内蒙古2017-2018年高二年级下册期末质量跟踪监视数学试题含解析

内蒙古重点名校2017-2018学年高二下学期期末质量跟踪监视数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示的流程图中，输出d的含义是（）

A.点（％,%）到直线及+为+。=0的距离

B.点（％，%）到直线Ar+8y+C=°的距离的平方

C.点（/，%）到直线"+为+。=0的距离的倒数

D.两条平行线间的距离

【答案】A

【解析】

【分析】

将Z”Z2代入d中，结合点到直线的距离公式可得.

【详解】

22

因为Z1=Ax0+By0+C,z2-A+B,

\Ax+By+C\

所以d=00，故d的含义是表示点（/，%）到直线Ar+8y+C=0的距离.

7A2+B2

故选A.

【点睛】

本题考查了程序框图以及点到直线的距离公式，属基础题.

2.设随机变量X服从正态分布N（3,er2）,若P（X<4）=0.7,贝!）P（x<2）=

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.85

【答案】A

【解析】

【分析】

先计算P(X>4)=0.3,再根据正态分布的对称性得到P(x<2)=P(X>4)=0.3

【详解】

随机变量X服从正态分布N(3,O-2)

P(X<4)=0.7=>P(X>4)=0.3

P(x<2)=P(X>4)=0.3

故答案选A

【点睛】

本题考查了正态分布的概率计算，正确利用正态分布的对称性是解题的关键，属于常考题型.

3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的是()

A.y=x3B.丁=|尤|+1

C.y=—%2+1D.y=|—|

【答案】B

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的单调性和奇偶性，逐一分析四个函数在(0,+8)上的单调性和奇偶性，逐一比照后可

得答案.

【详解】

对于A:y=x3是奇函数，对于B：y=|x|+1为偶函数，且在(0,+8)上单调递增；对于C:y=-/+1为偶

函数，但在(0,+8)上单调递减；对于=是减函数；

所以本题答案为B.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原

点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：(1)直接法，/(-%)=±/(X)

(正为偶函数，负为减函数)；(2)和差法，/(-%)±/(%)=0(和为零奇函数，差为零偶函数)；(3)作

商法，今彳=土1(1为偶函数，-1为奇函数).

/(X)

4.将3名教师，5名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每地至少去1

名教师和1名学生，则不同的安排方法总数为()

A.1800B.1440C.300D.900

【答案】D

【解析】

【分析】

将三个教师全排列安排到三地，再利用分组、分配方法安排学生，可求出答案.

【详解】

先将3名教师安排到甲、乙、丙三地有A；=6种分法,

然后安排5名学生，将5名学生可分为1,1,3三组，也可分为2,2,1三组，则安排到三地有

p2p2pl)

4y

•A；=150种方法;

A；>

、A2

根据分步乘法原理，可知不同的安排方法总数为6x150=900种.

故选D.

【点睛】

本题考查了分步乘法原理的应用，考查了分配问题，考查了计算能力，属于中档题.

5.某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（）

1

兀1

A.—B.-C.1D.2

42

【答案】B

【解析】

【分析】

锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是

面积最小，计算得到答案.

【详解】

锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是

面积最小

“11一C1

V=—X—xlxlx3=—

322

故答案选B

【点睛】

本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.

6.设函数f（x）=xlnx的图象与直线y=2x+m相切，则实数m的值为（）

A.eB.-eC.-2eD.2e

【答案】B

【解析】

【分析】

设切点为(S,t),求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s,3进而求得m.

【详解】

设切点为(S,t),f(x)=xlnx的导数为f'(x)=l+lnx,

可得切线的斜率为l+lns=2,解得s=e,

贝!!t=elne=e=2e+m,即m=-e.

故选：B.

【点睛】

本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题.

7.某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每

名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星

期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有()

A.960种B.984种C.1080种D.1440种

【答案】A

【解析】

分五类：(1)甲乙都不选：CjC；A：=432；(2)选甲不选乙：4M=216；(3)选乙不选甲：

然团=216；(4)甲乙都选：囚司尺=96；故由加法计数原理可得

432+216+216+96=960,共960种，应选答案A。

点睛：解答本题的关键是深刻充分理解题意，灵活运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原

理两个基本原理。求解依据题设条件将问题分为四类，然后运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分

类计数原理两个基本原理求出问题的答案，使得问题获解。

8.设加，“为两条不同的直线，4,为两个不同的平面，下列命题中正确的是()

A.若mlla,mHn,nl/(3,则a//尸B.若mlIa,mLn,nV/3,则。//£

C.若mJ_a,mHn,"//分，则a_LD.若mlIa,m±n,”//尸，则a//月

【答案】C

【解析】

【分析】

通过作图的方法，可以逐一排除错误选项.

