新八年级数学讲义第6讲整式的乘法-基础班(学生版+解析)

第6讲整式的乘法

1同底数幂的乘法(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.【例题精选】例1(2023春•西湖区校级月考）计算a3•a4的结果是（）A．a12 B．2a12 C．2a7 D．a7例2(2023秋•广安期末）若am＝8，an＝16，则am+n的值为（）A．32 B．64 C．128 D．256【随堂练习】1．(2023春•福安市期中）若2m＝10，2n＝5，则2m+n的值是（）A．50 B．15 C．5 D．22．(2023春•城关区校级期中）已知：am＝﹣3，an＝2，则am+n＝（）A．﹣1 B．﹣5 C．6 D．﹣63．(2023春•芷江县期末）若3×32m×33m＝321，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．52幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：【例题精选】例1(2023•沙坪坝区校级一模）计算（4b）2正确的是（）A．16b B．8b2 C．4b2 D．16b2例2(2023秋•临西县期末）计算：（m3n）2的结果是（）A．m6n B．m5n2 C．m6n2 D．m3n2【随堂练习】1．(2023•郑州模拟）下列计算错误的是（）A．2a2+3a2＝5a4 B．（3ab3）2＝9a2b6 C．（x2）3＝x6 D．a•a2＝a32．(2023秋•攀枝花期末）下列计算正确的是（）A．x3•x4＝x12 B．（x3）3＝x6 C． D．（﹣x）2＝x23.(2023秋•九龙坡区校级期末）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣a）4＝a4 C．（2a2）2＝2a4 D．（a2）3＝a53单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【例题精选】例1(2023秋•甘井子区期末）计算（﹣2x2y3）•3xy2结果正确的是（）A．﹣6x2y6 B．﹣6x3y5 C．﹣5x3y5 D．﹣24x7y5例2(2023•肥城市二模）下列运算正确的是（）A．22019﹣22018＝22018 B．2a2•3a3＝6a6 C．（﹣2a）3＝6a3 D．a2+a3＝a5【随堂练习】1．(2023春•安仁县期中）下列各式计算正确的是（）A．（a2）3＝（a3）2 B．3y3•5y4＝15y12 C．（﹣c）4•（﹣c）3＝c7 D．（ab5）2＝ab102．(2023•阜阳模拟）计算（2x）3•（﹣x2）的结果为（）A．8x6 B．﹣2x5 C．﹣8x5 D．2x54单项式乘多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【例题精选】例1(2023春•滦南县期中）计算x（3x2﹣2x2）的结果是（）A．x B．x3 C．x5 D．5x3例2(2023•雨湖区一模）下列运算正确的是（）A．2a3+a＝3a4 B．（2x3y）2＝4x6y2 C．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab D．2ab﹣3a（b﹣a）＝﹣ab﹣3a2【随堂练习】1．(2023•溧阳市一模）计算：x（x﹣2）＝_______.2．(2023春•金华期中）计算：﹣2x（x﹣3y）＝___________．3．(2023•零陵区一模）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．a3•a2＝a6 C．a（a﹣1）＝a2﹣1 D．（a2）4＝a85多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【例题精选】例1计算：（a+b+c）（c+d+e）．例2(2023春•覃塘区期中）计算：（1）（﹣a2）（﹣a）2（﹣a）（2）（3m+1）（2m﹣3）﹣（6m﹣5）（m﹣4）【随堂练习】1．(2023秋•襄城县期末）已知a2+a﹣4＝0，那么代数式：a2（a+5）的值是（）A．4 B．8 C．12 D．162．(2023秋•万州区期末）小淇用大小不同的9个长方形拼成一个大的长方形ABCD，则图中阴影部分的面积是（）A．（a+1）（b+3） B．（a+3）（b+1） C．（a+1）（b+4） D．（a+4）（b+1）3．(2023秋•广安期末）如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣4．(2023秋•颍州区期末）若x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．0 B．1 C．3 D．﹣3综合练习一．选择题1．计算正确的是（）A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b12 D．3a4•2a＝6a52．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（2a2）3＝6a6 C．2a﹣a＝2 D．（a2）3＝a63．下列运算，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若3x＝a，3y＝b，则32x﹣y等于（）A． B． C．a2+ D．2ab二．填空题5．计算：＝．6．已知2x•4x•8y＝64，则x+y＝．三．解答题7．计算：（2a）2﹣a×3a+a2．8．计算：（2a2）3﹣a4•a2﹣（a3）29．计算：（1）x3•x•（﹣x）2（2）a3•（﹣a2）3（3）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2（4）（﹣）2018×（1）2019第6讲整式的乘法

