山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学 1-3-2柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学案 新人教版必修

山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学必修二学案：1-3-2

柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积

［学习要求］

1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；

2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；

3.会求简单组合体的体积及表面积.

［学法指导］

通过对几何体的体积及球的体积和面积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能

力，增强探索问题和解决问题的信心.

注意：1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题.

2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力.题

型多为选择、填空题.

填一填•知识要点、记下疑难点

1.柱体、锥体、台体的体积

几何体体积

匕叫=____（S为底面面积，方为高），

柱体

vm=_____（r为底面半径）

/推体=___（S为底面面积，力为高），

锥体

，砸=________（r为底面半径）

%体=__________________________

（S',S分别为上、下底面面积，A为高），

台体

y圆台=_____________________________

（/,r分别为上、下底面半径）

2.球的体积：球的半径为此那么它的体积「=.

3.球的表面积：球的半径为此那么它的表面积5=

一般地，面积是相对平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积,

问题1我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式如

何表示？

答/正方体=/,P长方体=abc,心柱=”产2,?/?.

问题2根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

答如果设S为底面面积，方为高，一般柱体的体积公式为入年=S上

问题3等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积

关系如何？

答从圆柱和圆锥的体积公式，得等底、等高的圆柱的体积是圆锥的3倍；等底等高的圆

锥、棱锥之间的体积相等.

问题4根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式？

答，御*=，S/?(S为底面面积，方为高).

问题5台体的上底面积S',下底面积S,高力，则台体的体积是怎样的？圆台的体积公

式如何用上下底面半径及高表示？

答匕=:(£+小，+S4

O

JW=4(S'+y[s^+5)JTA(?+>?).(r、月分别为圆台上底、下底半径)

一、棱柱、棱锥、棱台的体积

几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，

在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别

是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重

要的平面图形的应用.

1.己知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3,对角线的长是25,则这个长

方体的体积是（）.

A.6B.12C.24D.48

解析设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3”,又对角线长为2，逋，

则x+（2A）2+（3x）z=（2V14）2,解得x=2.

.•.三条棱长分别为2、4、6.长方体=2X4X6=48.

答案D

2.直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上如图,AP=C1Q,则

四棱锥B—APQC的体积为（）

A.V/2B.V/3C.V/4D.V/5

答案：B；解析：取P、Q分别为AAi、CCi的中点，设矩形AAiSC的面积为S,点B

到底面AAiCiC的距离为h,则k呼=1.；.h=T酬）=1（%.儿时）=1（网与酎）=〜.

32323233

3.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为

答案半

O

解析本题考查几何体体积的求法，易知正三棱锥的侧棱长为则其体积为（（啦）3

—3,

（若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为a、b、c,则其体积为,a6c）.

4.如图所示，E、尸分别是边长为1的正方形4?切边8G切的中点，沿线"；AE,

跖折起来，则所围成的三棱锥的体积为（）

11

A，3B,6

C±D±

1224

答案D解析设6、D、C重合于a

5.（2012上海文数）已知四棱椎P—A8C£＞的底面是边长为6的正方形，侧棱PA_L底面

ABCD,且PA=8,则该四棱椎的体积是96。

解析：考查棱锥体积公式丫=,x36x8=96

3

6.（2012•新课标）已知三棱锥-Z18C的所有顶点都在球。的球面上，△?（a1是边长为

1的正三角形，SC为球。的直径，且SC=2,则此棱链的体积为

A亚

O

【解析】是球。的直径,

：.ZCAS^ZCBS=WQ.

•：BA=BC=AC=1,SC=2,：.AS=BS=y[i.

取四的中点。，显然4员LG9,ABLCS.

从L平面CDS.

在aWS中，加坐〃S=卑，SC=2,利用余弦定理可得cos/CDS」"累二

/乙/tz〃OZz

1

Q4J2

^sinZCDS=~f=.