【详解】

m

如图，//相交，故A错误

如图，/£相交，故B错误

D.如图,

故选C.

【点睛】

本题考查直线和平面之间的位置关系，属于基础题.

9.a,b,C三个人站成一排照相，则。不站在两头的概率为（）

1111

A.—B.—C.—D.—

2345

【答案】B

【解析】

分析：。，。，c三个人站成一排照相，总的基本事件为用=6种，。不站在两头，即。站中间，则有8=2

种情况，从而即可得到答案.

详解：a,b,c三个人站成一排照相，总的基本事件为6种，

。不站在两头，即。站中间，则有&=2种情况，

21

则a不站在两头的概率为P=~=~.

63

故选：B.

点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.变量V与x的回归模型中，它们对应的相关系数厂的值如下，其中拟合效果最好的模型是（）

模型1234

r0.480.150.960.30

A.模型1B.模型2C.模型3D.模型4

【答案】C

【解析】

分析：根据相关系数的性质，r最大，则其拟合效果最好，进行判断即可.

详解：线性回归分析中，相关系数为r,N越接近于1,相关程度越大；

卜|越小，相关程度越小，

•.•模型3的相关系数r最大，.•.模拟效果最好，

故选：A.

点睛：本题主要考查线性回归系数的性质，在线性回归分析中，相关系数为rr,W越接近于1,相关程

度越大；N越小，相关程度越小.

11.若函数/(%)=log/3x2—ax+5)在区间(—1,+8)上是减函数，则实数。的取值范围是()

2

A.(-8,+00)B.[-6,+oo)C.(-00,-6]D.[-8,-6]

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复合函数的单调性，同增异减，贝「=3妙—改+5,在区间(-L+8)上是增函数，再根据定义域则

f=3/—依+5>0在区间(-1,”)上恒成立求解.

【详解】

因为函数/(力=1°8工(3尤2一。％+5)在区间(—1,”)上是减函数，

2

所以f=3/_公+5,在区间(-1,+8)上是增函数，且"3/—如+5>0在区间(-1,+8)上恒成立.

所以1且3+。+520,

6

解得-8<a<-6.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.

12.命题/：％-1>0；命题4：好一%-6<0.若夕人4为假命题，为真命题，则实数x的取值范围

是()

A.l<x<3B.-2<xWl或x»3

C.-2<x<l或x23D.-2<x<l或%>3

【答案】B

【解析】

【分析】

首先解出两个命题的不等式，由0Aq为假命题，为真命题得命题p和命题q一真一假.

【详解】

命题?：无一1>0=无>1,命题q:%?—1—6<0=>—2<x<3.因为"人4为假命题，Pvq为真命题.所

以命题P和命题4一真一假，所以—2<xWl或％之3,选择B

【点睛】

本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题

13.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示,

去除所有为1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，则此数列的前46项和为.

【答案】2037

【解析】

【分析】

根据“杨辉三角”的特点可知"次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第〃+1行，从而得到第

〃+1行去掉所有为1的项的各项之和为：2"-2；根据每一行去掉所有为1的项的数字个数成等差数列的

特点可求得至第n行结束，数列共有45项，则第46项为=11,从而加和可得结果.

【详解】

由题意可知，"次二项式的二项式系数对应''杨辉三角”中的第〃+1行

则“杨辉三角”第〃+1行各项之和为：2"

二第〃+1行去掉所有为1的项的各项之和为：2"-2

从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4,…

贝！I：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,即至第11行结束，数列共有45项

,第46项为第12行第1个不为1的数，即为：Q1,=11

,前46项的和为：21-2+22-2+23-2+---+210-2+11=2037

本题正确结果：2037

【点睛】

本题考查数列求和的知识，关键是能够根据“杨辉三角”的特征，结合二项式定理、等差等比数列求和的

方法来进行转化求解，对于学生分析问题和总结归纳的能力有一定的要求，属于较难题.

