人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：4 2 1 指数函数的概念

4.2指数函数

4.2.1指数函数的概念

【学习目标】1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性2了解指数增长型和指

数衰减型在实际问题中的应用.

知识梳理梳理教材夯实基•础

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知识点一指数函数的定义

一般地，函数y=“'(a>0,且a#l)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R

思考为什么底数应满足〃>0且aWl?

『答案』①当aWO时，"可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当”=1时，

〃=l(xGR),无研究价值.因此规定丫=出中〃>0,且

知识点二两类指数模型

I.y=W>0).当。>1时为指数增长型函数模型.

2.y=k/(fc>0),当0<“<1时为指数衰减型函数模型.

■思考辨析判断正误

1.y=x，(x>0)是指数函数.(X)

2.〉=/2(4>0且“W1)是指数函数.(X)

3.是指数衰减型函数模型一(4)

4.若4x)=a'为指数函数，则a>l.(X)

题型探究探究重点素养提升

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一、指数函数的概念

例1(1)下列函数中是指数函数的是.(填序号)

①y=2•(巾)*；②y=2"r；③y=(|>；④y=3工；⑤y=xT

(2)若函数y=(a2-3n+3)%'是指数函数，则实数。=.

『答案』⑴③(2)2

『解析』(1)①中指数式(血尸的系数不为1,故不是指数函数；②中y=2，r,指数位置不

是x,故不是指数函数；④中指数不是x,故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一

确定的值，故不是指数函数，故填③.

(a2-3a+3—1,

⑵由y=(.2—3a+3)•炉是指数函数，可得,八口解得a=2.

〃>0且,

反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法

(1)底数的值是否符合要求；

(2)出前的系数是否为1：

(3)指数是否符合要求.

跟踪训练1(1)若函数y="2(2—。尸是指数函数，则()

A.a=1或一1B.<2=1

C.”=一1D.a>0月.aWl

『答案』C

『解析』因为函数丫=标(2-“尸是指数函数，

a2-l,

所以“2—a>0,解得a=-1.

、2—arI,

⑵若函数y=(2。一3)、是指数函数，则实数«的取值范围是.

『答案』82)52,+8)

(2a~3>0,3

『解析』由题意知解得a君且a丰2.

[2a—3#1,2

二、求指数函数的『解析』式、函数值

例2(1)已知函数7(x)是指数函数，且.(一,)=妻，则式3)=.

『答案』125

「解析』设人力=〃(4>0,且aWI),

由(一I)浅得

>=正=£=52

2552

所以。=5,即©=5*,所以负3)=53=125.

(2)已知函数y=/(x),xdR,且X0)=3,瑞=/第君…，天鲁五=今求函数y

=加)的一个『解析』式.

解当x增加1时函数值都以g的衰减率衰减，

函数於)为指数衰减型,

令兀r)=4g)代WO),

又10)=3,:.k=3,

•7/U)=3(£)'.

反思感悟解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系

数法设出函数『解析』式，再代入已知条件求解.

跟踪训练2已知函数危)=〃+贴＞0,且aWl)经过点(-1,5),(0,4),则,八一2)的值为

『答案』7

_(I

[a~l+b=5,4=7，

『解析』由已知得山解得＜2

1=3,

所以Jx)=0}+3,

所以述一2)=(§-2+3=4+3=7.

三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用

例3甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%,乙城

市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：

(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；

(3)对两城市人口增长情况作出分析.

参考数据：(1+1.2%严合1.127,(1+1.2%)20«=1.269,(1+1.2%产41.430.

解(1)1年后甲城市人口总数为

y单=100+100X1.2%=100X(1+1.2%)；

2年后甲城市人口总数为

y甲=100X(1+1.2%)+100X(1+1.2%)X1.2%=100X(1+1.2%)2；

3年后甲城市人口总数为

yf=100义(1+1.2%)3；

••••

x年后甲城市人口总数为y甲=100X(1+1.2%)*'.

x年后乙城市人口总数为yz,=100+1.3x.

(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.

10年后20年后30年后

甲112.7126.9143.0

乙113126139

(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人

口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.

反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施

(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时

间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较.

(2)具体分析问题时，应严格计算并写出前3〜4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规

律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可.

(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型

表示，通常可以表示为y=N(l+p)Y其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.

跟踪训练3中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康

社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建

成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的

基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水

平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高.

设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长〃％.下面给出了依据“到2020年

城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：

①(l+p%)X10=2；

②(1+2％)|。=2；

③10(|+/，％)=2；

@l+10X/?%=2.

其中正确的是()

A.①B.②C.③D.④

『答案』B

『解析』已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.

则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1+/?%严=2；

正确的关系式为②.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.下列函数：

①y=2-3"；©y=3x+［；③y=3*；®y=xi.

其中，指数函数的个数是()

A.OB.IC.2D.3

『答案』B

『解析』①中，3、的系数是2,故①不是指数函数；

②中，y=3，+i的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数；

③中，y=3*,3、的系数是1,指数是自变量x,且只有3、一项，故③是指数函数;

④中，中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.

所以只有③是指数函数.故选B.

2.若函数y=（m2一机一是指数函数，则加等于（）

A.-1或2B.-1

C.2D.1

『答案』C

m2—m—1=1,

『解析』依题意，有

m>0且，,

解得机=2（舍机=—1）,故选C.

3.如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（）

X-2-10123

1

141664

y164

A.一次函数模型B.二次函数模型

C.指数函数模型D.募函数模型

『答案』C

『解析』观察数据可得y=4,.

4.某种细胞分裂时，由