733

..队「X2%2%疝-2'

=

**-V%_您+VA-CO$

1.1

=鼻・S^CDS•BD~\--S^a）s•AD

0J

=J&c梦・BA

1mJ2

-3XTX1=T-

【答案】A

0

7.（2012江西理数）如图，在三棱锥O—ABC中，三条棱OA

OC两两垂直，且0A>08>0C,分别经过三条棱。4,0B,

一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，S2,S3,则S-S2,S3的大小关系

为。

【答案】S3Vs2<R

【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证

结论，特殊化，令边长为1,2,3得邑<52<5。

8.已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形（如图），则三

棱锥5—4%的体积为（）

11

CV63V43

一

4一B.2D.

解析眸;仍=Jx理X3=芈.答案：D

9.如图，正方体48c4的棱长为1,E,尸分别为线段44”&C上

的点，则三棱锥〃一&*的体积为.

解析利用三棱锥的体积公式直接求解.

/3=忆必，=/'XD'DEX^|x|x1X1X1=1.

10.（2011山东文数）如图，正方体ABC。-4801.的棱长为1,

E为线段BQ上的一点，则三棱锥A-。的的体积为.

【解析】以△ADR为底面，则易知三棱锥的高为1,故V='L-lil=L.【答

326

案】

6

11.如图所示的三棱锥―/比1的三条侧棱两两垂直，且必=1,为=小,

PC=#，求其体积.（一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂

4

直）

解由题意知必_L阳，PALPC,PBCPC=P,所以为垂直平面小

所以为是三棱锥4一月弘的底面如C上的高，

„1,\/6.

且S^=~•PB•P<7=悌-（z因mPB1P0,

手等,即三棱锥I始的体积为

12.在棱长为a的正方体ABCD-A|B|C1%中，P、Q是对角线A】C上的点，若PQ=］，则三棱

锥P-BDQ的体积为（）

.6a3V336a3n才晶4

A.-----B.---ciC.-----D.不确Til

361824

答案：A

13..四面体的棱长中，有两条为直及其余全为1时，它的体积（）

D.以上全不正确

答案：A

14.（2008四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一

个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（B）

(A)VI(B)2>/2(03V2(D)4V2

【解】：如图在三棱柱ABC-中，设=NA4|G=600,

由条件有NG=60°，作A。_L面A/iG于点O,

mncosNA41Mcos60°1

则COSZAAO---------=----------==——

cosNgA。cos30V33

sinZAAjO=/.AO=AA^•sinZA4(0=~~~

1)rz

Vjox-.„c=SMRC・AO=—x2x2xsin60°x------=2-\/2故选B

-A23

【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力;

【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理

并能准确应用是解决此题的关键;

15.如图，三棱柱ABC—48'。'中，P为A4'上一点，求V­叱一："，”，，

解法一：设与B，C，C=S,44倒平面83'OC的距离为h,则心

把三棱柱ABC-4"。接补成以。DCC和8"CC为相

此平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍.

1

1

32

=S/7=

•^ABC-A'R'C=、Sh；.Vp-BB，CC，1-

1S/23

2^ABC-A'B'C-

2

^P-ABC-^P-A'B'C

解法二：VP_BB.C.C

设SM)C="?，棱柱的高为"，则三棱柱的体积=m-n

12

P-BB'C'C=^ABC-AtB'C~P-ABC~^P-A'B'C'=一Q祖，〃（尸到两底距.离，和为0="见，

2

••^P-AB'C'C^ABC-A^'C

3

小结：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作

柱体的底，有利于体积变换.

例设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为乖，那么它的体积为（）

A.673B.A/3C.2mD.2

解析因正六棱锥的高为"7=2,所以r=15A=1x6X^X2=V3.

OOq

例如图所示，已知高为3的棱柱49G-/'B'C的底面是边长为1的正三角形,

则三棱锥夕一力阳的体积为（）

1

A-4

C.爽亚

64

［答案］D

［解析］:棱柱的高为3,到底面1回的距离，即棱锥"一/缈的高为3,

二体积，=3X乎X/X3=*.

例（09〜10学年枣庄模拟）一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等

腰直角三角形，直角边长为1,则这个几何体的体积为（）

A.1

正视图侧视图

佛视图

1

B.~

C-3

1

D.-

6

［答案］D

［解析］由三视图知，该几何体是三棱锥.

