新九年级数学时期讲义第8讲与圆有关的位置关系-满分班(学生版+解析)

第8讲与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有

【例题精选】例1(2023秋•高邮市期末）在平面直角坐标系中，⊙O的直径为10，若圆心O为坐标原点，则点P（﹣8，6）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O内 D．无法确定例2(2023秋•鼓楼区期末）已知△ABC，以AB为直径作⊙O，∠C＝88°，则点C在（）A．⊙O上 B．⊙O外 C．⊙O内 D．无法确定【随堂练习】1．(2023秋•沭阳县期末）在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（）A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定2．(2023秋•惠山区期末）已知⊙O的半径为6cm，OP＝8cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法判断2直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2．直线与圆的位置关系的判定和性质．

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

【例题精选】例1(2023秋•姜堰区期末）已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断例2(2023秋•东阳市期末）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【随堂练习】1．(2023秋•海陵区期末）已知⊙O的直径是5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断2．(2023秋•定州市期末）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定3．(2023•武汉模拟）已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离5cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为（）A．2 B．1 C．0 D．不确定3正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

要点诠释：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.【例题精选】例1(2023•番禺区模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（）A．22.5° B．45° C．30° D．50°例2(2023•和平区校级模拟）正六边形的边长与边心距之比为（）A．1：2 B．2： C．2： D．：2【随堂练习】1．(2023•和平区模拟）如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，）2．(2023•鼓楼区一模）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝_________°．综合应用一．选择题1．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为（3，5），则B的坐标为（）A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）2．已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（）A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定3．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定4．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB的大小为（）A．25° B．30° C．45° D．50°二．解答题5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长6．如图已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．（1）探索AC满足什么条件时，有AD⊥CD，并加以证明．（2）当AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面积．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．8．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半径的长．9．如图，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，点E在AC上，且∠ADE＝∠B．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE＝2，求△ABC的面积．第8讲与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有

【例题精选】例1(2023秋•高邮市期末）在平面直角坐标系中，⊙O的直径为10，若圆心O为坐标原点，则点P（﹣8，6）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O内 D．无法确定分析：先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙P的半径为5相比较即可．【解答】解：∵点P的坐标为（﹣8，6），OP＝＝10∵⊙O的直径为10，半径为5∴点P在⊙O外．故选：B．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．例2(2023秋•鼓楼区期末）已知△ABC，以AB为直径作⊙O，∠C＝88°，则点C在（）A．⊙O上 B．⊙O外 C．⊙O内 D．无法确定分析：根据圆周角定可得∠ADB＝90°，根据三角形外角的性质可得结论．【解答】解：如图，设⊙O交直线BC于D，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠C＝88°，∴点C在⊙O外，故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了圆周角定理和三角形外角的性质．【随堂练习】1．(2023秋•沭阳县期末）在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（）A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定【解答】解：∵P（﹣3，4），∴OP＝＝5，∵OP＝r＝5，∴点P在⊙O上，故选：C．2．(2023秋•惠山区期末）已知⊙O的半径为6cm，OP＝8cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法判断【解答】解：∵点P到圆心的距离OP＝8cm，小于⊙O的半径6cm，∴点P在在圆外．故选：C．2直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2．直线与圆的位置关系的判定和性质．

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

【例题精选】例1(2023秋•姜堰区期末）已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断分析：根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离，当d＝r，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，由⊙O的直径为4cm，点O到直线l的距离为2cm，得出d＝r，进而l与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵点O到直线l的距离为2，∴d＝r∴l与⊙O的位置关系相切．故选：B．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．例2(2023秋•东阳市期末）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定分析：欲求直线1与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：∵圆半径r＝3，圆心到直线的距离d＝4．故r＝3＜d＝4，∴直线与圆的位置关系是相离．故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．【随堂练习】1．(2023秋•海陵区期末）已知⊙O的直径是5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断【解答】解：∵⊙O的直径是5，∴⊙O的半径是2.5，∵点O到直线l的距离为3，∴点O到直线l的距离大于圆的半径，∴直线l与⊙O的位置关系为相离．故选：A．2．(2023秋•定州市期末）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，所以圆与y轴相交，故选：C．3．(2023•武汉模拟）已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离5cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为（）A．2 B．1 C．0 D．不确定【解答】解：∵⊙O的直径为12cm，∴⊙O的半径为6cm，∵圆心到直线L的距离为5cm，∴直线L与圆是相交的位置关系，∴直线L与⊙O的公共点的个数为2个．故选：A．3正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

