人教版高中数学《杨辉三角》教学设计

重视观察自主探究——《杨辉三角》教学设计[课例简析]本课例是人教B版选修2-3第一章1.3.2的内容，是在学生学习过二项式定理后，进一步学习其性质，杨辉三角所蕴含的丰富的数字规律、数学思想、方法给学生提供了一个很好的数学探究的课题，本课例通过问题情景的设置，让学生通过了解有关杨辉三角的简史体会我国古代数学家的伟大成就，激发学生的学习热情，由于杨辉三角直观描述了二项式系数的性质，通过设计探究环节，让学生自主探究或小组合作,引导学生发现并总结二项展开式的二项式系数的几个基本规律。引导学生从不同的角度探究其中的数量关系归纳二项式系数的规律，有助于观察能力、分析能力、猜想能力的提高，目的在于培养学生的创新精神和创造能力。[方法简述]数学家M.克莱因从数学发展史中得到启示：为了教学生思维，让他们喜欢并真正了解数学，有必要帮助学生“再创造数学”。弗莱登塔尔的“再创造教学”是课堂上根据教师提供的实例或具体的“数学现实”，创造条件使学生处于活跃、自由、富有创造欲望的状态，由学生自己发现数学结论，“再创造”数学。本节课采用的是观察、探究、发现、合作交流的方法。教学过程分以下几个环节：情景引入，简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望,进一步体现教材的人文价值和育人功能。爱因斯坦曾说过“兴趣是最好的老师，它永远胜过责任感”。应当把学生的兴趣和爱好作为正在形成某种智力的契机来培养。孔子提出了“不愤不启，不悱不发，举一隅而不以三隅反，则不复也”的主张。第二个环节，问题探究，引导学生探索杨辉三角的数量关系,这一环节又分了三个层次，第一个层次是对二项式系数基本规律的探究，引导学生从杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系，发现并总结二项式系数的几个基本规律。也是本节课的重点，第二个层次是探究拓展，第三个层次是探究杨辉三角与其他知识的联系，这一部分学生对学生观察能力与思维水平有一定的要求，采用了问题导引的方式，先让学生对通过对低阶杨辉三角的观察，到n阶杨辉三角的猜想,探究时采用先思考后小组合作互动的方式,重点发现规律，不必在课堂上证明。使学生产生思维碰撞,达到共同完成实施建构知识的目的,使不同层次的学生都有所获.让学生体会再发现再创造的过程,发展学生的创造性思维.[目标定位]数学学习并不单纯是数学知识的学习，更重要的是通过学习数学知识所蕴含的丰富的数学思想方法提高学生的思维能力，学生进入高二以后，数学学习能力有了很大提高，特别是观察、探究能力也有了长足的进步，杨辉三角这节课由于它的背景与内容很适合学生观察探究，为我们提供了一个很好的训练学生能力的课题，学生在学习本节课内容时，一般会出现的问题或困难是，二项式系数的性质的发现以及将其公式化的过程。所以将学习目标确定为：了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角的基本性质。通过研究杨辉三角横行斜行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。通过小组讨论，培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。[课堂设计]情景引入温故知新，复习二项式定理、二项展开式的有关知识，引导学生回忆的二项展开式的形式是怎样的？二项式系数？为后面学生探究新制作好准备。问题：展开式的二项式系数，有什么规律？用电脑展示给出当n依次取1，2，3…时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角。贾宪三角图、朱世杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图介绍杨辉三角的简史：我国北宋时期数学家贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到600年后，约1636年由法国数学家、物理学家帕斯卡发现并提出了“帕斯卡三角”。由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。杨辉三角中蕴涵了许多优美有趣的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、杨辉、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，在他的科普著作《从杨辉三角谈起》中，对杨辉三角的构成，提出了一种有趣的看法。并将研究结果应用于其他工作。今天我们将沿着科学家的足迹开始我们的探究之路。通过了解有关杨辉三角的简史体会我国古代数学家的伟大成就，激发学生的学习热情，2．用电脑展示15阶杨辉三角或事先印好15阶杨辉三角分发给学生，让学生自己观察、探究。二．问题探究问题1观察杨辉三角你能发现那些数量关系？由此得到二项式系数具有哪些性质？提示：观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察学生先独立观察，后小组交流观察结果，先自主探究其规律，后小组展示其成果。三．展示探究的结论学生分小组展示其探究的结论，归纳有以下几类：基本性质（1）对称规律：二项展开式中与首末两端“等距离”的两个数相等，即（2）最大系数规律：在展开式中，当n是偶数，中间一项的二项式系数最大且为；当n是奇数，中间两项与的二项式系数相等且最大且为。（3）递推规律：每一行的两端都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是．（4）系数和：二项展开式的二项系数的和等于有的小组给出了证明。以上几条是课本内容所要求的。下面两条是学生在探究的过程中自己发现的。（5）在第m条斜线上（从右上到左下或从左上到右下）前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的）第n个数。以上是我们通过观察杨辉三角所蕴含的数量关系，得到的二项式系数的几个基本性质，这几个基本性质是我们解决后面问题的基础，下一节课我们在研究它的应用。四、拓展探究引导学生继续探究之路，看看还能发现什么有趣的结论。问题2：换一个角度观察你能有什么发现？学生学习积极性高涨，不同小组之间也开始交流，由学生发现杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第(k是正整数)行的各个数字特点：（1）第行的所有数都是奇数（k∈N*）即为奇数（m=0，1，…，）；（2）第行的所有数（除两端的1以外）都是偶数（k∈N*）即为偶数（r=1，2，…，）；（3）其他行的所有数中，一定既有偶数又有除1以外的奇数。问题3：杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？ 第p（p为素数）行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除，其逆命题也成立。即对任意r∈{1，2，…，n-1}，都有是素数。问题4：请先写出斜线所经过的数字的和，再观察这些和，你能发现什么规律？第n行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于。探究杨辉三角与其他知识的联系（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！）继续换一角度“斜”向看，可得到一些有趣的结论问题5：请先写出斜线所经过的数字的和，再观察这些和，你能发现什么规律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．这就是著名的斐波那契数列。这是中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题，该数列在科学试验、计算数学、工艺美术、建筑与园林设计、生物学、几何领域等实践中有较广泛的应用。生活中的许多自然现象如花瓣的排列，植物的叶序、蜜蜂的繁殖等都与这个数列相吻合。问题6：如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，会出现什么现象所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列，而奇数都成正立三角形排列，且等边三角形（偶数）的边长依次为：3、7、15、31、63……3=22-17=23-115=24-131=25-1即所有的偶数依次排出以（2n-1）（nN*）的长度为边长的倒立的等边三角形。问题7：将阶杨辉三角形中去掉所有的偶数，剩下的图形是个什么图形？你见过吗?将阶杨辉三角形中去掉所有的偶数，剩下的图形类似于分形几何中的谢尔宾斯基三角形（如图），这种三角形是研究自然界大量存在的不规则现象（海岸线性状、大气运动、海洋湍流、野生生物群体涨落，乃至股市升降等）的崭新数学工具。