14.某等腰直角三角形的一条直角边长为4,若将该三角形绕着直角边旋转一周所得的几何体的体积是V,

则丫=.

【解析】

分析：几何体为圆锥，根据圆锥的体积公式求解

164万

详解：由题意可知三角形绕着直角边旋转一周所得的几何体为圆锥，体积是V=qS/i=一1

33

点睛：三角形旋转为圆锥，体积公式为V=

15.不等式|3x-2|<1的解集为

【答案】（1,D

【解析】

【分析】

根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.

【详解】

由|3x—2|<1,得-l<3x—2<1,解得g<X<1

故答案为

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.

16.已知定点A（4,o）和曲线f+y2=8上的动点3,则线段A3的中点P的轨迹方程为

【答案】（X-2）2+/=2

【解析】

【分析】

通过中点坐标公式，把点P的坐标转移到3上，把点3的坐标代入曲线方程，整理可得点P的轨迹方程。

【详解】

4+〃

x二----

2

设点P的坐标为(羽V),氤B(a,b),因为点。是线段A5的中点，所以n7

户亍

解得〈，。,把点3的坐标代入曲线方程可得(2x-4了+(2y)2=8,

b=2y

整理得(X-2)2+/=2,所以点P的轨迹方程为(x-2尸+丁=2

故答案为：(x-2>+黄=2

【点睛】

本题考查中点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知(1+xy的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等.

(I)求”的值和这两项的二项式系数；

(II)在(1+X)3+(1+X)4++(l+x)"+2的展开式中，求含/项的系数(结果用数字表示).

【答案】(I)«=10；120(II)285

【解析】

【分析】

(I)由题意知：屐=。：得到〃=10,代入计算得到答案.

(II)分别计算每个展开式含X2项的系数，再把系数相加得到答案.

【详解】

解：(I)*.*C；-C；=10,

.♦.C；°=C，=120；

(II)方法一：含X2项的系数为C；+

=C；3Y=285.

(l+x)l-(l+x)(l+x)，，+3-(l+x)3

方法二：(1+x)3+(]+%)4++(1+X)"+，

X

含X2的系数为C；+3-=C：3-1=285.

【点睛】

本题考查了展开式的二项式系数，特定项系数，意在考查学生的计算能力.

18.已知三点4(—2,1),5(2,1),0(0,0),曲线C上任意一点Af(羽_y)满足

\MA+MB\=OM(OA+OB)+2.

(1)求C的方程；

(2)动点。(％，%)(—2</<2)在曲线C上，/是曲线C在。处的切线.问：是否存在定点

P(0j)(f<0)使得/与都相交，交点分别为。，石，且AABQ与APDE的面积之比为常数？若存

在，求/的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)x2=4>；(2)存在,-1.

【解析】

分析：(1)先求出MA、A1A+M3的坐标，由此求得I或4+AffiI和0M,(°A+°5)+2的值，两式相

等，化简可得所求；(2)根据直线PA,PB的方程以及曲线C在点Q(xo,yo)(-2<x0<2)处的切线方

程，D、E两点的横坐标，可得SAPDE和SAQAB的比值，从而求得参数值.

详解：

(1)依题意可得G=(―2-八1一力砒=(2-伤1一力

+M^\=，(-22)2+(2-2沙)2,同x(31+彘)=(x,n)x(0,2)=2y

由已知得\/(-2%)2+(2—2.2=2g+2,化简得曲线C的方程:—如，

(2)假设存在点。(0")(1<0)满足条件，则直线的方程是沙=1冗+力，直线产区的方程是

y=Ljz+i，曲线C在点Q处的切线1的方程为：g=会一步，它与y轴的交点为尸(0,-苧)，

由于一2<x0<2,因此T<?<1

①当—1<%<()时，存在0e(-2,2),使得挈=即1与直线PA平行，故当

-1<t<0时与题意不符

②当t&—1时，?《一1(系三21>等所以1与直线/乜。3一定相交，分别联立方程组,

解得RE的横坐标分别是ZD=-+=3""

2(g+1—力)2(^0+t-1)

则立=又|下目=一¥—力，

#0_(1_1)4

右GI-1v(若+41产

有SAPDE=X\XE-XD\—X(t_1)2_

22

194a4

-N0(£,0

%4/I^于是X

-XX(X----

2\4261t

±-vr（力0+4力2

4X一一性+（力-I）2］就+4（力一1产

1—t①3+8力薪+16/

-4-(i-I)2=8t

对任意；“C(―2,2),要使dQA3与△PDE的面积之比是常数，只需t满足

4(/-I)2=1612'

解得力二一1,此时AQAB与△PDE的面积之比为2,故存在t=—1,使AQAB与△PDE的面积之比是

常数2.