1同底数幂的乘法(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.【例题精选】例1(2023春•西湖区校级月考）计算a3•a4的结果是（）A．a12 B．2a12 C．2a7 D．a7分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后直接选取答案．【解答】解：a3•a4＝a3+4＝a7．故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．例2(2023秋•广安期末）若am＝8，an＝16，则am+n的值为（）A．32 B．64 C．128 D．256分析：直接利用同底数幂的乘方运算法则将原式变形求出即可．【解答】解：∵am＝8，an＝16，∴am+n＝am×an＝8×16＝128．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．【随堂练习】1．(2023春•福安市期中）若2m＝10，2n＝5，则2m+n的值是（）A．50 B．15 C．5 D．2【解答】解：∵2m＝10，2n＝5∴2m•2n＝2m+n＝10×5＝50故选：A．2．(2023春•城关区校级期中）已知：am＝﹣3，an＝2，则am+n＝（）A．﹣1 B．﹣5 C．6 D．﹣6【解答】解：因为am＝﹣3，an＝2，所以am+n＝am•an＝（﹣3）×2＝﹣6．故选：D．3．(2023春•芷江县期末）若3×32m×33m＝321，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：已知等式整理得：35m+1＝321，可得5m+1＝21，解得：m＝4，故选：C．2幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：【例题精选】例1(2023•沙坪坝区校级一模）计算（4b）2正确的是（）A．16b B．8b2 C．4b2 D．16b2分析：直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：（4b）2＝16b2．故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．例2(2023秋•临西县期末）计算：（m3n）2的结果是（）A．m6n B．m5n2 C．m6n2 D．m3n2分析：根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可．【解答】解：（m3n）2＝（m3）2•n2＝m6n2．故选：C．【点评】本题主要考查了积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积．【随堂练习】1．(2023•郑州模拟）下列计算错误的是（）A．2a2+3a2＝5a4 B．（3ab3）2＝9a2b6 C．（x2）3＝x6 D．a•a2＝a3【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，原式计算错误，符合题意；B、（3ab3）2＝9a2b6，正确，不合题意；C、（x2）3＝x6，正确，不合题意；D、a•a2＝a3，正确，不合题意；故选：A．2．(2023秋•攀枝花期末）下列计算正确的是（）A．x3•x4＝x12 B．（x3）3＝x6 C． D．（﹣x）2＝x2【解答】解：x3•x4＝x7，故选项A不合题意；（x3）3＝x9，故选项B不合题意；，故选项C不合题意；（﹣x）2＝x2，故选项D符合题意．故选：D．3.(2023秋•九龙坡区校级期末）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣a）4＝a4 C．（2a2）2＝2a4 D．（a2）3＝a5【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、（﹣a）4＝a4，正确；C、（2a2）2＝4a4，故此选项错误；D、（a2）3＝a6，故此选项错误；故选：B．3单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【例题精选】例1(2023秋•甘井子区期末）计算（﹣2x2y3）•3xy2结果正确的是（）A．﹣6x2y6 B．﹣6x3y5 C．﹣5x3y5 D．﹣24x7y5分析：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．【解答】解：（﹣2x2y3）•3xy2＝﹣6x2+1y3+2＝﹣6x3y5．故选：B．【点评】本题主要考查了单项式与单项式相乘，在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积．例2(2023•肥城市二模）下列运算正确的是（）A．22019﹣22018＝22018 B．2a2•3a3＝6a6 C．（﹣2a）3＝6a3 D．a2+a3＝a5分析：各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝22018×（2﹣1）＝22018，符合题意；B、原式＝6a5，不符合题意；C、原式＝﹣8a3，不符合题意；D、原式不能合并，不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【随堂练习】1．(2023春•安仁县期中）下列各式计算正确的是（）A．（a2）3＝（a3）2 B．3y3•5y4＝15y12 C．（﹣c）4•（﹣c）3＝c7 D．（ab5）2＝ab10【解答】解：∵（a2）3＝（a3）2＝a6，∴选项A符合题意；∵3y3•5y4＝15y7，∴选项B不符合题意；∵（﹣c）4•（﹣c）3＝﹣c7，∴选项C不符合题意；∵（ab5）2＝a2b10，∴选项D不符合题意．故选：A．