问题8：研究杨辉三角，你能找出杨辉三角与“纵横路线图”两者间的关系吗?图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数。有趣的是，B处所对应的数70，正好是答案。

一般地，每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数。由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系。五．归纳小结本节课在大家的努力下,通过对杨辉三角的观察研究发现了许多有趣的规律,请同学谈谈对这一节课的认识与收获.杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理及逻辑推理的方法，一定会还会发现更多的规律，同时也告诉大家只要我们时时睁大一双善于观察的眼睛我们就会发现在我们的学习生活中有很多有趣的现象。今天也学是有趣，明天也许就是规律就是创造。只要我们能保持一种对问题探究的热情我们就会掌握打开未知的钥匙，期待诺贝尔奖会有我们在座的某一位同学摘取。[教学链接]课外探究1．杨辉三角中的第n行第r个数换成，得到的三角形称为莱布尼茨三角形，这个三角形有些什么特点？写出一至两个律。阶杨辉三角中，偶数与奇数，哪个更多？阶杨辉三角中，共有个奇数，共有个偶数（k∈N*），试比较与的大小。3．探索其他结论，尝试对以上结论给出证明。写一篇小论文4．杨辉三角能否扩展到空间？能得到什么结论？[教有所思]本课例是在教师设计问题及背景下，以杨辉三角为载体,让学生通过对杨辉三角数量关系的观察、分析、讨论、猜想、归纳，让学生体验知识的发生发展过程。教学过程设计力求体现探究性课型的主要特征:问题性、探究性、自主性、过程性、体验性.克里的设计重视学生的自主学习,数学思想方法的渗透。在探究杨辉三角所蕴含的数量关系的过程中,学生更多的表现出了较强的探索欲望、求异思维,以及创造潜能。对于增强学生的研究意识、问题意识、如何去解决问题等作了一个很好的尝试.不仅如此,这种数学探究学习方式十分重视情感认知即学习过程的体验,应该说这种体验对知识转化为能力是十分必要的.教学过程的设计,尊重教材,挖掘教材,又高于了教材,从情景的设计、探究内容的设计多数是以教材内容为载体,充分开发教材的功能,在问题探究环节设计的三个层次是有梯度的，第一个层次是对二项式系数基本规律的探究，引导学生从杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系，发现并总结二项式系数的几个基本规律。也是本节课的重点，第二个层次是探究拓展，对于5到11条规律的探究,高于课本内容,其主要目的是培养学生的求异思维,扩展学生的视野为今后的学习研究打下基础.第三个层次是探究杨辉三角与其他知识的联系，这一部分学生对学生观察能力与思维水平有一定的要求，采用了问题导引的方式，先让学生对通过对低阶杨辉三角的观察，到n阶杨辉三角的猜想,探究时采用先思考后小组合作互动的方式,重点发现规律，不必在课堂上证明。使学生产生思维碰撞,达到共同完成实施建构知识的目的,使不同层次的学生都有所获.让学生体会再发