人教版九年级数学上册专题05二次函数中线段最值的三种考法(原卷版+解析)

专题05二次函数中线段最值的三种考法类型一、单线段转化为二次函数最值问题例．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值；(3)若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值．【变式训练1】如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值；(3)当取最大值时，求的面积．类型二、将军饮马型最值问题例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点．

(1)求抛物线与直线的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标．(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值；【变式训练1】如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．

(1)求、两点坐标以及抛物线的解析式；(2)证明：为直角三角形；(3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积；(4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P是位于直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(4)若点E为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、胡不归最值问题例．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．【变式训练1】如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？【变式训练2】已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线下方的一动点，连接与相交于点E，已知，求点E的坐标；(3)如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接．求的最小值．【变式训练3】已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．课后训练1．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P是该抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（）．①当时，求此时四边形的面积；②如图2，过点P作轴于点D，作轴于点E，当时，求t的值；③如图3，连接，过点P作于点D，求线段的长的最大值，并求出点P的坐标．2．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)填空：_________，_________，_________；(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．3．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．

(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．

专题05二次函数中线段最值的三种考法类型一、单线段转化为二次函数最值问题例．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值；(3)若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值．【答案】(1)(2),(3)【分析】（1）将点A、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求点，求出直线的表达式，进一步即可求解；（3）先求出直线解析式，设N横坐标为x，用含x的代数式表示线段，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：将点、代入抛物线表达式得：，解得：，抛物线的表达式为：；（2），令，则,解得或，令，则，故点B、C的坐标分别为：、；函数的对称轴为直线，

点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求点，设直线的表达式为，将点D、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，故BD的函数表达式为，当时，，即点，此时周长的最小值；（3）如图，

设直线的解析式是，把点，代入中，解得，∴直线解析式为．设N横坐标为x，则，，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，的最大值为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线和直线的待定系数法求解析式，轴对称-最短问题，二次函数的最值等，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式．【变式训练1】如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值．【答案】(1)；(2)8【分析】（1）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，再抛物线的解析式为：；（2）先求出A、B两点横坐标分别为和，设，其中，则，求出最大值即可．【详解】（1）解：抛物线：的顶点坐标为，点关于对称后的点坐标为，∵抛物线与抛物线关于成中心对称，∴抛物线的解析式为：．（2）解：∵抛物线：与：交于A、B，∴令，解得：或，则A、B两点横坐标分别为和，设，，其中，则，∴当时，最大为8．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值；(3)当取最大值时，求的面积．【答案】(1)；(2)1；(3)2【分析】（1）先求出A、C的坐标，再根据二次函数的对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）设，则，则，由二次函数的性质求解即可；（3）根据，进行求解即可．【详解】（1）解：在中，令，则，令，则，∴，∵抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，∴，∴可设抛物线解析式为，把代入中得，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：设，则，∴，∵，∴当时，最大，最大值为1；（3）解：由（2）得当最大时，，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等；灵活运用所学知识是解题的关键．类型二、将军饮马型最值问题例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点．

(1)求抛物线与直线的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标．(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值；【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；(2)点的坐标为(，)；(3)的最小值为；【分析】（1）抛物线与轴交于，、，两点，由两点式即可得到抛物线的解析式，求得点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式；（2）过点作轴于点，交直线于点，求得直线的解析式为，设点的坐标为，，则点的坐标为，，求得PE关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；（3）作点关于直线的对称点，求得点的坐标为，，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则的最小值为的长，证明，利用相似三角形的性质即可求解；【详解】（1）解：抛物线与轴交于，、，两点，抛物线的解析式为，令，则，点，，点是点关于轴的对称点，点，，设直线的解析式为，，，直线的解析式为；（2）解：过点作轴于点，交直线于点，

的面积，当取得最大值时，的面积有最大值，同理求得直线的解析式为，设点的坐标为，，则点的坐标为，，，，当时，有最大值，的面积有最大值，此时点的坐标为，；（3）解：抛物线的对称轴为直线，作点关于直线的对称点，点的坐标为，，点的坐标为，，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知的最小值为的长，过点作轴交直线于点，

则点的坐标为，，，，，，，，，，轴，，，，即，，的最小值为．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握所学知识并能够灵活运用是解题的关键．【变式训练1】如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．

(1)求、两点坐标以及抛物线的解析式；(2)证明：为直角三角形；(3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积；(4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标．【答案】(1)，，(2)证明见解析(3)，(4)【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解；（2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形；（3）连接，根据进行求解即可；（4）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可．【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，∴，，∵抛物线经过点和点，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）证明：在中，当时，则，解得，，∴．∵，，∴，，，∴，即．∵，∴，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线的顶点的坐标是；如图1，连接，

∴，∴四边形的面积是．（4）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为．如图，设抛物线的对称轴：与直线交于点E，

点P是直线上的点，连接．∵垂直平分，∴，，∴．∵为定值，∴当的值最小时，的周长最小．∵，∴当点P与点E重合时，，∴此时最小．∵直线，当时，，∴，∴当的周长最小时，点P的坐标为．【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P是位于直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(4)若点E为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)D的坐标为或(4)，【分析】（1）把，分别代入，利用待定系数法求解；（2）过点P作交于点H，根据得到关于点P的横坐标的二次函数关系式，进而求出二次函数的最值即可；（3）由可知：要使与相似，则有或，分别求解即可；（4）作点E关于y轴的对称点，作点关于x轴的对称点，由轴对称的性质可得四边形的周长，可知当，，M，N在一条直线上时，四边形的周长取最小值，直线与x轴、y轴的交点即为点M、N，由此可解．【详解】（1）解：把，分别代入得：，解得，∴抛物线的表达式为．（2）解：如图，过点P作交于点H，