点睛：本题主要考查抛物线的标准方程的应用，利用导数求曲线上某点的切线方程，求得F点的坐标，D、

E两点的横坐标，是解题的关键，属于中档题.利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，

对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线

方程.

19.已知集合4=<>,8={y|y=%?—2尤一3,0WXW4}.

X-1

(1)求AB；

(2)若集合卜|九2—2x—3+a=O,O〈x<4}=0,求。的取值范围；

【答案】(1)[<1)；⑵(—，-5)(4,收)

【解析】

【分析】

(1)分别求解出集合A和集合3,根据交集的定义求得结果；(2)将问题转化为

[x\x2-2x-3=-a,O<x<4}=0,由⑴可知x2—2%—3武-4,5],从而得到关于。的不等式，解

不等式求得结果.

【详解】

A=%]<1>=；B=^y\y=x1-2x-3,G<x<^=[-4,5]

(1)AB=[-4,l)

(2)|x|x2-2x-3+«=0,0<x<41=0,即{x|x2—2x-3=-a,OVx<4}=0

又xe[0,4]时，x2-2x-3e[-4,5]-a<4或一a>5

:,a<§或々>4

即。的取值范围为：(-«?9(4,+>

【点睛】

本题考查集合运算中的交集运算、求解集合中参数取值范围的问题；关键是能够准确求解出两个集合；易

错点是忽略两个集合均为数集的特点，误认为两集合元素不一致，导致求解错误.

20.袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮

7

流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，

每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需摸球的次数.

(1)求随机变量X的分布和均值E(x)；

(2)求甲摸到白色球的概率.

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=2.

22

(2)P(A)=—.

35

【解析】

分析：(1)由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望;

(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：Ax="甲第1次摸球时摸出白色

球”；A2="甲第2次摸球时摸出白色球”；A3="甲第3次摸球时摸出白色球”，利用互斥事件概率加

法公式可得.

2

详解：设袋中白色球共有X个，XCN*且X22,则依题意知㈢p=31,

C7/

*X—1)

所以m即X。X—6=0,解得X=3(x=-2舍去).

2XI

(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.

P(X=l)=^=1；P(X=2)=f=|,P(X=3)=^=A,P(X=4)=f=A,P(X=5)=^=1

随机变量X的分布列为

X12345

32631

P

77353535

所以E(X)=1X；Q+2XS9+3><S+4XSQ+5X^1=2.

//

(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件:

4="甲第1次摸球时摸出白色球”；

A2=”甲第2次摸球时摸出白色球”；

A3=”甲第3次摸球时摸出白色球”.

依题意知，PG)*",P®)=粤=白，P(AJ=^=白，

A77A7•有卜7<6

所以甲摸到白色球的概率为P(A)=P(AJ+P(A2)+P(A3)=舁白+二=器.

7353535

点睛：本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法

公式.

21.已知椭圆C：—+V2=1,点P(0,1).

4-

(1)过P点作斜率为k(k>0)的直线交椭圆C于A点，求弦长|PA|(用k表示)；

(2)过点P作两条互相垂直的直线PA,PB,分别与椭圆交于A、B两点，试问：直线AB是否经过一定

点？若存在，则求出定点，若不存在，则说明理由？

【答案】⑴1刑=*G；⑵直线AB过定点[。,一：

【解析】

【分析】

(1)先由题意得到直线PA的方程，联立直线与椭圆，得到A点坐标，再由弦长公式，即可求出结果;

(2)先由题意，得到，直线的斜率必存在，设直线钻为丁=红+加，联立直线A3与椭圆方程,

-8km

x.+x=-----

“21+4左2

根据韦达定理，得到)再由结合题意，求出〃[,进而可得出结果.