A3111

体积K=-X-X1X1X1=-

326

例一密闭正三棱柱容器内装有液体，该三棱柱容器内底面正三角形边长为2,棱柱

的内高为3,将一侧面置于水平桌面上，测得液体高度为手，现将容器底面放于水平桌面

上，则容器内液面高度为（）

3373

A.~B.~~~

C.,D.3-\/3

［答案］C

［解析］由题意可知，侧面置水平桌面上时，容器内的液体是一个四棱柱，高为3,底

面是一梯形，梯形的下底是2,高是半，可求得上底长为1,

24

设直立正放于桌面上时，液面高度为X,则乎X2'Xx=¥，.•“=*

例，已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则体积为（）

A.324B.2873

C.2473D.20y［3

［答案］B

［解析］上底面积S=6X*X22=6小，

下底面积S=6X,X4?=24M，

体积O="（S+W+!SS）•h

o

=J（6^3+24小+y）6y［3•24-73）义2=28m.

O

例已知三棱柱力4AG的体积为匕P、。分别在侧棱44和GC上，且力户=6。

则四棱锥6—4尸究的体积是（）

11

A.-KB-r

o

21

cK

5-D.4-

［答案］B

［解析］VB-APQC="XVii-AcaA\—Vs-Aca

1

=Va-ABC=TV.

o

例（2010•天津理，12）一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为

［答案］V

0

［解析］由三视图知I,该几何体由一个高为2,底面边长为2的正四棱锥和一个高为2,

底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2X2X1X《+1X1X2=¥.

OJ

例（08•江西理）如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底

的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点A如果将

容器倒置，水面也恰好过点?（图2）.有下列四个命题:

图1图2

①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点〃

③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

④若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满

其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）.

［答案］②④

［解析］•••正放时，里边有一个正四棱锥实心装饰块，正放与倒置时，水面都经过正

四棱锥顶，容器内水的体积一定，

，①错，④对.

侧面水平放置时，正四棱锥的体积，在水面上、下各一半，容器的容积上、下各一半，

...水面恰好过点只但任意摆放时，水面上、下部分正四棱锥体积不等，故水面不过。

点，②对，③错.

例（09•天津文）如图是一个几何体的三视图.若它的体积是队「，求a的值.

正视图侧视图

［解析］由三视图知，几何体为底面边长为2,高为3的正三棱柱.

r=^X2XaX3=3-^3,；.a=小.

例（07•宁夏、海南）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位:

cm）,可得这个几何体的体积是（）

4000380003

A.~~-cmB.-7T-cm3

O

C.2000cm3D.4000cm3

［答案］B

［解析］由俯视图知此几何体的底面为一个边长为20的正方形，结合正视图、侧视图

知，此几何体为四棱锥，高为20,所以其体积为1x20X20X20=^2^,故选B.

*5*5

例如图，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分别为AB、AC的中点，平

面EBC将三棱柱分成体积为修、V2的两部分，那么％:V2=。

解：设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=%+5=Sh。

：E、F分别为AB、AC的中点，

5

V2=Sh-V1=—Sh,

12

.♦.%:V2=7：5o

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对

应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。

例己知四面体各棱长是1或2,且该四面体不是正四面体，求这个四面体体积的所有可

能的值。

解：根据已知条件及构成三角形的条件满足要求的四面体应分为三类。

AA

cCc

AB=AC=AD=2AC=AD=BC=BD=2AB=AC=AD=BC=BD=2

BC=CD=DB=1AB=CD=1CD=1

则A0=122-(2.9l)2=但，所

(1)如图1,四面体各棱AB=AC=AD=2,BC=CD=BD=1,

V32V3

以四面体的体积V=；SAfi8.AO=(xTxl2x孚x聘hVTT

IT°

(2)如图2,四面体各棱AC=AD=2,AB=1,BC=BD=2,CD=1,t①M、N分别为AB、CD的中点，

AM=S=与SsBM=gAB.MN=gxlx照

11J14J14

四面体的体积为V--SMB,w-CD=-x^-xl=3-•

(3)如图形,四面体各棱AB=AC=AD=2,BD=BC=2,CD=1,设M、N分别为AB、CD的中点，

L-1=如，四面体的体积为

AM=2_g)2=,SAABM=；■•MN=；X2X4

卜2

v_ic51VHlVTT

V—5•CD=-x----x1=----.