要点诠释：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.【例题精选】例1(2023•番禺区模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（）A．22.5° B．45° C．30° D．50°分析：连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC＝90°，再根据圆周角定理，得∠BPC＝45°．【解答】解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．例2(2023•和平区校级模拟）正六边形的边长与边心距之比为（）A．1：2 B．2： C．2： D．：2分析：可设正六边形的边长为2，欲求边长、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．【解答】解：如右图所示，边长AB＝2；又该多边形为正六边形，故∠OBA＝60°，在Rt△BOG中，BG＝1，OG＝，所以AB＝2，即边长与边心距之比2：，故选：C．【点评】此题主要考查正多边形边长的计算问题，要求学生熟练掌握应用．【随堂练习】1．(2023•和平区模拟）如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，）【解答】解：连接OF．∵∠AOF＝＝60°，OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA＝OF＝4．设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．在Rt△GOF中，∵∠GOF＝30°，OF＝4，∴GF＝2，OG＝2．∴F（﹣2，2）．故选：C．2．(2023•鼓楼区一模）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝_________°．【解答】解：连接OB，OC，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠BOC＝∠COD＝＝72°，∴∠BOD＝2×72°＝144°，∵OB＝OC，∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°，故答案为：18．综合应用一．选择题1．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为（3，5），则B的坐标为（）A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）【解答】解：过M作MN⊥y轴，连接BM，∵圆M与x轴相切，M（3，5），∴ON＝AM＝5，MN＝3，设BC＝x，则BN＝OB﹣ON＝x﹣5，BM＝AM＝5，在Rt△BMN中，根据勾股定理得：52＝32+（x﹣5）2，解得：x＝9（x＝1不符合题意，舍去），则B（0，9），故选：D．2．已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（）A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定【解答】解：∵点P到圆心的距离为3cm，而⊙O的半径为4cm，∴点P到圆心的距离小于圆的半径，∴点P在圆内，故选：A．3．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，交DE于点N，∴CM×AB＝AC×BC，∴CM＝＝4.8，∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∴CN＝MN＝CM，∴MN＝2.4，∵以DE为直径的圆半径为2.5，∴r＝2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与AB的位置关系是：相交．故选：B．4．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB的大小为（）A．25° B．30° C．45° D．50°【解答】解：∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，故选：D．二．解答题5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长【解答】（1）证明：连接CO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴CO∥AD，∴CO⊥CD，∴DC为⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴AC＝AB＝3．6．如图已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．（1）探索AC满足什么条件时，有AD⊥CD，并加以证明．（2）当AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面积．【解答】（1）当AC满足平分∠BAD条件时，有AD⊥CD，证明：连接BC，则∠ACB＝90°，即∠ABC+∠BAC＝90°，∵CD是圆O的切线，∴∠ACD＝∠ABC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，即∠ADC＝90°，AD⊥CD；（2）解：连结OC、OF．∵CD切⊙O于C点，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC．∴AC平分∠BAD，∴CD＝CE，∵OA＝5，CD＝4，∴OC＝OA＝5，CE＝4，∵CF⊥AB，∴CF＝2CEOE＝＝＝3，∴CF＝2×4＝8CF×OE÷2＝8×3÷2＝12，故△OCF面积为12cm2．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵＝，∴∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝60°，∴∠BAC＝∠EAC＝