4m2-4

X,-X,=-----z-

121+4左2

【详解】

解：(1)把"y=—l(左>0)代入炉+4/-4=0得:

(1+4左2)无2+8丘=0,x-----8),

'7Al+4k2

所以1pA।

(2)由题意可以，直线A3的斜率必存在，设直线A5为丁=丘+加，有

-8km

x,+=-----

x+4y4fj+4^2jx2+8kmx+4m2-4=0,A>0,"121+4左2

y=kx+m'74m2-4

石•X,=-----z-

“21+4左2

PALPB.:.PAPB=0=>（X],yi-1）每，%-1）=0

=>飞马+（y-1）（%-1）=0=>x1x2+（g+m-l）（Ax2+m-l）=0

2

=>（1+左2）%％2+左（加_1）（F+x2）+（m-l）=0

=>4（1+左2）（加+1）—8左2加+（加_1乂1+4Z2）=0=>加=--1

所以/至：丁=履—I，即直线AB过定点[o,—I]

【点睛】

本题主要考查椭圆的弦长，以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质，即可求解，

属于常考题型.

22.已知AABC的内角A的大小为120°，面积为JL

(1)若AB=20，求AABC的另外两条边长；

(2)设。为AABC的外心，当BC=0T时，求AO.8C的值.

【答案】(1)CA=A/2>BC=A/14；(2)3或-■—

【解析】

【分析】

(1)由三角形面积公式石=！bcsinA得到AC边，再由余弦定理即可得出BC边；

2

(2)由(1)可知历=4,利用余弦定理可求匕，设5C的中点为。，则AC=AD+，结合。为ABC

的外心，可得。O.BC=0，从而可求得.

【详解】

(1)设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

于是6==bcsinA=g~bc，所以。c=4

24

因为c=AB=2拒，所以人=。4=血.

由余弦定理得BC=a=Jz?2+。2—2Z?ccosA=[b。+/+4=J2+8+4=-\/14•

(2)由BC=向得Z^+c2+4=21,即^+提―17=0,解得人=1或4.

设5c的中点为D,则AO=AD+£>O，

因为。为AABC的外心，所以£>。.6。=0，

1b2-c2

于是+---.

/72_2]s

所以当b=l时，c=4,AOBC=-——；

22

*_2

当b=4时，c=l,AOBC=-——.

22

【点睛】

本题主要考查三角形的面积公式及余弦定理的应用以及向量的基本运算和性质的应用.属于中档题.

内蒙古重点名校2018-2019学年高二下学期期末质量跟踪监视数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2.r2

1.已知a>0,b>—1,且a+b=l,则^--+----的最小值为（）

aZ?+l

A3+20R3+0r3-V2.3-2V2

2222

【答案】A

【解析】

分析：由oX）,b>-l,且a+Ql,变形可得

a?+2/?2271I2ICc

------1----——ci-\-b—IH-----=—I------f\ci),0〈QV2.

ab+\ab+\a2—a

利用导数求其最值；

详解：aX),b>-l，且a+b=l,

:.fl±3.+工=2+a+〃—1+J_=2+^_=/(q),o<«<2..

ab+la/?+la2-a

2I一(a~-8a+8)

令…)=-/+

(2—0)24(2—4

，解得4一2垃<。<2，此时函数八。）单调递增；令广（。）V。，解得0<a<4—2"此时函数八。）

单调递减.

...当且仅当a=4—20时，函数八。）取得极小值即最小值，/（4—2后）=色芋.

点睛：本题考查利用导数研究函数的最值，属中档题.

2.已知回归直线方程中斜率的估计值为L23,样本点的中心（4,5）,则回归直线方程为（）

A.y=l.23x+0.08B.亍=0.08x+l.23

C.$=l.23x+4D.勺=l.23x+5

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得在线性回归方程9=/u+a中3=1.23,然后根据回归方程过样本点的中心得到〃的值，进而可

得所求方程.

【详解】

设线性回归方程$=法+。中，由题意得5=1.23，

y=l.23x+a-

又回归直线过样本点的中心（4,5）,

5=L23x4+a，

a-0.08，

.•.回归直线方程为y=1.23%+0.08.

故选A.

【点睛】

本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方

程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题.

4_

3.曲线丁=一与直线y=5围成的平面图形的面积为（）

x

A.—B.—C.---4In2D.----8In2

2442

【答案】D

【解析】

【分析】

先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出

结果.

【详解】

4

作出曲线y=—与直线y=5-x围成的平面图形如下：

x

4

所以曲线y=—与直线y=5-x围成的平面图形的面积为

x

S=1（5—x—公=（5x—3彳2_4/.）：=（20—8—4防4）—（5——81n2.

故选D

【点睛】

本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.