3MA4BM326

故四面体的所有可能的体积为VT叶T■或Vi力4或V少TT

12126

二、旋转体的体积

1.（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2H的半圆面，则该圆锥的体积为

【解析】如图，由题意知;贝丁=2n,，/=2.

又展开图为半圆，.•.n/=2兀r.

.•.r=l,故圆锥的高为巾，体积

12,#31

2.已知圆台上、下底面面积分别是"、4n,侧面积是6n则这个

圆台的体积是（）.

A.平“B.2^3C.芈nD.芈“

J0o

解析S=兀，S=4n,

r=1,R=2,S=6兀=n(r+必/,

：.1=2,:.仁小.

；"/=；JI(1+4+2)X^3=^3n.

答案D

3.把由曲线y=|x|和y=2围成的图形绕x轴旋转360。，所得旋转体的体积为—

解析由题意，y=和y=2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同

的共顶点的圆锥.

21216n

:唳柱=nX22X4=16n,2K=2X-nX2JX2=^-

m«Jo

所求几何体体积为16n一”:=?.

Oo

答案等

4.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°,底面

圆的半径为1,则该圆锥的体积为

解析因为扇形弧长为2n“所以圆锥母线长为3,高为24，所求体积

=|xJI义1?*2*==当A

答案警

5.若直角梯形的一个底角为45°,下底长为上底长的|,这个梯形绕下底所在直线旋转一

周所成的旋转体的表面积是（5+镜）n,求这个旋转体的体积.

解如图所示，在梯形48缪中，AB//CD,//=90°,/6=45°,绕48边旋转一周后形

成一圆柱和一圆锥的组合体.

3x、历

设C9=x,AB=~x,则49=44—09=5，BC=~~x.

S去=5圆柱底+5圈柱恻+5圆锥侧

9

=n•JZ/+2TI•ADCD+冗•AD,BC

x,xxy[2

=JI•~+2n•5•x+n•5X个x

Lt乙乙

5+12

根据题设，%且口/=(5+*)口，则x=2.

所以旋转体体积『=m-AO•CD*♦Alf-{AB-CD)

J

=nX12X2+-7X12X(3-2)

o

7

例圆柱有一个内接长方体4G,长方体对角线长是l(h「cm,圆柱的侧面展开平面图为

矩形，此矩形的面积是100"cm2,求圆柱的体积.

解设圆柱底面半径为rcm,高为hcm.

如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则

f2r2+A210j2:

[2nrA=100n,

.•.尸.

/./圆柱=S/?=叮rh=nX52X10=250n(cm3).

.••圆柱体积为250ncm3.

例若一个圆锥的侧面展开图是面积为2n的半圆面，则该圆锥的体积为

n1=2nr,

设圆锥底面半径为八母线长为/,高为A,则〈"=2”,

1=2,

：.h=木.

r=l,

例若一个圆锥的侧面展开图是面积为2n的半圆面，则该圆锥的体积为

*n7=2nr,

设圆锥底面半径为r,母线长为/,高为力，则＜

19

-n7=2n,

7=2,

；.h=p

r=lf

例已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S,底面周长为C,它的体积是（）

A.£4BS

4ns

「CSSC

C.--D."~

2n4n

［答案］D

Ch=S

［解析］设圆柱底面半径为r,高为启则

C=2nr

C.S

片方b=~C

SSC

K=JIr•h=叮?=I7-

例体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆

台的圆锥的体积为（)

A.54cm3B.54ncm'

C.58cm-D.58ncm'

［答案］A

［解析］由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27,截得小圆锥与圆台体积比为1:26,

小圆锥体积为2cm）故原来圆锥的体积为54cm3,故选A.

例（09〜10学年泰安高模）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几

何体的体积为（）

侧视图

A.8B.2n

C.4nD.n

［答案］D

［解析］由三视图可知，该几何体是底半径为1,高为2的圆柱，沿经过轴的截面分割

开的半个圆柱，故其体积X：P）X2=八

例圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是（）

A.1:1B.1:6C.1:7D.1:8

［答案］C

［解析］如图，设圆锥底半径仍=吊高PO=h,

h

VO'为P0中点,：.P0'=-,

=如欣.

h1

+"+加5=亦加.

