新八年级数学讲义第2讲全等三角形-提高班(学生版+解析)

第2讲全等三角形

1全等三角形一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2.找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.四、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【例题精选】例1(2023秋•柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝________．例2(2023秋•江津区期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为_________．【随堂练习】1.(2023秋•包河区期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为________．2．(2023秋•东台市期末）△ABC≌△DEF，下列结论中不正确的是（）A．AB＝DE B．BE＝CF C．BC＝EF D．AC＝DE3．(2023秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（）A．70° B．68° C．65° D．60°2全等三角形的判定与性质全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS【例题精选】例1(2023•云南模拟）点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求证：△ABC≌△CDE．例2(2023秋•蜀山区期末）已知，如图，AC、BD相交于点E，EA＝ED，EB＝EC．求证：△ABC≌△DCB．【随堂练习】1．(2023秋•岑溪市期末）如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且OB＝OC，要使△AOB≌△DOC，应添加一个条件，不能证明△MOB≌△COD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝DO C．∠B＝∠C D．AB＝CD2．(2023秋•谢家集区期末）如图，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中不符合要求的是（）A．∠A＝∠D B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．CE＝FB3．(2023秋•白云区期末）如图，点C是以AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对4．(2023春•毕节市期中）如图，已知AC＝AD，∠ACB＝∠ADB＝90°，则全等三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对3直角三角形全等除了前面所学的全等条件外，直角三角形还有一种判定是HL即两个直角三角形中，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形也全等。【例题精选】例1(2023秋•诸城市期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF例2(2023秋•九龙坡区校级期中）下列说法正确的是（）A．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 B．两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．斜边对应相等的两个直角三角形全等【随堂练习】1．(2023秋•青龙县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件___________．2．(2023秋•肇庆期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是___________．4全等三角形的应用会利用三角形全等的判定与性质来解决实际问题【例题精选】例1(2023秋•海淀区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段________即可．例2(2023秋•昌平区期末）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带________块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是_________．【随堂练习】1．(2023秋•邢台期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．(2023秋•东湖区期末）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL2．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30° B．15° C．25° D．20°二．填空题4．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝．三．解答题（共3小题）5．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：∠EDC＝∠C．6．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．7．问题情境：小明和小丽共同探究一道数学题：如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD＝65°，∠DAC＝50°，AD＝2，求AC的长为多少．探索发现；小明的思路是：延长AD至点E，使DE＝AD，构造全等三角形．小丽的思路是：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造全等三角形．选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．类比应用：如图②，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，AB⊥AC．若∠CAD＝45°，∠ADC＝67.5°，AO＝2，则BC的长为．第2讲全等三角形

