ABED均为平行四边形，所以AE＝DC，AB＝DE.又DC＝eq\f(1,2)BC，所以AE＝eq\f(1,2)BC＝AB，所以AE＝DE＝BE＝EC，所以E为四边形ABCD外接圆的圆心．设O为外接球的球心，由球的性质可知OE⊥平面ABCD，作OF⊥PA，垂足为F，所以四边形AEOF为矩形，OF＝AE＝2.设AF＝x，OP＝OA＝R，则4＋(4－x)2＝4＋x2，解得x＝2，所以R＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，所以球O的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(64\r(2)π,3).(例2(2))棱柱的外接球例3设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是2eq\r(2).解析：设AB＝AC＝AA1＝a，球的半径为R，则△BAC外接圆的半径为eq\f(1,2)·eq\f(\r(3)a,sin120°)＝a.因为4πR2＝40π，所以R2＝10，所以R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋a2＝10，解得a＝2eq\r(2)，即此直三棱柱的高是2eq\r(2).1.公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，即，找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq\r(,a2＋b2＋c2)，求出R.2.补形法(补长方体或正方体)：(1)墙角模型(三条线两两垂直)题设：三条棱两两垂直；(2)对棱相等模型(补形为长方体)题设：在三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD)．3.单面定球心法(“定＋算”)：步骤：(1)定一个面找外接圆圆心，如图，在三棱锥P－ABC中，选中底面ABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形的外心就是中心，直角三角形的外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心，即eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(2r＝\f(a,sinA))))；(2)过外心O1作(找)底面ABC的垂线，如图，作PO1⊥底面ABC，则球心O一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；(3)计算求半径R，在直线PO1上任取一点O，如图，则OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋OOeq\o\al(2,1)可计算出球O的半径R.4.双面定球心法