4.曲线〃X)=.c°sx在点M咨"件］

居为()

sinx-cosx1414J

D④

2

【答案】B

【解析】

【分析】

求导后代入即可得出答案。

【详解】

,/x_cos'x•(sinx-cosx)-cos(sinx—cosx)'-1-1

(sin龙一cos%)2

“3叫-_1_1

t4J9.2/3〃712

2sm(彳—R

故选B

【点睛】

本题考查利用导函数求切线斜率。属于基础题。

5.已知向量〃=(2,3)/=(%,4),若〃_L(Q-/?),则x=()

1

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】B

【解析】

【分析】

可求出a—Z?=(2—%,—1),根据a_L(a—b)即可得出心a-6)=0,进行数量积的坐标运算即可求出x.

【详解】

•:a±ya-b^；

/.=2(2—%)—3=0；

解得X=工.

2

故选B.

【点睛】

本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题.

3

6.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为一,

4

且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为()

1224

A.-B.一C.一D.一

3535

【答案】A

【解析】

【分析】

记事件A:甲获得冠军，事件8:比赛进行三局，计算出事件的概率和事件A的概率，然后由条件概率

公式可得所求事件的概率为P(8|A)=.

【详解】

记事件A:甲获得冠军，事件比赛进行三局，

事件A3:甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局,

313Q

由独立事件的概率乘法公式得WA0=・:•：•'=5,

对于事件A,甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件

327932_1

.P(A)=i+工故选A.

41323232,27-3

【点睛】

本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相

对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

7.已知曲线/(x)=xlnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为()

A.1B.In2C.2D.e

【答案】D

【解析】

【分析】

对函数进行求导，然后让导函数等于2,最后求出切点的横坐标.

【详解】

/(%)=x\nxf'(x)=In%+1,

由题意可知/'(x)=lnx+l=2=lnx=l=x=e,因此切点的横坐标为e,故选D.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了导数的运算法则，考查了数学运算能力.

8.已知复数z满足z<l-2i)=5i(i为虚数单位)，则复数z的虚部等于()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】

由题设可得z=-^=-2+i,则复数二的虚部等于1,应选答案A。

l-2z

9.如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表

面积是

A-4+v'IB.gC.9D.3+位

【答案】B

【解析】

【分析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可.

【详解】

几何体的直观图如图：

3+3x,^xlxlH■-x(v2)2=•:一

故选：B.

【点睛】

本题考查了根据三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.

10.已知定义域为/?的奇函数/(X)的导函数为了'(%),当XH0时，r(x)+/C0〉0,若

X

a==/(_2)！c=加；)/In-jj)则o,〃,c的大小关系正确的是

A.a<h<cB.h<c<aC.a<c<hD.c<a<h

【答案】C

【解析】

分析：构造函数g(x)=V(x)，利用已知条件确定g'(x)的正负，从而得其单调性.

详解：设8(%)=犷(幻，贝!|8'(%)=/(无)+^'(%),；/'(%)+国>0,即4")+/电=止2>0,

XXX

...当x<0时，g'(x)<o,当尤>0时,g'(x)>0,g(x)递增.又“X)是奇函数，.•.g(x)=4(x)是偶

函数，/(—2)=g⑵，g(ln；)=g(—In2)=g(ln2),

*/0<|<ln2<2,g(；)<g(ln2)<g(2),即a<c<b.

故选C.

点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数g(%)=犷'(%),通过研究g(x)的单调

性和奇偶性，由奇偶性可以把变量值转化到同一单调区间上，从而比较大小.

11.在平面直角坐标系x0y中，曲线C的参数方程为「―"C°S(。为参数)，直线/的方程为x+y=4,

y=sin8

则曲线。上的点到直线/的距离的最小值是()

A.—B.J2C.1D.2

2

【答案】B

【解析】

【分析】

设曲线C上任意一点的坐标为(Gcosasin。)，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C

上的点到直线/的距离的最小值.

【详解】

设曲线C上任意一点的坐标为(Gcos0,sin。)，

所以，曲线C上的一点到直线/的距离为1|石cosO+sind—4|2sin[e+w]—4

底-----/-----=忑-

4—2sin(6+j

3

当。+?=^+2左乃（左eZ）时，△取最小值，且4^=甘=3,故选：B.

【点睛】

本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方

程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.

12.已知集合4={%|无2—4%<5},3=