令，得，∴，∴设直线的表达式为：，将，代入，得，解得，∴直线的表达式为，设，则，∴，∴，∴当时，取最大值，最大值为，即面积的最大值为；（3）解：如图，

∵，，，∴，，∴，，要使与相似，则有或，①当时，，解得，则，∴；②当时，，则，∴，即D的坐标为或；（4）解：，∵E为抛物线的顶点，∴，∵在抛物线上，∴，∴，如图，作点E关于y轴的对称点，作点F关于x轴的对称点，

由轴对称的性质可知，，∴四边形的周长，∴当，，M，N在一条直线上时，四边形的周长取最小值，因此，直线与x轴、y轴的交点即为点M、N，设直线的解析式为：，将，代入，得，∴，∴直线的解析式为：，当时，；当时，，∴，．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数、二次函数、轴对称、相似三角形等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点，第四问的关键是利用轴对称的性质找出点M和点N的位置．类型三、胡不归最值问题例．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．【答案】(1)(2)点，的最小值为(3)【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，∴点为；（2）当时，，∴，连接，

∵，∴，∵点关于对称轴的对称点为点，∴，∴当三点共线时，的值最小，为的长，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴，∵点在抛物线的对称轴上，∴；∴点，的最小值为；（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，

∵，设抛物线的解析式为：，∵，∴，∴，∴，设，则：，由（2）知：直线：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴当时，有最大值，此时．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．【变式训练1】如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)满足条件的E、F两点存在，，，(3)当时，的最大值为【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（2）满足条件的、两点存在，，，

解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.

过点作轴于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4当时，，此时点在点右侧故舍去；当时，.综上所述：，，（3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线当，即解得：∴，∵过，，三点∴

在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵点在抛物线上，且横坐标为∴∴

∵∴∴∴

∴∴当时，的最大值为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练2】已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线下方的一动点，连接与相交于点E，已知，求点E的坐标；(3)如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接．求的最小值．【答案】(1)，(2)点E的坐标为：或(3)【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由，则，由，得到，进而求解；（3）过点B作于点H，则，则此时为最小，进而求解．【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点，∴设抛物线的解析式为，把点代入得，，解得，故抛物线的表达式为：；（2）连接,∵，则，过点A作轴交于点N，过点P作轴交于点H，则，则，设直线的表达式为，把代入得：，解得，，∴直线的表达式为：，当时，，，则，设点，则点，则，解得：或2，即点或，同理，由点A、P的坐标得，直线的表达式为：或，联立和得：，解得：，则点；联立和得：，解得：，则点，即点E的坐标为：或；（3）连接，由点D的坐标知，，则，则，过点B作于点H，则，则此时为最小，则，则，则，即的最小值为．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏【变式训练3】已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解析式为，顶点的坐标为(2)点的坐标为(3)最小值为【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点的坐标，求解即可；（2）作轴，交于点，通过设和的坐标，利用“割补法”表示出，从而利用二次函数的性质求解最值即可；（3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，构造出含角的直角三角形，然后转换为求得最小值，继而确定当、、三点共线时，满足取得最小值，此时利用含角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中，∵，∴点的坐标为，将代入，解得：，∴，∴抛物线的解析式为，∵对称轴为直线，∴将代入，得：，∴顶点的坐标为；（2）解：∵，，∴直线的解析式为：，∵点在抛物线上，且位于直线下方，∴设，其中，，如图所示，作轴，交于点，∴，∴，∵，，，∴，∴，整理可得：，其中，∵，∴当时，取得最大值，将代入，得：，∴此时点的坐标为；

（3）解：存在最小值，理由如下：如下图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，则，，

∴在中，，∴随着点的运动，总有，∴，要使得取得最小值，即要使得取得最小值，如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，

此时，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴存在最小值，最小值为．【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．课后训练1．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P是该抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（）．①当时，求此时四边形的面积；②如图2，过点P作轴于点D，作轴于点E，当时，求t的值；③如图3，连接，过点P作于点D，求线段的长的最大值，并求出点P的坐标．【答案】(1)(2)①②③，【分析】（1）根据抛物线与轴的两个交点坐标，直接利用两点式写出函数解析式即可；（2）①先求出点的坐标，利用四边形的面积，进行求解即可；②根据题意，可得此时点坐标为，代入抛物线解析式，进行求解即可；③过点作轴，交于点，推出，进而得到当最大时，的值最大，进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，则：抛物线的解析式为：，即：；（2）①∵，当时，，当时，，∴当时，点坐标为，，∴，∵，∴，连接，

则：四边形的面积；②∵轴于点D，轴于点E，∴，∵，∴，∴，∴，解得：（负值已舍掉），∴；③设直线的解析式为，则：，解得：，∴；∵，∴，∴，过点作轴，交于点，

∵，∴，∴，∵，∴当时，的值最大为2，此时，∵，轴，∴，又，∴，在中，，∴当最大时，值最大，∵的最大值为2，∴值最大为，此时．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．属于中考常考压轴题．2．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)填空：_________，_________，_________；(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．【答案】(1)，，3；(2)(3)【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；（2）作轴于点，根据题意可得，从而得到