2．(2023•阜阳模拟）计算（2x）3•（﹣x2）的结果为（）A．8x6 B．﹣2x5 C．﹣8x5 D．2x5【解答】解：（2x）3•（﹣x2）＝8x3•（﹣x2）＝﹣8x5．故选：C．4单项式乘多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【例题精选】例1(2023春•滦南县期中）计算x（3x2﹣2x2）的结果是（）A．x B．x3 C．x5 D．5x3分析：根据单项式乘多项式的计算法则计算，再合并同类项即可求解．【解答】解：x（3x2﹣2x2）＝3x3﹣2x3＝x3．故选：B．【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．例2(2023•雨湖区一模）下列运算正确的是（）A．2a3+a＝3a4 B．（2x3y）2＝4x6y2 C．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab D．2ab﹣3a（b﹣a）＝﹣ab﹣3a2分析：分别依据合并同类项法则、单项式的乘方、单项式乘多项式法则逐一计算即可得出答案．【解答】解：A．2a3与a不是同类项，不能合并，此选项错误；B．（2x3y）2＝4x6y2，此选项正确；C．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab+a，此选项错误；D．2ab﹣3a（b﹣a）＝2ab﹣3ab+3a2＝﹣ab+3a2，此选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解题的关键是掌握合并同类项法则、单项式的乘方、单项式乘多项式法则．【随堂练习】1．(2023•溧阳市一模）计算：x（x﹣2）＝_______.分析：根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝x2﹣2x故答案为：x2﹣2x【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．2．(2023春•金华期中）计算：﹣2x（x﹣3y）＝___________．分析：利用单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得结果．【解答】解：﹣2x（x﹣3y）＝﹣2x•x+（﹣2x）•（﹣3y）＝﹣2x2+6xy，故答案为：﹣2x2+6xy．3．(2023•零陵区一模）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．a3•a2＝a6 C．a（a﹣1）＝a2﹣1 D．（a2）4＝a8【解答】解：2a与3b不是同类项，不能合并，A错误；a3•a2＝a5，B错误；a（a﹣1）＝a2﹣a，C错误；（a2）4＝a8，D正确；故选：D．5多项式乘以多项式知识概述知识概述多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【例题精选】例1计算：（a+b+c）（c+d+e）．分析：按多项式乘以多项式法则运算即可．【解答】解：原式＝ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce．【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则．利用多项式乘以多项式法则时，没有合并前的项数＝多项式项数的积．易漏乘需注意．例2(2023春•覃塘区期中）计算：（1）（﹣a2）（﹣a）2（﹣a）（2）（3m+1）（2m﹣3）﹣（6m﹣5）（m﹣4）分析：（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可得出答案；（2）根据多项式乘多项式的法则进行解答即可．【解答】解：（1）原式＝a2•a2•a＝a5；（2）原式＝（6m2﹣7m﹣3）﹣（6m2﹣29m+20）＝6m2﹣7m﹣3﹣6m2+29m﹣20＝22m﹣23．【点评】此题考查了多项式乘多项式以及同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•襄城县期末）已知a2+a﹣4＝0，那么代数式：a2（a+5）的值是（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：∵a2+a﹣4＝0，∴a2＝﹣a+4，a2+a＝4，∴a2（a+5）＝（﹣a+4）（a+5）＝﹣a2﹣a+20＝﹣（a2+a）+20＝﹣4+20＝16．故选：D．2．(2023秋•万州区期末）小淇用大小不同的9个长方形拼成一个大的长方形ABCD，则图中阴影部分的面积是（）A．（a+1）（b+3） B．（a+3）（b+1） C．（a+1）（b+4） D．（a+4）（b+1）【解答】解：由平移可知，图中阴影部分的长为（a+3），宽为（b+1），则图中阴影部分的面积是（a+3）（b+1）．故选：B．3．(2023秋•广安期末）如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣【解答】解：（x﹣2）（x2+mx+1）＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，因为不含x2项，所以m﹣2＝0，解得：m＝2，故选：A．4．(2023秋•颍州区期末）若x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．0 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，∵乘积中不含x的一次项，∴m+3＝0，∴m＝﹣3．故选：D．综合练习一．选择题1．计算正确的是（）A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b1