1全等三角形一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2.找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.四、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【例题精选】例1(2023秋•柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝________．分析：根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，由题意得，AB+BC+AC＝12，∴AB＝12﹣3﹣4＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．例2(2023秋•江津区期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为_________．分析：根据全等三角形的性质得到DB＝AC＝7，结合图形计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴DB＝AC＝7，∴DE＝BD﹣BE＝7﹣5＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【随堂练习】1.(2023秋•包河区期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为________．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠EAC＝40°，∴∠BAD＝40°，∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，故答案为：70°．2．(2023秋•东台市期末）△ABC≌△DEF，下列结论中不正确的是（）A．AB＝DE B．BE＝CF C．BC＝EF D．AC＝DE【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴BE＝CF，故A，B，C正确，故选：D．3．(2023秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（）A．70° B．68° C．65° D．60°【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝40°，∴△ABE中，∠B＝＝70°，∴∠AED＝70°，故选：A．2全等三角形的判定与性质全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS【例题精选】例1(2023•云南模拟）点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求证：△ABC≌△CDE．分析：根据中点的定义和全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：∵点C是AE的中点，∴AC＝CE，在△ACB与△CED中，∴△ABC≌△CDE（SAS）．【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．例2(2023秋•蜀山区期末）已知，如图，AC、BD相交于点E，EA＝ED，EB＝EC．求证：△ABC≌△DCB．分析：先利用“SAS”证明△AEB≌△DEC得到∠BAE＝∠CDE，AB＝CD，再证明AC＝BD，然后利用“SAS”证明△ABC≌△DCB．【解答】证明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（SAS），∴∠BAE＝∠CDE，AB＝CD，∵EA＝ED，EB＝EC，∴AC＝BD，在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【随堂练习】1．(2023秋•岑溪市期末）如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且OB＝OC，要使△AOB≌△DOC，应添加一个条件，不能证明△MOB≌△COD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝DO C．∠B＝∠C D．AB＝CD【解答】解：A、若∠A＝∠D，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，由“AAS”可证△MOB≌△COD，故选项A不符合题意；B、若AO＝DO，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，由“SAS”可证△MOB≌△COD，故选项B不符合题意；C、若∠B＝∠C，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，由“ASA”可证△MOB≌△COD，故选项C不符合题意；D、若AB＝CD，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，不能证明△MOB≌△COD，故选项D符合题意；故选：D．2．(2023秋•谢家集区期末）如图，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中不符合要求的是（）A．∠A＝∠D B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．CE＝FB【解答】解：A、添加∠A＝∠D，根据ASA可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．B、添加∠C＝∠F，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．C、添加AC＝DF，根据SSA不可以判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意．D、添加CE＝FB可以得到BC＝EF，根据SAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．故选：C．3．(2023秋•白云区期末）如图，点C是以AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【解答】解：∵点C是以AB的中点，∴AC＝BC，∵AD＝BE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，∴∠ACG＝∠BCH，∴△ACG≌△BCH（ASA），∴CG＝CH，∴EG＝DH，△ECH≌△DCG（ASA），∵∠EFG＝∠DFH，∴△EFG≌△DFH（AAS）；∴图中全等三角形共有4对，故选：C．4．(2023春•毕节市期中）如图，已知AC＝AD，∠ACB＝∠ADB＝90°，则全等三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝AB，AC＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），∴BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，∠ABC＝∠ABD，∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∵BC＝BD，∠CBE＝∠DBE，BE＝BE，∴△BCE≌△BDE（SAS）．故选：C．3直角三角形全等除了前面所学的全等条件外，直角三角形还有一种判定是HL即两个直角三角形中，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形也全等。【例题精选】例1(2023秋•诸城市期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF分析：根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】解：条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．例2(2023秋•九龙坡区校级期中）下列说法正确的是（）A．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 B．两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．斜边对应相等的两个直角三角形全等分析：根据全等三角形的判定定理进行解答．【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理SAS可以判定两个等腰三角形全等，故本选项符合题意．B、该角是两边的夹角时方可推知这两个三角形全等，负责不能推知全等，故本选项不符合题意．C、周长相等的两个三角形的大小和形状不一定相同，不能判断全等，故本选项不符合题意．D、斜边对应相等的两个直角三角形的两直角边不一定对应相等，不能判断全等，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【随堂练习】1．(2023秋•青龙县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件___________．【解答】解：还需添加条件AB＝AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故答案为：AB＝AC．【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．(2023秋•肇庆期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是___________．【解答】解：AC＝DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC＝∠DBE＝90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC＝DE．4全等三角形的应用会利用三角形全等的判定与性质来解决实际问题【例题精选】例1(2023秋•海淀区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段________即可．分析：根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【解答】解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明△ABC≌△EDC，故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．故答案为：DE．【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．例2(2023秋•昌平区期末）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带________块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是_________．分析：已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带②去．故答案为：②，ASA．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．【随堂练习】1．(2023秋•邢台期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．2．(2023秋•东湖区期末）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：B．综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解答】解：由作图可知，OE＝OD，DC＝EC，在△ODC与△OEC中，∴△ODC≌△OEC（SSS），故选：A．2．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵BE＝BC，利用SAS可得△ABC≌△DBE；∵∠D＝∠A，利用ASA可得△ABC≌△DBE；∵∠B＝∠E，利用AAS可得△ABC≌△DBE；故选：C．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30° B．15° C．25° D．20°【解答】解：证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠CAD＝∠FBD，在△BDF和△ACD中，∴△BDF≌△ACD（AAS）∴∠DBF＝∠CAD＝25°，∵DB＝DA，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBF＝20°故选：D．二．填空题（共1小题）4．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝35°．【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠DAB＝35°，故答案为：35三．解答题（共3小题）5．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：∠EDC＝∠C．【解答】证明：∵∠ADE＝∠1+∠DCE＝∠2+∠BDE，且∠1＝∠2，∴∠DC