,够1

故选C.

**加台。o7'

［点评］由圆锥的平行于底面的截面性质，截得小圆锥与原来圆锥的高的比为1:2,故

体积比为1:8,因而上、下两部分体积比为1:7.

例用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1:3,这截面

把圆锥母线分为两段的比是（）

A.1:3B.1:（小一1）

C.1:9D.y/3:2

［答案］B

［解析］由面积比为1:3,知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1:43,故截面把圆锥

母线分为1：（第—1）两部分，故选B.

例圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图扇环的圆心角是

180°（如图），那么圆台的体积是

7000Hr-

r［答案?］-\/3cm3

0

「/TiLLr石20—10°

［解析］180°=­--X360°,A7=20

r—1/2।2।\7000\/3n/3、

/?=10y］3,勺.n(zi+r^+riZ2)•h=----手---(cm).

oo

例已知圆台上、下底面半径分别为1,2,高为3,则圆台体积为

［答案］7几

［解析］由已知圆台上、下底面积分别为

S上=n,SH=4n.

则P圆台•（兀+、/叮•47+4兀）•3=7兀.

o

例底半径为1,高为1的圆柱，内接长方体如图，设矩形/优。的面

积为S,长方体4644一/版的体积为力设矩形46徵的一边长4Hx.

(1)将S表达为x的函数；

(2)求，的最大值.

［解析］(1r•矩形4版内接于圆0,为。。的直径，

"."AC—2,AB—x,BC—\l4—x~,

：.S=AB•6C=A/4-X2(0<A<2).

(2)；长方体的高44=1,

勺S・44=川4-、

="^/(4—%)—yj—(z—2)2+4,

V0<K2,/.0</<4,

二当V=2,即X=M时，Kax—2,

故长方体体积的最大值为2.

例,在△49C中，AB=2,3C=1.5,N4?C=120°,若将△4坑?绕直线8C旋转一周,

则所形成的旋转体的体积是()

9753

A.>B.-n喘口D.5n

［答案］D

［解析］本题是旋转问题，考查锥体的体积公式和空间想像能力.如图所示，该旋转

体的体积为圆锥切与圆锥劭体积之差.

在△/劭中，AB=2,/月砌=60。，

AD=邓,

.•.勺/—JtX(V3)2X(1+1.5)-1XJT

o。乙

例（14分）已知：一个圆锥的底面半径为此高为〃，在其中有一个高为x的内接圆柱.

（1）求圆柱的侧面积；

（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大.

解：（1）设内接圆柱底面半径为工

、小

rH-xRzrr

S圆柱网=2".x①'：——=-------r-——(H-x)②

RHH

R

②代入①

S圆柱恻=(//-x)=——x2+HA)(O<X<H)

HH

+---

・•.x=良时

圆柱侧最大-

2s

三、球的表面积和体积

问题球既没有底面，也无法像柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体

积呢？就目前我们学过的知识还不能解决，我们不妨先记住公式.设球的半径为此那么

4

它的体积：，=勺”上它的表面积S=4""，现在请大家观察这两个公式，思考它们都有

什么特点？

答这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径火唯一确定.其中球的体积是半径火

的三次函数，球的表面积是半径"的二次函数，并且表面积为半径为〃的圆面积的4倍.

例两个球的体积之比为8：27,则它的表面积之比为（）

A.2：3B.4：9

C.1：2D.1：3

［答案］B

［解析］由体积比知半径之比为2:3,

二面积之比为4：9,故选B.

例两个球的体积之和是12%大圆周长之和是6%则两球半径之差是（）

A.1B.2

「3

C.3D.~

［答案］A

［解析］设两球半径为小八及次,则

4n

=12n,2五（介+八）=6几

O

解得力=1,12=2,/.r2—ri=l,故选A.

例两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为（）

A.2B.^/2

C.y/2D.1^/4

44JI

［答案］C.［解析］设大球半径为r,则/"=2义彳，

<3<5

.,._r=般，故选C.

例若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之

比为（）

A.2：1B.2：3

C.2：nD.2：5

［答案］A

141

［解析］r3X-:・h=2r,故选A.

oJ/

例湖面上漂着一个球，湖面结冰后将球取出，冰面上留下了一个面直径为24,深

为8的空穴，则球的半径为()

A.8B.12

C.13D.8小

［答案］C

［解析］122+(k-8)2="，.•.斤=13.故选C.

例已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为________.

［答案］3

4.

［解析］-n7?=4n:.R=3.

例在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,，它们的面积分别为49Jtcm?和400ncm2.

求球的表面积.

［解析］如图为球的过球心的截面，由球的截面性质知，AOJ/BO,,且。、“分别为两

截面圆的圆心，则。OO,LBO>,设球的半径为

・.・JI•a4=49JT,Aft5=7cm,

同理n。4=400n,/.。力=20cm.

设0Q=xcm,则O(h=(-Y+9)cm.

在入△%力中，/f=x+20\

在Rt△。睡中,^=a+9)2+72,

.\x+202=72+(X+9)2,解得x=15,

：./^=X+202=25\A/?=25cm.

，S球=4兀*=2500ncm.

・•・球的表面积为2500ncm2.

例,如图9-9,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径

D

为r的实心铁球，水面高度恰好升高r,则一=。

r

解析：水面高度升高八则圆柱体积增加"川•八恰好是半径为r的实心铁球的体积,

因此有"不封="好八故0=冬3。答案为西。

3r33

点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。

例体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别是$、&、S,试比较它们的大

小.

［解析］设正方体的棱长为a,球的半径为凡等边圆柱的底面半径为八则5=6提

S=4“/，S=6Jtr.

4

由题意知，1页〃=a'="产•2r,

又6a。>3牛2口a?=勺54na',即S>W.

.••S、S、S的大小关系是S<S<S.

1.(2012辽宁文数)已知S,A,8,C是球。表面上的点，SAJ_平面ABC,AB±BC,

S4=AB=1,BC=及，则球。的表面积等于

(A)4〃(B)3乃(C)24(D)71

解析：选A.由已知，球。的直径为2R=SC=2,.•.表面积为4IR2=44

2.（2012湖北文数）圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么

与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.

【答案】4

4

【解析】设球半径为r,则由3%+匕卜=%可得3xy/+勿/x8”产x6厂，解得r=4.

3.已知过球面上三点/、8、C的截面到球心0的距离等于球半径的一半，且48=18cm,

BC=24cm,4c=30cm,求球的体积和表面积.

【答案】华

O

【解析】

...△/6C是直角三角形，N/6C=90°,...过尔6、C三点的截面圆的半径为，C=15cm.

设球的半径为R,则#=(软+应

4=300,'./f—lOyficm.

；・，理=3n『=400(h/3ncm3.

5»=4Ji1^=1200Jicm2.

4.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为力，则球的体积为

8乃

C.8岳327

3

答案：B

点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能

力方面主要考查空间想象能力。

5.已知过球面上A,鼠。三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

AB=BC=C4=2,求球的表面积。

解：设截面圆心为0',连结0'4,设球半径为R,

则。N=2x立乂2=毡，

323

在RtbOOA中，CM?=O'A2+O'O2,

，心苧+*

/.S-4万R?=--71o

9

点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

6.(2008四川理，8)设M,N是球心。的半径0P上的两点，且NP=MN=0M,分别

过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：()

(A)3,5,6(B)3,6,8(C)5,7,9(D)5,8,9

【解工设分别过N,M,。作垂线于。尸的面截球得三个圆的半径为4,公q,球半径为R,

2Z1\48Z2\4

22222/222/2

则RA■RR

------------

3I39H3/?

V7V7

...1他22=54：9.♦.这三个圆的面积之比为：5,8,9故选D

【点评工此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系;

【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；

7.（2012四川理数）（1D半径为R的球0的直径A5垂直于平面a,垂足为B,|BCD

是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、A£）分别与球面交于点弘/V,那么

/I\

/II

风/V两点间的球面距离是，一一一?

(/)Rarccos—Rarccos—

2525

91兀R

解析：由已知，A42R,BC=R，故tan/BAgL

2

cosABAC—-

连结0M,则△物也为等腰三角形

4754A/5

AQ2A0cosNBAC=R,同理4V=二一R,旦MN"C